第八章多元函数微分法 第七节方向导数与梯度 一、方有导数 定义设函数z=∫(x,y)在点(x,)的邻城内有定义， 1是一个向量，在方向7上取点(x+△x,y+△y),如果极 照+Ay+4妙-1 △x 存在其中P=√（△x)+(4)),则称该极限为函数z=f(x,)在点(x,)处对 等-台a+y-四 由方向导数的定义可得，如果函数z=f(红，y)在点(x,)处对x,y的偏导数存在，则 请同学们思考一下：如果z=红，)在点(x,)处沿x轴正向的方向导数存在，是否能得出 z=f(x,y)在点(x,)处对x的偏导数存在？ 怎样的条件下，方向导数可以简单地求出呢？请看下列定理。 定理如果函数z=f(x)在点P(x,)可微，cos心，cosB为1的方向余弦，那么函数 z=f(x,)在点P(x,)处的方向导数必存在，且有 例1求通数2=xe2”在点P1,0)处沿从点P(1,0)到点(2，-的方向号数。 1 解方向=P更=(1，-1)，1的方向余弦为：cosx= 方向导数为：
1 第 八 章 多元函数微分法 第七节 方向导数与梯度
上述方向导数的定义与计算方法可以推广为三元函数的情况： u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处沿方向i=(cos心，co5日，cos月的方向导数为 等-▣++2-2 0 其中P=Vx)2+(4y)2+(z。 在4=f(x,水，z)可微时，方向导数的计算公式为： -要wagwy 其中&，B,y为i的方向角 2求xy,习=X2-x叶2在点(1,0,1)处沿该点到点(2,4,2)的方肉导数。 g头2x-y影，毫=2f=4,w8 1 1 )=0 二、梯度 1.梯度的定义 超：时化列时无y积有硅保写，则密+影指为：化川 在点(x,月处的梯度，记为gradf(红，y)）,即 x列-盛+等 类似地，三元函数4=f(x,y,z)具有连续偏导数时，梯度为 emdx动-要+g+整f 求函数2=x2-+y2在点(1,1)处的梯度
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解 也=2x-y’ =-x,函数2=x2-xy+)y产在点（1,10处的梯度为 a grad/0,1）=(i+方 =(1,-1) 例4 求f(x,y,z)=x2-xy+z2在点〔1,0,1)处沿该点梯度方向的方向导数。 解 过=2x-y, =-x,=2z,1=gad00,0=(2-1,2 cos@= 3’co8=-1, 2 cosy=3 3 所求方向导数为 af koa =3 2.梯度与方响导数的关系 设二元函数为z=f(x,y),点(x,)处沿任意方向7=(os化ccs月的方向导数为 _过cosa+ 过 a 8x 过cos6= cos&cos网 8x dy =|gradf(x,y)川|T|cos8=|gradf(x,y)lcos日 其中8是向量grad f(x,y)与i之间的夹角。 根据上述关系式，我们可得下列重要结论： 函数z=f(x,y)在点(x,)处沿任意方向的方向导数中，以沿梯度方向的方向导数 最大，其最大值等于引gradf(x,). 例5问函数4=x2-)z在点(1，-1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数 的最大值。 解gradu=(2x,-2,-y),|gradu上V4x2+y2+z2,函数u=x2-z在点 (1,-1,2)处沿gradu(1,-1,2)=(2,-2,1)方向的方向导数最大，此方向导数的最大值为 |gradu(1,-1,2)=3 3
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