第十章曲线积分与曲而积分 第二节对坐标的曲线积分 一、对坐标曲线积盼的相念与性质 引例变力沿曲线所作的功 设一质点M在xy面内从点A沿光滑曲线L移动到点B,在移动过程中，这质 点受到力(x,)=P(x,y加+Q(x,y)j的作用，其中P(x,)、 Q(x,y)）在L上连续，求变力户对质点M所作的功W. 方开 如果力户是常力，且质点沿直线移动，则 力方所作的功为：W=京A丽户1A丽1co3aA 现力户是变力，且质点沿曲线移动，功不能用上述公式计算，但可以用分制，取近 似，求和，取极限来解决， （1分割用分点A=M0,41(1),M2(xy2),M-(x-1y-1), M。=B,将曲线乙任意分成2段： MoM1,M1M2.,MM.,MM 小段长：△S1，△S2，.，△S，.,△s 力f作的功：△9，△2.，△，△9， 有W=之△m 个y M= M A=。 M (2)取近似在第1小段M1M上任取一点（练，：），i=1,2.,在小段
1 第 十 章 曲线积分与曲面积分 第二节 对坐标的曲线积分
MM,上，质点M可以看作沿直线M:M,运动，外力F可以以为是常力 F(5,)=P(5,乃点+Q(5,刀)方，因此， △m,sF(,初)MM 而MM=(-x-1y-y)=△x+4yj 所以 △，P(,n)△x+Q(5,n:)Ay (3)求和W2PG,)a+2(g,:)4】 （4)取极限 思F60a+06M咖 =2P6m+0G】 在物理等实际问中，常遇到上述类型的极限。因此引进对坐标的曲线积分的瓶念 定义设L为xy面内从点A到点B的一条光滑曲线，函数P(x,y),Q(x,)在 L上有界，在L上沿乙的方向任意插入一点列M1(伍），M2(不，y2),. M4(伍1-)把L分成n个小有胸孤段MM（i=1,2,8:M0=A, M,=B),设△x=x-x1,y=片-为1，点(，)为MM:上任意 取定的-点，如果当各小的长度的最大值入→0时，职之P(G,)A总存 在，则称此极限为函数P(x,)在有向曲线弧L上对坐标x的曲饿积分，记作 Ph,如要县字QG,4t,为2x
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在有向曲线段L上对坐标y的曲线积盼，记作」2(x,y)的，即： ,Pxk=马2P ∫2x,d=典2e,y 其中P(x,y),2(x,)叫做被通数，L叫做积盼股， 说明1°在应用中常出现 JP(.dx+J .P.yd+ 2°实例中功w=JP(x,ydr+Q(红，)西 子贺：1x冰=2%a 1n2xy2=22%.6a04y 1.以地=典2R6,5 4 5 Pax+5 Qoy+5 Rdz=,Pax+Qdy+Rdz 性质（1)如果乙=乙+乙2，则有 Pdx+Qdy=Pdx+Qdy+Pdx+Qdy 〔2)∫Pd+C妙=-_Pk+C妙，其中工是与L方肉相版的有胸领段. 二、对坐标的曲线积分的叶算方法 定理设P(x,y),Q(x,y)在有向弧段L上有定义且连续，L的参数方程为：
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=y当参数单由a到时，点M从的能点A沿L运动 x= 络点B，),)在以α，B为端点的闭区间上有一阶连续导数，且 d2(+w2因≠0，则曲线积盼」，P(x,yx+Q(x,)y存在，且 JP(x.)dx+Q(x.dy=P().()+()vpt 注（1)计算要点为 1P由于被积函数定义在乙上，所似(x,)在L上变化，因此x,y可以用 ),④代苦. 20dx=gp(0dt,山=we)d 下限α台起点A的参数，上限日←分络点B的参数，上限不一定大于下限， (a)事每照乙的促为y=g闭则上的方程为：8内·从有 ∫x=x JPd+C妙=JP(x,g(x》+Q(x,g(x》g(la 其中a对应L的志点，b对应L的终点。 想一想，如曲线孤L的方程为x=0y)4Sy≤b,怎么办？ 「x=pe) (3)推广：如果空间有向曲线的方程为：y=()&≤≤，则有 z=@0 IPk+Q+R施 -J.(Fc).v).a0H@)+a).u).aJ)+Ra.u.al0)dx 中下限起点A的数，上限6厂终点B的参数
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创1计算红+3x0,其中L先沿直线从点A1,1)到点B(2,2),然后再沿直 线到点C(3,2)的折线。 ↑yB(22)C(3,2) 解AB:y=x BC y=2 A1,1) AB起点A对应参数x=1,终点B对应 参数x=2,所似 Jydx+3xd=xdx+3xdx=6 BC起点B对应参数x=2,络点C对应参数x=3,所似 +3xd=22dx+3xd2=2 从而 Jr+3xy=6+2=8 0计算x动-，其中积分路径乙为 （a)在楼y=名-b上，从点4a0随0-)的-强。 解(1)原稀图方程即厂不=ac084 (y=bsint 4→1=0,8→=贸 labcost+absin? 2个y (2)直碳4B为：y=名-力，起4x=a,路点8对服x=0
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此例悦明，曲线积分值不仅与路径的起点与终点有关，还与积分路径有关有关，当 路径不同时，尽管有相同的起点与终点，积分值仍可能不相等， 例3计算2x)x+x2的，其中L为 781,1 （1)抛物嬲y=x2从点O到B的一段弧： （2)抛物线x=y2从点0到B的一致弧。 o （3)有向折线OAB 解(1)L:y=x20≤x≤1 ∫2ndt+2=j4xdk=1 (2)Z:x=y20≤y≤1 ∫2+动=y=1 (3)Z=0A+0B 20+x2的=1 从例3中可以看到：沿不同的路径，曲线积分的值可以相等，即积分值与路径无关。 例4计算[x3d红+3y2-x2，其中是从点4(3,2,1)到点B(0,00)的 直线段AB 「x=3 z=t 从而：x2+3淘2-x地=-87 4 三、两类曲线积之间的底系 两英曲线积分之间可以互相啭化，以平面情形为例悦明。 设L的正向是从点A到点B,L上任一点(x,y)的切向量的指向与L正向相 应，心，B为在点(x,)的方向角 dx=dscos(,x)=dscosa dy=ds cos()=dscosB
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从而有 个y ddB A dx dy ,Par+ew=∫，[Pcosa+ecos]as 注1°&，B即为有向孤段L在点(x,)处与L正向相应的切向量的方向角： 22化9aee00例i证 向去定正负号， 例5把，Pd红+Q如化为对弧长的曲线积分，其中L为抛物线y=x2上从点 (0,0)到点(1,1)的-段。 解A:y=x2,任-点切向量i=机，2x),取正，因为cosa>0 1 2x J,Pdx+Qdy=J,[P- 价n地 EL脑+0-P0业 1
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