第一章极限与连续 第五节极限运算法则 定理1有限个无穷小的和还是无穷小， 证：设和B是当x→时的无穷小，而y=a+B. ye>0,因为a是当x→石时的无药小，对于号0,34>8， 当0x-和K(时，有：a:0，日马>8，当0x-K气时，有：B1(号成立，取 6=mm低)，档0dx-k6时，：a(及：61c同时 成立.从而：y1=1a+B!≤！a!+!B!日，使！ u!≤H对一切x∈(x0,)成立.又设α是当x→x而时的无穷小，即廿E )0,月8>8，当x∈x,4)时，有1a1证 取5=min低)，则腊xei,可时，1u1≤n及1ai‘号同
1 第 一 章 极限与连续 第五节 极限运算法则
时成立，从而 1ua1=iu1ia1mu号-e. 也即证明了是当x→时的无穷小 咖只m}0典=0 2 常数和无穷小的黍积是无穷小 有限个无穷小的乘积是无穷小 定理3如果imf(x)=A,limg(x)=B那么 ()imf(x)±g(x)]=mf(x)±img(x)=A±B (②imlf()g(x]=imf(x)·mg(x)=AB 同若又有B≠0，则m儿因.1im园.4 g(x)limg(x)B 证()因mf(x)=A,mg(x)=B,所似有 f(x)=A+&,g(x)=B+B,其中&及6为无穷小，于是 f(x)±g(x)(a+)±B+B)-(±B)H&±B, &士B还是无穷小，所以f(x)士g(x)]=A士B=m(x
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±mg(x) (2公(3)类创可证. 其中(1)(2)可推广到有限个函数的情形. 推论1如果mf(x)存在，而C是常数，则m【Cf(x)】=Cimf(x) 推论2如果mf(x)存在，而？是正整数，则m[(x)'=imf(x)产. 说明(1)上述结果只能在极限存在的情况下才能用，否则不能使用 :期2ms细如 (2)关于数列极限，有类似定理。 （3)设多项式P(x)=a,+x+.十ax产，显然有 F()=P(.) A器· ,(当2(x)≠0时) x-。 x3-1 例1求鸭7-5x+3 (x3-) 2-g1 ”调-号 x-1 例2円7+6x-7 3
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x-1 11 都原或期-x+7蚂x+78 芳 3+2 荐 4鹏号 解固为（-)0期（-0￥0， 雕阳活号 6偶六品号a 3-4+4 6签惯7+手专 og等2() 一般地：当40≠0，高≠0时，有下列重要结论： 4
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to.n=m. 设 0,#>m G0.<以 即盘F干1-功-有) 湘 解注意分子及分母的极限都不存在，所以，不能直接用极限运其法则. -0 我们指明：设f(x)为初等函数，定义域为D,x∈D, f-fix). 期m层 8e=1 定理？（复合函数的极限运草法则 设函数y=f(g(x》是由函数y=∫u)与u=g(x)复合而成， (g(x》在点的某去心邻城内有定义，若1mg(冈=6
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1mf)=A,且存在xe0(,4)时，有g)≠，则1m1g( =mf四=A. 宽深方：积.伏动中”织创=A(作使) 例5mhx=日 定理3如果风x)之x),而mp(四=a,imw因=b,那么a之b 证令f(x)=风x)-(x),则f(x)≥0 所似，imf(x)-lim[以(x)-(x)]rmo(国-imw(a-b. 所似有：imf(x)≥0，即a-b≥0，故a≥b. 6
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