第五章定积分 第三节定积分的换元法和分部积分法 一、定积粉的元法 定理〔定影分的换元公式) 设函数(x)在区间【a,b】上连续，函数x=)满足条件 (1)g叫=a,m0=b （2)在[a,]([P,a]上具有连续导数，且其值城不延出【a,b1,则有 [f(dx=[fdt 证设F()是f(x)在区间【a,b1上的-个原函数，即F(x)=f(),则 na01=ro1p0=n9po 即F】]是f[]p')在[a,]上的-个原函数用牛-莱公式有， 上1 Kldtd=Floo=q以1-L以al=Fo)-Fa 从而 f对dk=广Tl)a 说明：不定积分一一作变量代换后求积的结果要回代： 定积分一一作变量代换的同时，积分上、下限要相应地改支。 钢1序cos'xsin xdx=cosx,x:0~牙，：10 =r(-=at=名 〔也可以直接用x为支量积分) 创26m3x-m'xdk xcoscoxd -f5-gf-gg 例3求a2-天k《a>g)
1 第 五 章 定 积 分 第三节 定积分的换元法和分部积分法
解◆x=am小lk5x:0→a,4:0→5从通 -Fk=恤=+af-受 例4证明（1)若∫(x)在【-a,a】上连续且为偶函数，则 Lf(dx=2f(d 〔2)若f(x)在【-a,a1上连续且为奇函数，则 八f6x)d=0 正八J=fxd+J)d, 对八f(x)dk,令×=-t,则档×：-a~6时，t:a~B,故 (d-f(d(-D-f (1)若f(x)为偶函数，即f(x)=f(x),则 [f(x)dx=[f(x)dx+f(x)dx [ef(x)dx+[f(-)dx =2[f(xdx (2)若f(x)为奇函数，即f(←x)=-f(x),则 (d=f()dx+f((dx+dx=0. 例5若f(x)在【日，11上连续，证明 (1)证明f6mxk=后f(co对dk: cam油=m油，#迪e0血， 正1)◆=血=，x0牙40
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f细xk=上1m(号-的=feos得证。 2)令x=π-，dr=-,x:0~刀，t:π~0 x对sinx)ak=∫（π-0f(sim(r-t-d)=广π-t)f(sn)d 即x对smx)d=wf(sin x)dx-x对(snx)d 从面厂6细对=引fe细x)a 【,女-am-号 e2x20 例6设通数f(x)=了1 计算f(x-2ax (1+co8x-1<x<0 解令t=×-2,×:1~4,t:-1~2 -ak=ot-ra+faoa 例7利用函数的奇偶性计算下列积分 (1)x'sin xdx=0（因为f(x)=x'smx是奇函数) o女明-m 例8设f(x)是以1为周的连续通数，证明“f(x)女的值与a无关。 证方法-：fx)=+f6)da 而f(x)d=fu+)d=fe)dt=×-1×:lwa+1, t:8af(d+f()dh=f与a无关. 3
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方法：是a=fa+切-a=0一e= 二、定分的分含职分法 定的分含公式： udy vdu 11)(1+xak=h2-2+ cav月-值d-cw时 例21)自血x (2)后mdk 例3证明定积分公式 人，=m'xda=cosxd树 [8-1N-331石n为正偶数 nm-2422 =-18-343 ”-2.写号 n为大于正奇数 证1，=m4xad-cos)=【coin4x+疗cos dsin对 =0m-)m2x1-m2xd=a-10以-6m-0以. 4-片 6-a 导影4-a
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