第五章定积分 第四节反常积分 前面研究定积分要求，(1)积分区间有限：(2)被积函数有界。但实际问题往往不满足 以上要求，于是出现了反常积分。 一→、无3穷限的广义分 定义1设函数了（因在区同〔a,+o)上连续，取b>a,若极限巴f()d存在，则 称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+oo)上的反常积分，记作广f(x)dx 即fdk=mf(xd 此时也称反常积分广f(x)d红收敛：若上述极限不存在，则称反常积分厂f()发散。 类似可定义 ∫f(xdx=im∫fxdx fx)△典（闭x+期（动k 注意：f(闭≠职/（闭d 1*+血 ”欧a女 1 1 =典中血+织中 =知rcm+rcm省=-（←+=n 例2计算te'k(ae2) 解记1.=x产ed 则xedr=xde)=xe+nex 引品学0点=点 1n=lx1=n0m-101-2=.=(a-1).2.1
1 第 五 章 定 积 分 第四节 反常积分
4=x0d版=mxea=m-be-g+1刂=1 故1，=州 特证矿义积厂空当P>1时收堂当p≤1时发数 m出 a侣制信 p> 当P=1时 职片女=织血=加结轮得证。 说明：若f(x)的原函数为F(x),则 f=mJwh-【F-Fa1rR+m)-F@)=F✉0 当F(+o)存在时，f(x)d欧收敛.当F(+co)发数时，f(x)dr发数. 二、无界函数的广反常积分 定义2设函数f(x)在（红，b]上连续，而在点a的右邻域内无界，取t0,若极限 职，儿)d本存在奥称比松限为通数了)在(a,b]上的反常积分，仍记作： [f(x)dx 此时称反常积分广f(x)d收敛，若上述极限不存在，则麻反常积分发散。 类似可定义[a,b),[a,b]上的反常积分 f()dxf Ja)d4xd+闭d=mfxt+f闭ah 注意：
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fr=fxdx+fx≠efxk+efd 4n家血(a8) -am 1 思m行1.号6字月 创5讨论子女的收绿性 解)=。在×=8处无界 上=2k+2 旷北 广=g日-=烟 宁在发题，从盾子血发数。 情证义以女当1时微说当9之1时发数 s加，0 [19<1 当g=1时 m人乐=血x=+o得证
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1当k捐时，r文厂心？长消时k方相时，广文积 分取得最小值？ ag6=2到 =11-k1-k u=in x hmx)0l[mA)-hm2】k=1 a品借 指厂高s,r 当其收效时， 卫5高 (k>1) 自Frw血2泸hX-鱼2-06=1 (k-02 可证F“(化)>0（略）唯一的极小值点 当k=k,时，此广义积分取得最小值。 本章补充下列： 1.求打瞬分折：心（闭d女=职子G, 等粉取=片o号本=典名月
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品 1 1 17 -点=20-2 n装只 解：原式=架血丽-h对=典血1+h2++h对-h网 ==0血1-h)+a2-h网+.+am-血j =典君+h后+.+h原=典2月 =血xd=袖动-xxk=-1 广义积分杨限 例3.若f)=2-xfd+2到求f() 解：定积分是-个确定的嫩记A=广f(xd红，B=∫f(xdx 则f(x)=X2-Ax+2B将其两边分别从0~2,0~1积分 4=ea=e2-+2s-号-2a+48
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B-a-e-+20h-号全+0 牌4=号8=通因=-含+号 例4.设f(x),g(x)在[a,b】上均链续，证明 (f〔xg(d2≤（产(）d(g2(闭d)-柯西-希瓦道不等宽 证明：因时对+g(x对20故广时)+gP在之0 A2+2L+C20 即f(dx2+2f00g(d+g2(d≥0 →△=4B2-4AC≤0 ÷=f6g(ah2-P(dag2(dns0 从而(fwg(d2sP(w)dwg2(dw)自证 (+gordis(ai+g2a 5.1)+F=2ai+ a)i+7=-3xi+ ca)omeh=-orlr.o2小a-caa2对ca 例6.设f(a)为连续函数，证明J(x-0d=fu)d)t 证明：记F(④=fu)du a=ot=树=foa=fet 左满球号=盖0h-o-0+闭-a=0a 6
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从而∫广f0(x-9d-(fa)d)dt=c(常数) 取×=B代入得c=8 于是广f)x-)t=∫(fωd)a 例7.设t>日，s>日积盼1=f化k与×，t,s中哪愁字母有关？ 解：积分支量为×，故t可放入积分号内 1=∫fx)dr=广fu)d仅与s有关 令u=tx则t=a虹×：8~形u:8心s 例8.计算 4色+堂 x2+1 x2+1 0+4a号 奇函数 偶函数 (2)mas(1d ma(y 0≤x≤1 mwa=a+a=+号 .af0-任：*树-oa0.21 并讨论①(x)在〔0,2)内的连续性. f间 0≤x<1 解：p(x)=fdt= fed+fid 15xs2 7
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0≤x刀 求①(x)=f)在(-0，+o)内的表达式×B元xt odt x开
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