第三章导数的应用 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 一函数单调的判定法 y=f(x)在【a，b】上单调增加〔单调减少) =y'=f"(x)20,0y=f"(x)s0) 】，函数单跳的淀理 定理1设函数y=(x)在【a,b]上连续，在(a,b)内可导。 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则y=f(x)在【a,b】 上单调增加。 (2)如果在(a,b)内f"(x)0， xe(a,b)，则
1 第 三 章 导数的应用 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
f"(5）>0→f()0, ∴.由单调性判别法知，所给函数在[0,2π]上单调增加。 （2):在[-π，]内，y=1-c0sx≥0，且等号仅在x=0处成 立， 六由单调性判别法知，所给函数在[一元，刀]上单调增加 跑讨论函数y=*-x-1的单调性 解函数y的定义域为（-00，+o0)
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y'=e-1, 令y=0,得x=0. 在(-00,0)内，y0,函数y在[0，+0)上单调增加 注例2表明：使f"(x)=0的点〔即函数才(x)的驻点)可能是函数单调区 问的分界点 如：f(x)=x3,点x=0是驻点，但f(x)在(-60，o0) 内单调上升 例3确定函数y=的单调区间. 解函数的定义城（一的，+的 少狂 (x≠0) 当x=0时，y不存在 在(-0,0)内，y(x)0,·.函数y在[0，+o0)上单调增加 注例4表明：使导数了"()不存在的点也可能是函数单调驱问的分界点如 3
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1 单调上升(y=是y=x的反函数). 2.确定函数的单调区间成讨论函数的单胜)的一最步表 ú)写出函数的定义域： 2)求导数f(x): 6)求导数等于季的点与导数不存在的点即求函数的驻点与不可导点)： (4)用函数的驻点与不可导点划分定义区问，在各个部分区问上考察导数的符号， 由此判定函数在相应区间上的单调性. 例4确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调驱间. 解函数的定义城为(-0，十00)， f"（x)=6x2-18x+12=6(x-10(x-2) 令∫(x)=0,得x=1x=2. 在(-0,0及(2，+0)内，f（x)0:在1,2)内。f(x), f(x)在(-00,1]与[2，+o网）上单调增加，在[1,2止单调减少. 例5讨论通数y=2x-5示的单调性。 解函数y的定义域为(-0，十60)
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999 3限 令少=0，得x=1:当x=0时，少不存在 在(-00,0)及(1，+0)内，y0,·在(-0,0]及[1，+0四)上函数 单调增加： ·在0,1)内，y0,·在0,1]上函数单调减少 3.利用函数的单调性证明不等式 例6证明：当x>1时，2乐>3- x 证 令 f)=2丘-8-3 ， 则 a=左京a-0 当x>1时，“(x)>0从而函数在[1.+0)上单调增加， 于是，当x1时，f(x)>f(0),而f①=0，越当x1时， 2-0-2>0, 即当x1时，2G>3-1 7证明当0x+与式，《回还2 2
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证令)=mX-x-写2，则 f(x)=sec2x-1-x2=tan2x-x2 f"(x)=2tan xsec2x-2x=2tan'x+2tan x-2x f"(x)=6tan2 xsec x+2sec2x-2=6tan2 xsec2x+2tan2x 在(0，内，f"()>0,·f"(x)在0上个 于是当0J0=0,从面/代闭在红0孕上个 于是，当0f代0=0，从面了）在[0，上个， 敬当00=0,即当0x+号 注也可先证tanx>x，则由 f(x)=sec2x-1-x2=tan2x-x2=(tan x-x)(tanx+x) 0(0<x<开)，得f(x)在[0，石上个 二、曲的凹凸与拐点 6
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1.曲线凹凸的义 定义设f(x)在区间工上连续，方∈工，且丙)+了2) 2 2 则称f(x)在1上的图形是（有上）凸的 2.曲线凹凸性的判别法 定理2设∫()在【a,b】上连续，在(a,b)内具有二阶导数 （1)若在(a,b)内f“(x)>6,则f(x)在【a,b]上的图形是凹的， 〔2)若在(a,b)内f"(x)<日，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的 注定理中的闭区间可换成其它各种区间 证不讲)a)x,五∈(a,b),且石<x 2 则 f(x)+f(x)-2f(x)=f(0-h)+f(x0+为-2f(x) 7
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=f"(x+月肉h+f"(-日，(-) (00 5e(-8h,而+8 搭条件】 即f)+f2>百+码).故/6)在a,b1止的跳 2 是心的。 2)类似可证. 3.拐点的淀义 定义连续曲线y=(x)上凹瓢与凸弧的分界点(x,f(x)》称为曲线的 拐点 《拐点存在的必要条件 定理3若点(0，f(x》是曲线y=f(x)的拐点，则必有f"(x)=0或 ∫“()不存在 5.求曲线的四区间与拐点的一最爱步囊 )写出函数的定义城 )求二阶导数f“(x) 3)求二阶导数f"(x)的零点与不存在的点 )列表讨论 5)写出结论 8
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例1求曲线y=(任-4)F的凹凸区间与拐点 解4)函数的定义城为(-00，+0o) ay-21_20 y=000 9云 )当x=1时，y=0:当x=0时，y产不存在 )列表讨论如下 -m.000.01a.+to yU0n-3 U 5)由上表可知，曲线在(-0,0]及[1，+∞)上是凹的，在0,1]上是凸 的，点0,0)及，-3)是拐点 例2求曲线y=3x-5x-10x2+30x2的凹凸区间与拐，点 解4)函数的定义城为(-0，+0o) 2)y=15x1-20x2-30x2+60x y=60x2-60x2-60x+60=60(x2-x2-x+0 =60x2(x-1)-(x-1]=60(x-102(x+0
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3)令y=0得，x=-1,x=1 4)列表讨论如下 x (-c0,- -1-10 1 (1,+o) y 32U18U 5)由上表可知，曲线在(-，-1】上是凸的，在[-1，+)上是凹的，点 1,32)是拐.点. 例3试确定4b、c的值，使点x=-2为函数y=x2+ax2+bx+c的驻点 而点4，-10)为 其图开形的拐点 y=3x2+2ax+b,y"=6x+2a y'(-2)=0 「12-4a+b=0「a=-3 由题设得y(0)=-10→1+a+6+c=-10→b=-24 Ly(0)=0 6+2a=0 c=16 作业：卫.151Ex.3-434,3,4)42)8④)11
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