第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 一、定盼村恶举例 】,曲边梯形的面职 设y=f(x)在区间,上非负、连续。由=,y=0,y=f(x)所围成的图形称 为曲边梯形〔见下图)，求其面积A,具体计算步骤如下： （1)分割：在a,刷中任意插入若干个分点a=0<石<.<x。=b 把a,分成m个小区间 [,]【,].,[x,不】 它们的长度依次为△x,△x2,△x (2)近似代：区间[飞1，]对应的第1个小 a 曲边梯形面积△Af(5)△x;(廿号∈[x-1,]) 《3)求和：曲这能形面积A=之△4≈之J(传)△ -1 - （4)取极限曲边梯形面积A=织之J传)A,其中2=max(41.△x,) 2.速直线运动常程 设物体作直线运动，已知速度v=v()是时问间隔T1,T,】上的负连续函数，计其 这段时间内物体经过的路程：，具体计算步骤与上相似 (1)在T,T2]中任意插入若千个分点a=0<马<.<4=b 把T1T2分成个小区间[，]，[店，42]，[区14]，它们的张度依次为 △6，△52’.，△n (2)区间[4-1,4]对应的第1小段路程△s≈f()△，(V石∈[4,4])
1 第 五 章 定 积 分 第一节 定积分的概念与性质
（3)所程-宫42G4 i- （)短8=妈之G4,x中=仙，. 二、定积分的定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在【a,b]中任意插入若千个分点 a=<<.<x=b 把【a,b]分成n个小区间[石，]，[函，]，[x4,x,] 它们的长度依次为△x,△x.,△x 在每个小区间[，]上任取一点会，作和=之（传）△：记 =max(△x1,.△x,), 如果不论对【，b】怎样分发，也不论在小区间[不4，]上点怎样取法，只 要当入→0时，和S总趋于确定的极限则称极限1为函数f(x)在区间【a,b】 上霸(，记为，即儿在=1=典2G 其中∫(x)叫做被积函数，f(xd红叫做被积表达式，x叫做积份变量，a叫做积分 下限，b叫做积分上限【a,b1叫敏积分区间. 注意1：丛符导上看，定积分与不定积分相似，但本质上，定积分是一个极限值( 确定的数，而不定积分是带有任意常数的原函数， 注意2：极限I仅与函数f(x)及区间[a,b】有关，显然有： fx)dr=ft=fdu=. 由定积分定义，前面两例中的曲边梯形的面积与变速直线运动路程可以用定积分表示
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A=-fa8=顶e)d 三、定积粉存在的条件 定理1设f(x)在区问【a,b1上连续，则f(x)在[a,b1上可积。 定理2设f(x)在区间【a,b】上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在【a,b1上 可积。 四、定粉几何意义 f(x)20时， 了厂f(x)d女一一曲边梯形的面积 f(x)≤0时， 厂(x)欢-一曲边梯形面积的负值 一般f(x), f(x)d水-一阴影部分的面积的代数和。 a 0b 五、实例 9y=x2 例求xk 期(1)等粉名==12.m-1.4x= 2)康与=：了=白号 01× o宫a-22.+2a相 6n3 4e+田-4恤=月 六、定盼的性质 两条规定： 3
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(1)当a=b时，心J)dk=0 （2)当a>b时，fx)dr=-f(x)dk 性质1/)士g(xax=fx)d±gw)dk 性质2材(x)ax=kf(x)d(k是非零常数) 性质3f(x)d红=∫广f(x)d众+「广f(x)d（定积分对于积分区间具有可加性) 性质41d在=dk=b-a 性厦5若f)20xea,b创，则J)dk20(ab) 推论1若f)≤g.xe[a,创，则f(闭d≤g(asb) 推论：fx)ds心if训(ah) 性质6设M及n分别，是函数f(x)在区间【a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a）≤f(x)d≤M(b-a）(a<b) 性质7。（定积分中值定理） 如果函数(x)在闭区间【4，b】上连续，则在积分区间【4，b】上至少 存在一点5，使f(x)dx=f(Gb-a） 证因为f(x)连续，故f(x)在闭驱问[a,b上一定取得最大值M与最小值m 由性质6得 m≤。2easM 根据连续函数的介值定理，知在【4，b]上至少存在一点5，使 w=fg
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f)d=fG6-） 定积分中值定理的几何解释 上图中曲边梯形的面积厂f(x)x等于矩形的面积f(传(b-a). 例1估计下列各积分的值 (1)4=1+m2ak g由1s1+a2xs2,得：后m≤位a+m?0hs2后寻 π≤1≤2x (2)4=eh 解2=-erdh,记f)=exe0,2] 由f"闭=g2x-0=0→0=支 0=9=@=,Mem 从雨e≤f0)≤e22esf0dk≤2e2 -2e2s610s-2o 例2设∫(x),g(x)在【a,b】上连续，证明 (1)若在ta,b1上，J)20且f(dk=0,则在ta,b1上j因=0 (2)若在【a,b1上，f(x)20且fx)=0则f(x)d>0 (3)若在【a,b1上，f(x)≤g()且f(x)dr=∫厂g(x)dx,则赃【a,b1上
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f(x)=g(x) 证(1)反证法：若3x。∈[a,b】使f(x)≠0，则f(x)>0 由连续函数的局部保号性，必存在×的某一邻城（不一石，不0十可） 使f)>f6>0xe6-6,+ 2 闭=f闭+[J网k+f闭ah 由于右边三项均排负，且第二项太于零，热厂f(x)x>B,与厂f(x)dx=B矛盾 (2)由f(x)20知f6x)dx之20 若f(x)d=0则由(1)f(x)=0矛盾，故[f(x)dk>日 (3)记F(x)=g(x)-f(x)由(1)即证. 例3根据定积分的性质及例2的结论，说明下列积分哪一个值较大？ (1)hxd红与mx)2d 解当x∈[1,2]时，0≤hx广mx)2dk (2)xdx与h(1+xdr 解记f(x)=x-h(1+x)xe[0,1则 周因=1中培>00四 从而f(x)>f(0)=0→x2n(1+x)且x=(1+x) 故xd>h(1+xa. 6
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