第七章向量代数与空间解析几何 第六节空间直线及其方程 一、空直的一报方程 设空间两个不平行平面为万1：Ax+By+C2+A=0乃3： Ax+By+Cz+D=0 空间点M(x,八，z）在这两个平面的交线上的充分必要条件是M的坐标满足 Ax+By+Cz+D=0 （1) Ax+B2y+C2z+D2=0 我们把方程组(1)称为空间直线的一股方程。 二、空问直的对称式方程与参数方程 空问直线的方向向的搬念：如果一个非季向量平行于一条已知直线， 这个向量就称为这条直线的方向向量， M 发记为=(m,p】 设直线过点M0(不，%，)，与向星5=(m,”,P)平行，则空间点M(x,y2)在该直线 上的充分必要条件是M的坐标满足 x-西=y-%=名-列 2) 月 p 方程〔2)叫做直钱的对称式方程或点向式方程。 直钱的任一方向向量云的坐标州、”，一P叫蚊一直线的一组方向教，而向量百 的方向余则叫做这一直线的一组方向余弦 由直线的对称式方程(2)，令 -西-y=为=-=6 [x=6+城 y=为+ (3) Lz=20+pt
1 第 七 章 向量代数与空间解析几何 第六节 空间直线及其方程
方程(3)口叫做直线的参数方程。 例1用对称式方程及参数方程表示直线乙： ∫x-y+z=1 2x+y+z=4 解先求出直线上的一点(0，y0,20), 取而=1则人%+=0 D%=1 %+20=2 故(11,1)是L上一点 20=1 设L的方向向量为言，则云⊥元，忘⊥，故取奇 方刘 =1×2= 1 -2+j+3统 21 从而L的对称式方程为： x-1_y-1-2-1 -2 1 3 [x=1-2x L的参数方程为： y=1+t z=1+3 注L: 「Ax+By+Cz+D1=0 4x+8,y+C2+,=0的方向胸量为=房×元 三、两直钱的夹角 两直线的方向向量的夹角〔通常指锐角)叫做两直线的夹角。设两直线的方程如下 4:-4=-4=-4乙，：为=y必=2 2 %1P1 m22P2 则两直线的夹角印可由下列夹角金说公式确宝 |mm3+22+乃P2| cos=- mi+ni+pim+n+p? 根据两向量垂直、平行的条件立即可得： 两直钱互相垂直〔乙上乙，)的条件是：mm+%%十P”2=0
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两直线互相平行（乙1〃乙2）的条件是：州-生=凸 %P2 ∫x+2y-z=7 例2证明直线乙 -2江+y+2=7与直线乙马：x+6-38红相平行品 2x-y-2=0 解直线乙与直线乙2的方向向量分别为 S1=12-0×(-2,1,1)=(3,1,5), 52=3,6,-3)×2,-1,-1)=(-9,-3.-15) 由可∥6知： 直线乙与直线L2互相平行. 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角0(0≤P<)称为直 线与平面的夹角：当直钱与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为 2 设直线L:不一而=y-为=2- p 其方向向量为=(m,为，P）, 平面π：Ax+y+C2+D=0法向量元=(A,B,C) 直钱L与平面π的夹角可由下列公式确定 Am+Bn+Cpl 细0J尽+B+Cm+m2+p 洲2D LHπ台言⊥京台Am+Bm+C=0 例3试确定下列组中的直线和平面可的关系 -写知4-2y-2=3
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2)管号和3-2+7红=8 解(1)直线方向向量为云=(-2，-7,3)，平面法向量元=(4，-2，-2) 言，元=0，言⊥苏，直线与平面平行。 （2)直线方向向量为=(3，-2,7)，平面法向量元=(3，-2,7) 显然言∥元，故直线垂直于平面。 五、杂例 %求过点P213且与不中=垂直相胶的直的方 2 靡方法-设垂足为M(x0y0,20),则PM=(x0-2,0-1,z0-3) 直线的方向向量百=(3,2，-1)，由P证⊥百，得3(0-2)+2(%-)-亿0-)=0 男外，由M0,2)在直线上，有布+1_为-1-产。 3 2-1 所求直线方程为 x-2=y-1=2-3 2 -14 方法过点P21且于致生兮二的干面想为 32 3(x-2)+20y-10-(2-3)=0 13 向量 8=Pm=-2,-140 故所求直线的方程为 -2y-1_2-3 2 有时用平面束的方程解题较方便，下面介绍它的方程。 设直线L由方程组
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Ax+By+Cz+D=0 Ax+B2y+C22+D=0 确定，其中A,B1C1与4.B2,C2不成比例，则平面 Ax+By+Cz+D+(Ax+B2y+C2z+D)=0() 是面过定直线L除平面Ax十B,y+C2+D=0外的所有平面（平面束）的方程 〔取不同的值)，方程(*)就作为通过直线L的平面束的方程。 例2求直线+y-2-1=0 x-y+z+1=0 在平面刀：x+y十z=0上的投影直钱的方程。 由于α经过直线乙，故&的平面束方程为： x+y-z-1+(x-y+z+1)=0 开 即1+)x+1-y+(-1+)z-1+=0 又因x垂直于π，故：(1+)1+1-)1+(-1+)1=0 于是=-1，Q的方程为：y-z-1=0,救投影直线的方程为 ∫y-z-1=0 1x+y+z=0
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