第十二章微分方程 第八节常系数齐次线性微分方程 8常系数齐次线性分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义 y+2y'+gy=0(P,g为常数)（￥） 一二阶常系数齐次线性微分方程 由s7定理1知，只要找到它的两个线性无关的特解y,(x)与为（公），则〔*)的通解为 y=C(x)+C2乃(x). 利用观察法得到： y=g是(1)的一个特解r是方程2+pr+g=0的 方程r2+pr+g=0叫敏微分方程(1)的特方程. 二、求二阶常系齐次线性微分方程的通解的方法与步乘 (1)写出特征方程：2+pr+g=0: 〔2)求出特征方程的根； (3)按下表写出通解： 特征方程r2+pr+g=0的根 微分方程y“+y‘+y=0的通解 两个不等的实根：万，乃 y=Ce+Ce 两个相等的实根：乃=乃 y=(C+C2x)e 对共复根：2=a士i y=e(C]cos Bx+Ca sin Bx) 例1求下列方程的通解： (1)y-2y-3y=0:(2)y-4y=0:(3)y+4y+4y=0: （4)y"-2y+5y=0:(5)y4-1=0:(6)y-3y+3y'-y=0. 解（1)特征方程为r2-2r-3=0,其根为乃=-1，乃=3. 故方程的通解为 y=Ce*+Ce (2)特征方程为2-4r=0,其根为1=0，乃=4
1 第十二章 微分方程 第八节 常系数齐次线性微分方程
故方程的通解为y=C1+C,e杯， （3)特征方程为r2+4r+4=0,其根为片=乃=-2. 故方程的通解为 y=(C+Cx)e2. （4)特征方程为r2-2r+5=0,其根为2=1±2. 故方程的通解为y=g(C1cos2x+C2$1n2x). （5)特征方程为r*-1=0,其根为万=1，乃=-1,54= 故方程的通解为y=Ce+C2e+C3cosx+C,inx. 〔6)特征方程为r3-32+3-1=0,其根为片=乃=5=1. 故方程的通解为y=(C+C2x+C3x2)e. 例2求方程y”+4y=0满足初始条件y儿0=1y儿0=2的特解。 解特征方程为r2+4=0,其根为2=2 故方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x. (1) 由(1)得 y=-2C]sin 2x+2C2 cos2x.(2) 将初始条件y以n=1y儿。=2代入(1)(2)两式得C=C2=1 故所求特解为 y=cos2x+sin 2x
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