第五章定积分 第二节微积分基本公式 一、支速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 由上节可知，按定义计算定积分很复杂，需寻找其她途径。先看物理上的问题： 设物体作直线运动，已知速度v=v?是时问问隔T,T]上的啡负连续函数，计算这段 时间内物体经过的路程s。一方面，由上节内容得： S=[v(e)dt 0805G)x 另一方面，如果物体在时刻t所在位置是S(T),则S=S(T)-S(?) 故得： S=∫ed=S(T)-S(T) 注意到：S")= 所以可直绩想f(x)d=F()-F()其中F(x)=f(x),x∈[a,b] 厂f(x)d众随x的不同而不同，它是x的函数。 为避免混滑，积分支量x改为。 (x) 0a×b× 定理1若f(x)在【a,b1上连续，则重(x)=f)d在【a,b1上可导 且'(x)=f(x) 证(1)若x∈(a,b)设x+△x∈(a,b) 则(x+△x)=f0d Ad(x)=(x+△x)-(x)=f④证=f(传)△x 利用职中值定)其中5于无x+△x之，△=寸⑤ △x
1 第 五 章 定 积 分 第二节 微积分基本公式
因f(x)在[a,b]上连续，△x→0时专→x,。J()=f() A雨品△@=品，③=因，目)=动 △x (2)×=a时，取△x>0可证(a)=f(a) 〔3)×=b时，取△x<0可证④()=f6) 根据复合函数的求导法则，由定理可得如下推论： 推武若f(x)在【4，b1上连续，g()、()都是可导函数，则 去0=i内Ea 上述定理告诉我们【a,b]上的连续函数f(x)必存在一个原函数 (x)=广f)边，从而可得以下定理 定理2若函数f(x)在【a,b1上连续，则西(x)=fe)d是f(x)在【a,b]上 的一个原函数。 三、牛梗一莱布尼兹公式 定理3如果函数F(x)是连续函数/(x)在【4，b】上的一个原函数，则 f(dx=F(b)-F(a) 证因(x)=f化)t也是f(x)在【a,b1上的-个原函数，故 (x)-F(x)=c(a≤x≤b) 令×=a及×=b,得 -RO)=c→=F+o(a-Po ①(a)-F(a)=c] 而(a)=fedt=0，Φo)=f(④d
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煎：)=Fo)-Fa4[F 钢1=号6-月 :京血=m日-品 :度-1=2月时=乱-0( 例4[0，刀]上的正弦曲线y=smx与×轴所围成的平面图形的面积， 解：A=[imxd=（←cosx=2 例5汽车以每小时3am速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等加速度 4=-5m1s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车经过了多少距离？ 解设从开始刹车到停车经过了T秒，当：∈[0，T门时，汽车的速度为v() 随-5→0-0-ar- v0=0)-5t=10-5z由v(T0=0→10-5t=0,T=2(s) s7-so)=e)dt=a0-50at=10) 侧：因E0+回内线且/创0证数R动-o f()dt 在[0，+o∞)内为单调增加函数 E盱F0-0a-wg.-900 roa Froa (在[B,×1上，(x-f)20,(x-0f)=0八越(x-)f0dt>0)
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故F(x)在[0，十o0)内为单调增加函数。 例7求“ 解这是。型，根号洛必达法则得 g 2x
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