第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 一、定盼村恶举例 】,曲边梯形的面职 设y=f(x)在区间,上非负、连续。由=,y=0,y=f(x)所围成的图形称 为曲边梯形〔见下图)，求其面积A,具体计算步骤如下： （1)分割：在a,刷中任意插入若干个分点a=0
1 第 五 章 定 积 分 第一节 定积分的概念与性质
（3)所程-宫42G4 i- （)短8=妈之G4,x中=仙，. 二、定积分的定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在【a,b]中任意插入若千个分点 a=
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A=-fa8=顶e)d 三、定积粉存在的条件 定理1设f(x)在区问【a,b1上连续，则f(x)在[a,b1上可积。 定理2设f(x)在区间【a,b】上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在【a,b1上 可积。 四、定粉几何意义 f(x)20时， 了厂f(x)d女一一曲边梯形的面积 f(x)≤0时， 厂(x)欢-一曲边梯形面积的负值 一般f(x), f(x)d水-一阴影部分的面积的代数和。 a 0b 五、实例 9y=x2 例求xk 期(1)等粉名==12.m-1.4x= 2)康与=：了=白号 01× o宫a-22.+2a相 6n3 4e+田-4恤=月 六、定盼的性质 两条规定： 3
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(1)当a=b时，心J)dk=0 （2)当a>b时，fx)dr=-f(x)dk 性质1/)士g(xax=fx)d±gw)dk 性质2材(x)ax=kf(x)d(k是非零常数) 性质3f(x)d红=∫广f(x)d众+「广f(x)d（定积分对于积分区间具有可加性) 性质41d在=dk=b-a 性厦5若f)20xea,b创，则J)dk20(ab) 推论1若f)≤g.xe[a,创，则f(闭d≤g(asb) 推论：fx)ds心if训(ah) 性质6设M及n分别，是函数f(x)在区间【a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a）≤f(x)d≤M(b-a）(a
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f)d=fG6-） 定积分中值定理的几何解释 上图中曲边梯形的面积厂f(x)x等于矩形的面积f(传(b-a). 例1估计下列各积分的值 (1)4=1+m2ak g由1s1+a2xs2,得：后m≤位a+m?0hs2后寻 π≤1≤2x (2)4=eh 解2=-erdh,记f)=exe0,2] 由f"闭=g2x-0=0→0=支 0=9=@=,Mem 从雨e≤f0)≤e22esf0dk≤2e2 -2e2s610s-2o 例2设∫(x),g(x)在【a,b】上连续，证明 (1)若在ta,b1上，J)20且f(dk=0,则在ta,b1上j因=0 (2)若在【a,b1上，f(x)20且fx)=0则f(x)d>0 (3)若在【a,b1上，f(x)≤g()且f(x)dr=∫厂g(x)dx,则赃【a,b1上
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f(x)=g(x) 证(1)反证法：若3x。∈[a,b】使f(x)≠0，则f(x)>0 由连续函数的局部保号性，必存在×的某一邻城（不一石，不0十可） 使f)>f6>0xe6-6,+ 2 闭=f闭+[J网k+f闭ah 由于右边三项均排负，且第二项太于零，热厂f(x)x>B,与厂f(x)dx=B矛盾 (2)由f(x)20知f6x)dx之20 若f(x)d=0则由(1)f(x)=0矛盾，故[f(x)dk>日 (3)记F(x)=g(x)-f(x)由(1)即证. 例3根据定积分的性质及例2的结论，说明下列积分哪一个值较大？ (1)hxd红与mx)2d 解当x∈[1,2]时，0≤hx广mx)2dk (2)xdx与h(1+xdr 解记f(x)=x-h(1+x)xe[0,1则 周因=1中培>00四 从而f(x)>f(0)=0→x2n(1+x)且x=(1+x) 故xd>h(1+xa. 6
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