第八章多元函数微分法 第八节多元函数的极值及其求法 一、多元通数的吸值 定义设函数2=(x,)在点（不）的某个部域内有定义，如果对于该邻域内的 意一点(x,，都满足 (x,)≥(x0%)〔我f(,)≤f(x0为)) 则称（不和y)是函数z=f(x,)的极小值点〔或极大值点），f(不0，%)是函数 2=f(x,y)的极小值（戒极大值为 函数z=了（不，y)的极小值点和极大值点统称为晒数z=f(x,y)的极值点：极小 值和极大值统称为极值。 例1求通数(x,)=x2+y2的极值。 解 显然f(x,y)=x2+y2≥f0.0)=0,故由定义可知：函数的fx功=+ 极小值为0,0)=0 函数的f(红，)=x+y少极大值不存在。根据一元通数取极值的必要条件，立即可得： 定理1〔极值必要条件)加果函数2=(x,y)在(xy)处取得极值，z=f(x,y) 在(，%)处的偏导数存在，则 f(x,y)）=0.f(xy)=0 气G,)=0的点（为）称为通数6x,)的驻点. 说明1°上述定理表明：极值点气数在在)驻点： 2°驻点未必是极值点，例如加z= 一。+发(0,0)为班点，但不是级值点： 3函数的极值点还可能在偏导数不存在的连续点中取得. 例如：z=一√2+y2在点(0,0)偏导数不存在，(0,0)是函数的极大值点。 定理2（极值充分条件】设函数z=f(x,)在点（不0片%）的某个邻城内有连续且有一 阶及二阶连续偏导数，又(x0y)=0,(%)=0
1 第 八 章 多元函数微分法 第八节 多元函数的极值及其求法
令A=f(00)，B=f5(0),C=f%(x0),则 )9-4C0,f(x0,为)不是极值 (3)B2-AC=0,f(伍0，)可能是极值，也可能不是极值。 例3求函数f(x,y)=x3-y3+3的极值. ”gmaa-司 =6x,f0=3,f%=-6y 在(0,0)点处，A=f(0,0)=0,B=0,0)=3.f”0,0)=0 B2-AC>0,f(0,0)不是极值。 在1-0点处，A=f1-1)=6.B=5,-1)=3.f51,-10=6 B2-AC0 所以函数的极小值为f(1,-1)=一1 在实际问颗中，如果函数的最大值（或最小值）存在，而函数在所讨论的区域内只有 唯一驻点，那么该驻点处的函数值就是所 大值（或最小值 例4某厂装用铁板做成 尺十时，才能使用料最省。 复业方水省长意对防少，账方梦省的为子，出超运，精装职为 y x 由是-0导-0牌：X阿克，敬当长方体水箱的张、邀、高椰是迈时，用料最省。 二、条件极值拉格阴日辣激法 我们把函数寸(x,y)=x2+y2-2x在条件x-y=0下的极值问题称为条件极值， 下面介绍“拉格明日乘数法”求条件极值。 形1求涵数=f(x,）在条件风x,y）=0下的吸值的应格日秉数法；
2
第一步作拉格朗日函数L(x,y,)=f(x,y)+几g网x,y): 第二步求三元函数L(x,y,2)的驻点(6，)；其中点(x,y)是z=fx,)在条 件x,y)=0下的可能极值点； 第三步判别(x,yo)是否为z=f(x,y)在条件x,y)=0下的极值点。（在实际问 题中，往往可以根据实际问题本身判别 形2求函数4=f(x,y,z)在条件(x,y,z)=0,叭x,y,z)=0下的吸值的应格 朗日激法： 第一步作拉格朗日函数L(x,y,乙，)=f(x,y,z)+(x,y,z)+H叭x,y,z): 第二步求函数L(x,y,2,2)的驻点(，%，20，)；其中点(x0,%,20)是 4=f(x,y,z)在条件0(x,y,z)=0,叭x,y,z)=0下的可能极值点： 第三步判别(x,%,20)是香为4=f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0,x,y,z)=0 下的极值点。这种方法还可以推广到自变量多于两个，而条件多于一个的情形。 例5用拉格朗日乘数法求直线x一y一1=0与抛物线y=x2之间的最短距离。 解设(x,y)是抛物线y=x2上的任意一点，它到直线x-y-1=0的距离为 d=1x-y-=1x-y-1川 VP+(-)22 原题即为求函数d=d(x,y)在条件y=x2下的最小值（注意：d=d(x,y)在条件 y=x2下的最小值点与(x-y-1)在条件y=x2下的最小值点相同：)，作拉格朗日函数 L(x,y,2)=(x-y-)2+y-x2) L-0, aL 由 8x 形-0,1 =0得： a2 1 1 X=- 4 故x-y-1=0与y=x2之间的最短距离为 3 d-8 3
3