第九章重积分 第二节二重积分的计算法 一利用直角坐标计植二重积 在直角坐标系中，do=dxd的，从而∬f(x,y)dc=J∬f(亿，y)d红d的 假定D:a≤x≤b,(x≤y≤码)；在D上f(x,y)20 2=f(x,y) y=9(x) y=(因 a xo b x 一方面，由几何意义知∬f(x,y)dG= 另一方面，此立体为已知平行面的面积，求立体的体积这类立体.为此，在[α，b] 任取一点而，用X=x截立体，平行截面为一曲边梯形，其底为区间 [9(x,码()】，曲边方程为2=f(x0)，故此藏面积为： =f炒 一架地，过口，b]止任-点不处的平行截面的面积为：4成习=/（红炒 从雨a-4=[fx中k 践∬xao=[x (*) 说明：1积分区城D:a≤x≤b,()≤y≤)称为x一型区城
1 第 九 章 重 积 分 第二节 二重积分的计算法
20公式(*)对于f(红，)≤0，或f(红，有正有负也成立. 3[x)中在通写记为五侧/x冲，数 ∬xda=广aa, 上式右端称为先y后x的二次积分。 40积分区域D:c≤y≤d,4)≤x≤4Oy)时，（称D为y 到区城) 八xaa=[i(.ds=x,h 上式右端称为先x后y的二次积分。 二重积分化为二次积分时，关硬是确定积分限，为了能正确地确定积分限，必须先 画出积区城，观察形状，和上述两种情形对照。应用公式即可 创1格(x)dG化为两种不同可欢序的二次积分，其中D由y=x, y=2-x及x轴围成。 解(1)先积y后积x: ∬ao=gfxw+f (2)先积x后积y 少=2- ∬xdo=∫例fa,k 计算j∬x0,其中D由y=1,x=2及y=x围成 解法1先积y后积x: 个y Y=x o如-广时ow-号 解法2先积x后积y
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1oo-广o-号 例3求∬dG,其中D由抛物线y2=x及直线y=X-2围成 解法1先积x后积y 本y y2=x /(4,2) ∬odo==5号 解法2先积y后积不 yy=x- 71.-10 ∬odo-afw+ao=s是 解4D们产，其中Dy=y=国酰。 2)∬ed,其中D由y=xy=1,x=0图酸.书 解1)先积y后积x(注意：本题积分次序只能这样选才能计算出积分值：) 川0o-=a-动=1m1 y 2)先积x后积y B-x 小era-oe=- 例5计算由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物 面x2+y2=6-乙截得立体的体积。个2 z=6-x2-y2 解V=∬6-2-y2)ao -。6-y-号 +y=1
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例6交换下列二次积分的积分次序。 mJx+, y=x a底h -1.1 解()与=次积了x,冲、，x,冲相脑的二重 积分的积分城为D、D,故变热积分次序，得： dsf.dd y=4-xy a信f0a-6 y=2x+4 -2 三、利佣极坐标计算二重积彩盼 儿代a=共会传n可是-个案数，与驱装D分法及点 (传，”，)的取法无关。在极坐标系下，用 P=常数以原点为中心的同心圆族 日=常数过极点的射线族 把区城D分成？块，由元素法，得面积元素 do=odedo 因此 在极坐标系下计算二重积盼，同样是化为二次积分来计算的 皆我1：积分区域D:≤8≤B,()≤≤码()，则有 ∬f(,pi
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=广do8,0 P=(月 e=(8) 形2：积分区城D:a≤8≤B,0≤p≤)，则有 =defocos8,omaap p=le) 0 皆形3：积分区城D:0≤日≤2π，0≤0≤以)，则有： ∬f&,psm9)aaup p=0 =ddfocsapsaadp/ 。x 1求∬edG,其中D=《a,k20y20,2+y2s小. 舞j∬e-产aG=∬cdp 2+y2=R =j后=T-e心)十。 说明巾如采用直角坐标，原积粉=内。少积不出未，图此 用极坐标算二重积分是有意义的。 2”由此衡可推出：。”d次=医，并得到T=斤
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例：求∬xdo,其中D=《(红，帅≤2+y2≤4 da-'o co d 创3∬aa,其中D={apy≤2+y2≤4↑y 解∬aa=6mdp2do=7n p=2sim 厂a9u0-2jfaa0- 现在有两种方法求二重积分，到底用郑一种来求积分呢？一极情祝下，当积分城的 边界用极坐标表示较简单（如圆，半圆等等）或被积函数具有f(x2+y),(心)时， 用极坐标计算比较容易，两者兼而有之，更要用极坐标来积，否则，往往用直角坐标来 计算。 e+切ao,x*D-冰+y21+ys到孙+ 解八(x+do =e6ocos8+map-ax+n=月 刚5求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立的体积 ,o: ∫x2+y2=2 z=0 r=∬6-2x2-ydo-∬+2ao x2+y2=2
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=∬6-3x2-3ydg=a0(6-p,ao=6r 创6化=次积分女x,功为极坐标形式的二次积分。 g原=ag尚/ocs民PmaD 最后谈一下区域的面积。 设区城D:a≤8≤6,0spP≤以( D) 区城D的面积=∬do=∬a0 ∠8a -doad 即：区装D的面职=打以Ojd0,这-结果与上带书中结果-#. 1
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