第七章向量代数与空间解析几儿何 第五节平面及其方程 一、平面的点法式方程 平面法向量的念：如果一个非季向量垂直于一平面，这向量 就称为平面的法向量。 设平面π过点Mo(0,0,20),其法向量元=(A,B,C,下面 我们来建立该平面的方程。 M。π 设空间任意一点为M(不，y,),则点M在平面π上的充分必要条件为 苏2MoM=0 A(x-x)+B0-%)+C(2-2)=0 （1) 方程(1)叫做平面的点法式方程。 例1设A1,-10)、B(3,1,-1),求过点A1,-1,0)且与AB垂直的平面的方程。 解取平面的法向量方=A丽=(2,2，一1)，根据平面的点法式方程得所求的平面的方程光 2(x-1)+20y+10+(-0(2-0)=0 2x+2y-z=0 例2求过三点M1(2-1,句、M2(-13,0)、M,0,2,5)的平面方程 解取平面的法向量克=MM2×2MM=（←34，-)×(-2,3-1)=(14,9，-) 根据平面的，点法式方程得所求的平面的方程为 14x+9y-z-13=0 二、平面的一报方程 一方面，根据平面的点法式方程可得：任意平面都可以用三元一次方程来表示。 另一方面，设有三元一次方程 Ax++C2+D=0 (2) 我们任取该方程的一组解0，%，乙0，即
1 第 七 章 向量代数与空间解析几何 第五节 平面及其方程
A0+6+C2。+D=0 （3) 将(2)式减去(3)式，得 4A(x-x)+B0-%)+C(2-20)=0 () 把(4)式与(1)式比嫩，可知方程(4)是通过点M0(0y0,20),以蓉={(A,B,C) 为法向量的平面方程，但方程(4)与方程(2)同解，故方程(2)也是平面的方程，由此 可知，任意三元一次方程(2)的图形总是一个平面。方程(2)称为平面的一股方程，且 其中x,八，z的系数就是该平面的-个法向量，即京=(AB,C) 例3一平面过两点M1(1,1,)、M2(0,1,-1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方 程 解M1M2=（←1,0，-2)，元=(11,1) 取方=M证×高=(2，-1-1) 所求平面方程为：2x-y-z=0 x++30 特珠的平面方程 （1)过原点的平面Ax++C2=0（D=0) (2)平行于坐标轴的平面 平行于x轴平面：+C2+D=0(A=0) 平行于y轴平面：Ax+C2+D=0(B=0) 平行于z轴平面：Ax++D=0〔C=0) （3)平行于坐标面的平面 平行于x0y面的平面：C2+D=0 (A=B=0) 平行于02面的平面：Ax+D=0 (B=C=0) 平行于z0x面的平面：y+D=0 (A=C=0) 2
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〔4)xoy面：z=00z面：x=0 20x面：y=0 例4求过点(4，-3，-1)和x轴的平面的方程。 解法1设所求平面的方程为Ax+y+Cz+D=0,在x轴上取点(0,0,0)，(1,00)，代入 Ax++C2+D=0得： D=0,A=0 格d-3-)代入+G=0得：8=一C 所以平面为 y+C2=0即 y-3z=0 解法2设所球方程为+C2=0,将点(4，-3.-1) 代入得C=-3B.→y-3z=0 例5设-平面与x,y,z轴的文点分别为P(a,0,0)、2(0,b,0)和R(0,0,c)(abc≠0)， 求这平面方程。 解设所球平面的方程为Ax++C2+D=0, 则 [aA+D=0 3bB+D=0 [cC+D=0 年A=日B=号C=-8代以++0+D=0 a 并消去D(D≠0)， 注上述方程称为平面的截距式方程。 3
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三、两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角（指锐角）称为两平面的夹角 设两个平面的方程如下： 万1：Ax+By+C2+D=0 =(4,B,C π3：Ax+B2y+C22+D3=0 2={A2,B2,C2) 从而，两平面的夹角的余弦为 cos8=- 1AA+BB2+CC2 4+B2+C·VA好+盼+C图 由此公式可求出两平面的夹角日， 根据两向量垂直、平行的条件立即可得： 两个平面乃1，乃互相垂直的条件是：AA,+月B2+CC2=0 两个平面石，乃互相平行的条件是：1=马=S ABC 例6求x-y+22-6=0和2x+y+z-5=0的夹角 解：序=(1-12分，元2=(2110 例7证明：点8（不0，%，20）到平面π：Ax++C2+D=0的距离 d=l+,+C4+D A2+B2+C2 证设R(x,为，2)为π上任意一点，则Ax+1+C名1+D=0
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因为E方引川B1cos(BE,^),日=（日E,^前或π-(BE,^) 而dB|cos8BE川cos(B瓦，^)川，所似 d=B8_14(-+80-)+C6-4++C+D 1方1 A2+B2+C2 √A2+B2+C2
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