第十章曲线积分与曲而积分 第一节对弧长的幽线积分 在上一章中，我们把定积分的瓶念推广到重积盼，被积分函数为二元函数或三元还 数，积分区城是平面区城或空问区域，但在实际问要中，还不断地提出新问题，如要求 的将念、应用、计算方法，并建立曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分之间的联 系。 第一节战长的曲战盼 一、对长的曲线积分的念与性质 引例：设平面上有一曲线型构件L=AB,其上任一点M(x,)处的线密度为 4(x,月，当点M(x,y)在AB上移动时，4(x,)在AB上连续，求此构件的质 量 当4（，）为常数时，构件的质量m线密度×长度，现曲线弧段的线密度不是常 数，不能用此公式来计算。要用四步来求。 (1)分制用分点A=M0,M1,M2.,M1,M2=B,将曲线L任意 分成n段 MoM1,M1M2,.,MM1,.,M1M。 小段长：△51，△S2·.·△.，△， 小段质量：△%1，△m2，.，△洲与，.，△m 有州=立△% M= M/ A=￥。 M 〔2)取近似在第i小段MM上任取一点(，)，i=1,2,.,# △mgA(5,7:)△S:
1 第 十 章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分
（4)取限州=巴，立以气nAs=职之4（传：刚△ 这种形式的极限在研究其它问题时（如质星分布不均匀的曲线的重心，转动惯量） 也会遇到 定义设L为x©y面内的一条光滑曲线，函数f(x,y)在L上有界，在L上任意插 入一点列：M1,M2.,M1把L分成小段.设第i个小段长为△s又(，) 为第i个小段上任意取定的一点，作桑积了（传，门：）△5，〔i=1,2,.,注)，并作和 如果当各小弧段的长度的最大值入→0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 f(x,)在曲线孤L上对球长的规积盼，记作，f(x,y)d6,即 /0油=典2G 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做兴分股 注1P曲线孤的质量m=厂p(x,y)ds 2°当f(x,y)在L上连续时，」f(x,y)存在 9雌：%地=26M,5a 性质1∫1ds-∫6-孤段L的长度 性质2如果L=乙+L2,那么∫J(x,y6=f(x,)ds+fx,y)d6 y 例如：L如图所示L=AC+CB,则有 B y=x 2
2
f(sliof(x.ds+(ds 二、对长的曲线积分的计算方法 定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为： ∫x=) a≤t≤ y=0 其中)，)在[a,月上具有一阶连续导数，④2(0+2①≠0，则 J(x,yd存在，且 fx,y)s=几a0.2因+w@〔x<B) 注(1)计算要点为 1°由于被积函数定义在L上，所似（不，）在乙上变化，因此不，y可以用 ge),0代替。 2°孤长元索ds=√x)2+()2=o2)+w”④d 3积分下限小于积分上限。 (2)若曲线弧L的方程为y=g(x)口≤x≤b,则L的参数方程为： =8（'ax≤6，从而有 ∫x=x Jx,yas=∫fx,g(x》n1+g2(x 月：如曲线孤L的方程为x=hy),a≤y≤b,怎么办？ [x=e) （3)若空间曲线弧「的方程为：y=()a&≤t≤B,则有 z=a(0 f(xy,z)ds=∫[0，t),a]V每2国+w④+a2d 3
3
弧长元索dk=√dx2+(}2+(d 例1计算：(x+)dG其中(1)L为段iB,(2)L为直线段OA,(3)L 为直线段O,(4)L为扇形区城的整个边界。 :{0s:经 A 光+=a ds=VR”+ydt=adt ∫a（x+)s=后a(cost+-m9adt=a2 丽想：07-0a ae+油=款岩 o丽雅6c0a-hga- x+i=后x=a (4) f+=a++nK+k+jnx+h-3+2。 例2计算zd,其中T为螺旋线x=acost、y=aim、z=杜上相应 于t从0到2π的-一段弧 解s=√)+y)+z”④t=a2+k出 ,=广6otaa后+=头+把：曲2速 2
4
2 2 例3计算半径为R、中心角为2的回弧L对于它的对称轴的转动债量（设线密度 为1x 分新析由元素法，密度为(x,)的曲线型物体L对坐标轴的转动惯量为： 1.=.de ，=2ox, 解L方理：=Rcot ly=Rmi-asisa) I=yds="(Rsint)(-Rsint)+(Rcost)dt=R(a-sin acosa) 例4计算，()，其中乙为连接(1，)及(0，)两点的直线段（学生做） 期【防程：105s1 ds=+)dx=dx 所.o-广0-vs-号 5
5