第十章曲线积分与曲而积分 第五节对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的根念与性质 1.曲面的侧 通常碰到的曲面是双侧的，如果曲面工是闭曲面，那么有内侧与外侧之分，如果曲 面工不是闭曲面，那么就有上（下）侧，左〔右)侧，前（后）侧之分. 以上是从直观的角度来介绍曲面的侧的数学上如何规定曲面的侧？是通过指定曲 面上法向量的指向（即与某一坐标袖夹角大小）来确定曲面的侧， 设疗为曲面工上任一点处的法向量， ①（方，2轴）横角今取曲面工的上刚 ②（方，y轴）角台取曲面工的右侧 ③（方，x轴）纯角→取曲面工的后测 这种选定法向量（即选定了曲面的侧）的曲面叫做有内曲面， 2.有向曲面上的外块曲面在坐标面上的投影 在有向曲面了上，取一小块曲面△s,把△s投影到x0y面上，得一投影驱域，投 最影区城的面积记为（么C),定△s上各点处的法向量与z轴的夹角y的余弦coy 有相同的符号〔都为正或负)，规定△s在xOy面上的投影（△S),为 [(A)cosy>0 相当于取了△s上侧 (asw= -(A)cosy0 相当于取了△s前侧 同样地，有（么）==了-（么）gcos&0 (d)e=-(6r Cos B<0 0 cos 8=0 3.流有曲面一侧的流显 若流体的流速节=P++R胶为常向量，则在单位时间内，流体流过平面上面 积为A的闭区域的流量为
1 第 十 章 曲线积分与曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分
=Ac08(位，列=A位.方，其中方为单位向量 现流体的流速（不是常向量） =P(x.y.2i+(x,y.2)j+R(x.y.2) (速度场)，如何求在单位时间内流过速度场内曲面工指定侧的流量西？这里 P(x,y,2,Q(x,y,2,R(x,y,z)在曲面工上连续。 用四步来解决 ①分割将曲面工任意分成n个小块△s1,△s2,.,△s, 对应第个小块的流量为△西，则有 店，n,6a) p=2A中， ( ②取近似 y 在△，中任取一点M,(,7,5)1=1,2,n 点M,处的流速为(G,7,5),单位向量为元=(cos&,cos月，cos%》 △D:0可(Gn,)元△s =[P(G,1,51)cos4+2(G,5)co8月+R(%,5)co8片]△s 0期e-立A9 ≈∑[P(5,5)cosa4+e(5,n,6a)cos月+R(6,7,5a)cos⅓]As 但cosg△s≈（△s,)g,cos月△s为(s)ncos片~△(s)p,故 Φs∑IP(5,6a)△s)e+e(点，A,4a△s)n+R(,.6(△s)w】 ④取极限月为△51，△52，.，△5，中直径的最大者
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P6.GXA)+)+ 物理上很多问题（电通量，滋通量）都可表示为上述和式的极限。 定义设曲面工为光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在上有界，把工任意分成n快 小曲面△S,（△,同时也表示第i个小块曲面的面积)，△;在xOy面上的投影为 (仙s),(传，S)是△5，上任意取定的一点，如果当各小块曲面的直径的最大值 →0时R%：50总存在，此限为通数Rx在 有向曲面工上对坐标x,y的曲面积盼，记作川R(,y,2)dx，即 ⅡRxy3h=县2m.GXsn 其中R(x,y,z)称为被积函数，工叫放积盼曲面。 英端：∬P(xy2地=职2P后m.5D4s Q(x.y.)dds-() 说明1°当R(x,y,2)在工上连续，积盼∬R(x,y,2)红的存在 2°应用上出现较多的是 ∬Pxy,2we+∬e(xy2)dd+∬Rx,y2dw -P.y,2dz+,2dedc+Rx,y,2)dbcdy 3实际问题中，：流量 D=∬P(xy2动e+e(x,yzd+Rx,yzdw 3
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4°对坐标的曲面积分中，必须指明曲面的侧。 性质1若工=1+2，则 f∬Pddh+Qdzdx+Rdxy= ∬P+edk+Rx+∬P恤+eda+Rak 性质2设父有向曲面，∑表示与工取相反的有向曲面，则 小P(x,y,z)db=-j∬P(x,y,2)d Q(x.y.2)dzdx=-e(x.y.z)dzdx R(x.y,2)dxdy=-[[R(x.y.2)dxdy 二、对坐标的曲面职分的十算法〔分面投影法) 设曲面工：z=g(x,月，工在xOy面的投景影区城为D,.函数R(x,y,2)在工 上连续。当取曲面工上侧时，则有 ∬Rx,y2d=g2R传，.64s,w t.a.6)e =2,n8nM (因取上侧，（△s,)n=(AC)m) =∬R(x,少8x,y》d山（对照二重积分的定义） 国此∬R(ky2d=∬Rxy8,d 当取曲面工下时，这时cosy<0,(s)=-(么C)。,从而有
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∬Rxy2d=-∬R(,y8xy》dhw 擦之有：∬Rx头)d中=±∬R,yg,》中取工上期，取“+ 取工下侧时，取“一” 9”: 取工右侧时，取“+” 注计算j∬R(x,y,2)x砂时 10被积通数R(x,y,z)在工上定义，故R(x,y,2习可换为R(x,y,g(红，y》 2”化为二重积分，注意正负号的选挥。 例l计算I=川(x+1)d+kdx+dxd,工为平面ABC的上侧及 BOC的后侧， 解 I=Ⅱ(a+地+tdx+dh+儿a+恤+地d+d 而+d恤++d=x+切e+小i+小d “-+00= x+=∬2-y-地= xx+y+z= =八a-x-动=a。-x-地=
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=h咖-号 因此 1-8 计算∬0zd的，其中工是球面x2+y2+2=1外在x20,y之0的 部分 解工=，+工匀 :4=-x2-y 8,:马=-x2-y ∬pad内=ddy+oadk i-y-yh动 2co0h-ipdpdo jia2adp-ap-号 例3计算川(2+x利也-zx的，其中工是旋转抛物面z=5(x2+y2)介 于z=0及及z=2之间的部分的下侧。 解e2+=∬e++∬+对d e+-y恤-儿e-可t 2∬2z-yw=4可22z-y也=4切
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而∬的=-小2+yk水=4切，放原称份=8新 三、一类曲面盼之间的底系 设曲面工：z=g(x,),P(x,y,z)为上任一点，点P处的法向量为 方=士(-，-2，】)（上侧取正，下侧取负），取上侧时 ∬-业x以8》++可+安+ 1 -R8ag“打yah女 取下侧时 ∬R6o恤-sa功-t字+ 1 =一-R0agch 故总有：∬Rx,y2)dk中=∬R(x,y)cosy 英t地：∬Pxy2动t=∬P(,%2动 (dd()cBds 从而有： ∬Pb恤+edk+R=∬[Pcosa+2cosi+Rcosylds() 其中cosC,cos，coy是有向曲面工上点(x,y,z)的法向量的方同余弦 例4把积分∬P(x,y2)d边+e(x,y,z)dr+R(x,y,z)dr的化为第一类 曲面积分，其中为抛物面z=8-(x2+y2)在xy面上方的部分的上侧
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解因工取上侧，故工上点(x,y,2)处的法向量 =（←z,-z1=(2x,2y,10 从而 -z -2 cos@= Cos B=- 1+z+z7 coiy- 1+z2+z号 所似∬P+Q地k+R==∬2B+20+R衣 W1+4x2+4y2 定理若有向曲面工：2=g(x,),工在xOy面的投影区城为D,则有 ∬P0能+Q点+做 =±xg-+,-+xyg （) 上侧取正，下侧取负 证曲面工：z=g(x,),工上任一点P(x,y,z)处的法向量 元=(-2，-2) 上侧取正，下侧取负 -2 -2 cos&=±- +2+2 cosy= 1++明 ds=h+z2+z号dxy 由(*)知： P+d+a==结论 例5计算 (f (x.y.2)+xddz+(2f(x.y.2)+y)dedx+(f(x.y.z)+z)dxdy
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其中寸(x,y,z)为连续函数，工是平面x一y+z=1在第四限部分的上侧 整正2-x+,空-1，等-1 ∬xy到+动dt+(2fxy,a)+d恤dr+fxy,)+2)dw C-++训+21-+》+X-+-x+1-x+ 一-月 例6计2+对地-2由，其中工是转抛物面2=号（公2+y)介于 z=0及及z=2之问的廊分的下侧. 解P=z2+x,2=0,R=-z: 小e2+列恤 e 4 -do(co co-8n
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