第五章 阶偏微分方程组 习题5-1 1.把波动方程 张+票+ 带初始条件 =0=p(x,头，2 . 的柯西问题化为一个一阶方程组的柯西问题，并证明其解的等价性. 解令一山=器一需一则足波动方程和所给初始条作，么 数山，0，山1,2，出满足如下的一阶方程组 (1.1) (1.2) 3u? at- (1.3) 尝- (1.4) (1.5) 及初始条件 =0=p(红，弘) (2.1) olt=0=(红，z) (2.2) 1t=0=9(x,2) (2.3) 42l=0=(红，头，) (2.4) =0=(红，头， (2.5) 反之，若山，0,1,2，是(1.1)(2.5)的解，今证u一定满足所给波动方程及初始条件 由(15、(2.1、(2.2)，显然u满足初始条件 利用(1.5)替换(1.2)、(1.3、(1.4)中的0得到 -=0-=品-=0 1
✶✃Ù ➌✣➔❻➞➄➜⑤ ❙❑ 5-1 1. r➴➘➄➜ ∂ 2u ∂t2 = a 2 ( ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ) ➅Ð➞❫❻ u|t=0 = ϕ(x, y, z) ∂u ∂t |t=0 = ψ(x, y, z) ✛❹Ü➥❑③➃➌❻➌✣➄➜⑤✛❹Ü➥❑➜➾②➨Ù✮✛✤❞✺. ✮ ✲ u0 = ∂u ∂t , u1 = ∂u ∂x, u2 = ∂u ∂y , u3 = ∂u ∂z ➜❑❡ u ÷✈➴➘➄➜Ú↕❽Ð➞❫❻➜❅♦➻ ê u, u0, u1, u2, u3 ÷✈❳❡✛➌✣➄➜⑤ ∂u0 ∂t = a 2 ( ∂u1 ∂x + ∂u2 ∂y + ∂u3 ∂z ) (1.1) ∂u1 ∂t = ∂u0 ∂x (1.2) ∂u2 ∂t = ∂u0 ∂y (1.3) ∂u3 ∂t = ∂u0 ∂z (1.4) ∂u ∂t = u0 (1.5) ✾Ð➞❫❻ u|t=0 = ϕ(x, y, z) (2.1) u0|t=0 = ψ(x, y, z) (2.2) u1|t=0 = ϕ 0 x (x, y, z) (2.3) u2|t=0 = ϕ 0 y (x, y, z) (2.4) u3|t=0 = ϕ 0 z (x, y, z) (2.5) ❻❷➜❡ u, u0, u1, u2, u3 ➫(1.1)-(2.5)✛✮➜✽② u ➌➼÷✈↕❽➴➘➄➜✾Ð➞❫❻. ❞(1.5)✦(2.1)✦(2.2)➜✇✱ u ÷✈Ð➞❫❻ u|t=0 = ϕ(x, y, z), ∂u ∂t |t=0 = ψ(x, y, z) ⑤❫(1.5)❖❺(1.2)✦(1.3)✦(1.4)➙✛ u0 ✚✔ ∂ ∂t(u1 − ∂u ∂x) = 0, ∂ ∂t(u2 − ∂u ∂y ) = 0, ∂ ∂t(u3 − ∂u ∂z ) = 0 1
因先：山一密一密。一架告与无美，又由初始条微2小但小2小2列知， 当t=0时，有 西-折2=瑞g- 因此，上式对于所有的t都成立，以 w=贺如=器如-需如-贺 代入(11)，得到u满足波动方程 因此，所给的波动方程的柯西问题和以上一阶方程组的柯西问题是等价的. 2.把方程 装-+ 带初始条微 k=o=0 的柯西问题化为一个一阶偏微分方程组的柯西问题。 解令山=山=器=得一阶拟线性方程 O=o 0=好+吃 及初始条微 4=0=0 uol=o e"siny 41=0=0 2lh=0-0 3.证明任一科瓦列夫斯卡娅型方程(1.9)的何西问题（在t=0时，给定，·， 之值作为初
Ï❞➜u1 − ∂u ∂x, u2 − ∂u ∂y , u3 − ∂u ∂z ✛❺ t ➹✬➜q❞Ð➞❫❻(2.1)✦(2.3)✦(2.4)✦(2.5)⑧➜ ✟ t = 0 ➒➜❦ u1 = ∂u ∂x, u2 = ∂u ∂y , u3 = ∂u ∂z Ï❞➜þ➟é✉↕❦✛ t Ñ↕á➜➧ u0 = ∂u ∂t , u1 = ∂u ∂x, u2 = ∂u ∂y , u3 = ∂u ∂z ➇❭(1.1)➜✚✔ u ÷✈➴➘➄➜. Ï❞➜↕❽✛➴➘➄➜✛❹Ü➥❑Ú➧þ➌✣➄➜⑤✛❹Ü➥❑➫✤❞✛. 2. r➄➜ ∂ 2u ∂t2 = (∂u ∂x) 2 + (∂u ∂y ) 2 ➅Ð➞❫❻ u|t=0 = 0 ∂u ∂t |t=0 = e x sin y ✛❹Ü➥❑③➃➌❻➌✣➔❻➞➄➜⑤✛❹Ü➥❑. ✮ ✲ u0 = ∂u ∂t , u1 = ∂u ∂x, u2 = ∂u ∂y ✚➌✣❬❶✺➄➜⑤ ∂u ∂t = u0 ∂u0 ∂t = u 2 1 + u 2 2 ∂u1 ∂t = ∂u0 ∂x ∂u2 ∂t = ∂u0 ∂y ✾Ð➞❫❻ u|t=0 = 0 u0|t=0 = e x sin y u1|t=0 = 0 u2|t=0 = 0 3. ②➨❄➌❽✝✎➴❞❦❵✳➄➜(1.9)✛❹Ü➥❑↔✸ t = 0 ➒➜❽➼ u, · · · , ∂ m−1u ∂tm−1 ❷❾❾➃Ð 2
值)可以化为一阶方程组的柯西问题，并证明其解的等价性 解科瓦列夫斯卡娅类型方程组柯西问题： =化，an,2,uw.0zz. OK: (,j=1,2,.,N,K+K1+.+Kn=K≤mK0<n) () =aK=a12m-) 0n-1u 器=a-,器-a-12,刘 一般地。 其中mo+m1+.+mn=k≤n-1且m0<n,-1得一阶方程组 u =听0.0 (i=1,2,3,.,N) (1.1) 。=味+1-0 (k=1,2,.,n-2,i=1,2,., (1.2) 元k 0m1 (1.3) (<m-1,o+1+.+kn≤n-1,1-1,2,.,n,i=1,2,.,N) (1.4) 爱一=侧<w-21=12=12,刘司 0-20-10-0_0-10-0 0=1,2.,n,i=1,2,.,N) (1.6) t Oxl 及初始条件 lt=to=g0(r1,.,xn) (2.1) u00lk==1,.,xn)(k=1,2,.,-1) (2.2) mmte=国，2.） 2.3)
❾↕➀➧③➃➌✣➄➜⑤✛❹Ü➥❑➜➾②➨Ù✮✛✤❞✺. ✮ ❽✝✎➴❞❦❵❛✳➄➜⑤❹Ü➥❑➭ ∂ niui ∂tni = Fi(t, x1, x2, · · · , xn, u1, u2, · · · , uN , · · · , ∂ Kui ∂tK0 ∂x1 K1 · · · ∂xn Kn , · · ·) (i, j = 1, 2, · · · , N, K0 + K1 + · · · + Kn = K ≤ nj K0 < nj ) ∂ Kui ∂tK |t=t0 = ϕ (K) i (x1, x2, · · · , xn) (K = 0, 1, 2, · · · , ni − 1) (1) ✲ ∂ui ∂t = u i 1,0,··· ,0, ∂ 2ui ∂t2 = u i 2,0,··· ,0, ∂ ni−1ui ∂tni−1 = u i ni−1,0,··· ,0, ∂uj ∂x1 = u j 0,1,0,··· ,0,··· , ∂ Kuj ∂xK 1 = u j 0,K,0,··· ,0, (i, j = 1, 2, · · · , N) ➌❸✴➜ ∂ Kuj ∂tm0 ∂x1 m1 · · · ∂xn mn = u j m0,m1,··· ,mn Ù➙ m0 + m1 + · · · + mn = k ≤ nj − 1 ❹ m0 < nj − 1 ✚➌✣➄➜⑤ ∂ui ∂t = u i 1,0,··· ,0 (i = 1, 2, 3, · · · , N) (1.1) ∂ui k,0,··· ,0 ∂t = u i k+1,0,··· ,0 (k = 1, 2, · · · , ni − 2, i = 1, 2, · · · , N) (1.2) ∂ui ni−1,0,··· ,0 ∂t = Fi(t, x1, x2, · · · , xn, u1, u2, · · · , uN , · · · , u j k0,k1,··· ,kn , · · · , ∂ui ni−1,0,··· ,0 ∂xl , · · · , ∂uj m0,m1,··· ,mn ∂xl , · · ·) (1.3) (k0 < nj − 1, k0 + k1 + · · · + kn ≤ nj − 1, l = 1, 2, · · · , n, i = 1, 2, · · · , N) ∂ui 0,1,0,··· ,0 ∂t = ∂ui 1,0,··· ,0 ∂x1 , · · · , ∂ui 0,2,0,··· ,0 ∂t = ∂ui 1,1,0,··· ,0 ∂x1 , · · · (1.4) ∂ui m0,m1,··· ,mn ∂t = ∂ui m0+1,m1,··· ,ml−1,··· ,mn ∂xl (m0 < ni − 2, l = 1, 2, · · · , n, i = 1, 2, · · · , N) (1.5) ∂ui ni−2,0,··· ,1,0,··· ,0 ∂t = ∂ui ni−1,0,··· ,0 ∂xl (l = 1, 2, · · · , n, i = 1, 2, · · · , N) (1.6) ✾Ð➞❫❻ ui |t=t0 = ϕ (0) i (x1, · · · , xn) (2.1) u i k,0,··· ,0 |t=t0 = ϕ (k) i (x1, · · · , xn) (k = 1, 2, · · · , ni − 1) (2.2) u i m0,m1,··· ,mn |t=t0 = ϕ (m0) im1,··· ,mn (x1, x2, · · · , xn) (2.3) ϕ (m0) im1,··· ,mn = ∂ϕ(m0) i ∂xm1 1 · · · ∂xmn n 3
今证解的等价性.显然，若山是原方程组柯西问题的解，则4，。m1m.满足(1.1小(2.3)即为 该一阶方程组柯西问题的解.反之若4，umm,满足(1.1(2.3)，则由(1.1(1.22.1)2.2)知山，满 足原初始条件为证出满足原方程组，只须证明对于所有的：都成立 0u: m一m,=mo之z产m+m++m=k≤%-1 按归纳法证明：由1.1)及(1.2)显然当m0=4-1时有 心a- 当m0=m-2,由方程1.6)(1.2)得 景dr-2n-ah-04=0 drt 即括号内的量与t无关，又由始值(2.2)(2.3)知：当t=to时，括号内的量等于0，故对所有的t有 再利用(1.1)1.2)得 以a。一 即m0=n%-2时成立 若m0=,对任何t成立者 8 tn,m1mm=tmo0rm1.0 则当m0=p-1时，由方程(1.5) 一6开tmz1.0zm.z】 即 升mm-0h）=0 oua 又由始值(2.2)2.3)并利用(1.1)1.2)知括号内当t=0时为零.故对所有的七，括号内的量等于零， 即m0=p-1时仍成立，故m0=-1,4-2,.,1,0时，对所有的t, .-Oto 恒成立，将其代入(13)，即知山满足原方程组.等价性得证. 4
✽②✮✛✤❞✺. ✇✱➜❡ ui ➫✝➄➜⑤❹Ü➥❑✛✮➜❑ ui , ui m0,m1,··· ,mn ÷✈(1.1)-(2.3)❂➃ ❚➌✣➄➜⑤❹Ü➥❑✛✮. ❻❷❡ ui , ui m0,m1,··· ,mn ÷✈(1.1)-(2.3)➜❑❞(1.1)(1.2)(2.1)(2.2)⑧ ui ÷ ✈✝Ð➞❫❻. ➃② ui ÷✈✝➄➜⑤➜➄▲②➨é✉↕❦✛ t Ñ↕á u j m0,m1,··· ,mn = ∂ kuj ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xmn n m0 + m1 + · · · + mn = k ≤ nj − 1 ❯✽❇④②➨➭❞(1.1)✾(1.2)✇✱✟ m0 = ni − 1 ➒❦ u i ni−1,0,··· ,0 = ∂ ni−1ui ∂tni−1 ✟ m0 = ni − 2➜❞➄➜(1.6)(1.2)✚ ∂ ∂t(u i ni−2,0,··· ,1,0,··· ,0 − ∂ui ni−2,0,0,··· ,0 ∂xl ) = 0 ❂✮Ò❙✛þ❺ t ➹✬➜q❞➞❾(2.2)(2.3)⑧➭✟ t = t0 ➒➜✮Ò❙✛þ✤✉0➜✙é↕❦✛ t ❦ u i ni−2,0,··· ,1,··· ,0 = ∂ui ni−2,0,··· ,0 ∂xl ✷⑤❫(1.1)(1.2)✚ u i ni−2,0,··· ,1,··· ,0 = ∂ ni−1ui ∂tni−2∂xl ❂ m0 = ni − 2 ➒↕á. ❡ m0 = p➜é❄Û t ↕á❳ u i m0,m1,··· ,mn = ∂ kui ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xmn n ❑✟ m0 = p − 1 ➒➜❞➄➜(1.5) ∂ui m0,m1,··· ,mn ∂t = ∂ ∂xl um0+1,m1,··· ,ml−1,··· ,mn = ∂ ∂xl ∂ kui ∂tm0+1∂xm1 1 · · · ∂xml−1 l · · · ∂xmn n = ∂ ∂t( ∂ kui ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xml l · · · ∂xmn n ) ❂ ∂ ∂t(u i m0,m1,··· ,mn − ∂ kui ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xml l · · · ∂xmn n ) = 0 q❞➞❾(2.2)(2.3)➾⑤❫(1.1)(1.2)⑧✮Ò❙✟ t = t0 ➒➃✧. ✙é↕❦✛ t➜✮Ò❙✛þ✤✉✧➜ ❂ m0 = p − 1 ➒❊↕á➜✙ m0 = ni − 1, ni − 2, · · · , 1, 0 ➒➜é↕❦✛ t➜ u i m0,m1,··· ,mn = ∂ kui ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xmn n ð↕á➜òÙ➇❭(1.3)➜❂⑧ ui ÷✈✝➄➜⑤. ✤❞✺✚②. 4
习题5-2 1.求一阶方程 Q四0+a,张+be,tu+c,9=0 回贺+ae蓝+t=0 的特征线和解沿特征线成成立的关系式. 解(1)设有一条光滑曲线c: t=t(a).z=z(a)(t(a)+(a)#) 并已知u在c上的作u-f(a),沿c有 资ro+o=rol 张+ag,架=-eu-6,) 以上是关于贺光的线性代数方程组若沿。 le(a):(o)=0 1a(红，t 则不能地确定出号数贺沿线的作，则是方程的特征线。即 t'(a)a(,t)-2'(a)=0 或 密=ae 即为特征方程，沿特征线c有 费+密+e咖+e利-0 即 +e,加+=0 (2)与(1)同.特征方程为 密=ae
❙❑ 5-2 1. ➛➌✣➄➜ (1) ∂u ∂t + a(x, t) ∂u ∂x + b(x, t)u + c(x, t) = 0 (2) ∂u ∂t + a(x, t) ∂u ∂x + b(x, t, u) = 0 ✛❆✍❶Ú✮÷❆✍❶❆↕á✛✬❳➟. ✮ (1)✗❦➌❫✶✇➢❶ c➭ t = t(σ), x = x(σ) (t 02 (σ) + x 02 (σ) 6= 0) ➾➤⑧ u ✸ c þ✛❾ u = f(σ)➜÷ c ❦ ∂u ∂t · t 0 (σ) + ∂u ∂xx 0 (σ) = f 0 (σ) q ∂u ∂t + a(x, t) ∂u ∂x = −b(x, t)u − c(x, t) ➧þ➫✬✉ ∂u ∂t , ∂u ∂x ✛❶✺➇ê➄➜⑤❡÷ c t 0 (σ) x 0 (σ) 1 a(x, t) = 0 ❑Ø❯➁➌✴✭➼Ñ✓ê ∂u ∂t , ∂u ∂x ÷➢❶ c ✛❾➜❑ c Ò➫➄➜✛❆✍❶➜❂ t 0 (σ)a(x, t) − x 0 (σ) = 0 ➼ dx dt = a(x, t) ❂➃❆✍➄➜➜÷❆✍❶ c ❦ ∂u ∂t + ∂u ∂x dx dt + b(x, t)u + c(x, t) = 0 ❂ Du Dt + b(x, t)u + c(x, t) = 0 (2)❺(1)Ó➜❆✍➄➜➃ dx dt = a(x, t) 5
其积分曲线即特征线，沿特征线成立者关系式 +,t四=0 2.求下列一阶方程带初始条件叫=0-()的柯西问题的解： 回况+需=u 解() =+0-0 叫=0=( 特征方程，密=1特征线C:r-t=6沿特征线C有=0故沿C,“=omt,由始 值t=0=p(r)知沿特征线x-t=c有 u(r,t)=p(rc) 其中xe为特征线x-t=c与t=0的胶点的x坐标即xe=c.所以(r)=()=(红-)，即 u(，)=p(红-) (2) 贺+器-. 4t=0=p) 沿特征线工-t=c有院=，即 u(,t)Ae 由始值得P(红)=A,e仍表示x-t=c与t=0交点的x坐标，即A=p(C=c-)所似 u(红，t)=p(x-t)e 3.判断方程凯 架-t,密-e器+h 架-密+ae器+拉
Ù➮➞➢❶❂❆✍❶➜÷❆✍❶↕á❳✬❳➟ Du Dt + b(x, t, u) = 0 2. ➛❡✎➌✣➄➜➅Ð➞❫❻ u|t=0 = ϕ(x) ✛❹Ü➥❑✛✮➭ (1)∂u ∂t + ∂u ∂x = 0➯ (2)∂u ∂t + ∂u ∂x = u ✮ (1) ∂u ∂t + ∂u ∂x = 0 u|t=0 = ϕ(x) ❆✍➄➜➭ dx dt = 1➜❆✍❶ C : x − t = c➜÷❆✍❶ C ❦ Du Dt = 0 ✙÷ C➜u = const➜❞➞ ❾ u|t=0 = ϕ(x) ⑧÷❆✍❶ x − t = c ❦ u(x, t) = ϕ(xc) Ù➙ xc ➃❆✍❶ x − t = c ❺ t = 0 ✛✂✿✛ x ❿■❂ xc = c. ↕➧ ϕ(xc) = ϕ(c) = ϕ(x − t)➜❂ u(x, t) = ϕ(x − t) (2) ∂u ∂t + ∂u ∂x = u u|t=0 = ϕ(x) ÷❆✍❶ x − t = c ❦ Du Dt = u➜❂ u(x, t) = Aet ❞➞❾✚ ϕ(xc) = A, xc ❊▲➠ x − t = c ❺ t = 0 ✂✿✛ x ❿■➜❂ A = ϕ(c) = ϕ(x − t) ↕➧ u(x, t) = ϕ(x − t)e t 3. ✞ä➄➜⑤ ∂u1 ∂t = a(x, t) ∂u1 ∂x − b(x, t) ∂u2 ∂x + f1 ∂u2 ∂t = b(x, t) ∂u1 ∂x + a(x, t) ∂u2 ∂x + f2 6
属于何种类型。 解方程组的特征方程为 -a(x,t)-入bx,t) =0 -b(红，t) -a(红，)- 公 (a红，t)+2+2(红，t)=0 ()当（红，）≠0.则特征方程无实根入，方程为椭圆型的. (2)当（红，）=0.则A1=2=-,)是两个实特征方向，即两条特征线重合，皆满足 密专 沿特征线有 尝+尝 即得，兴=九瓷=及为对征型方血、方程组为双曲的。 4.将下列各方程组化为对征型方程组： ++++红=0 u () +u=0 资=+a>0 0+60+0-0 ③)+50+62=2 +6尝-=2+3- 解(1)特征方程 (1+sin-)=0 所以 1=1+sinx,2=0 7
á✉Û➠❛✳. ✮ ➄➜⑤✛❆✍➄➜➃ −a(x, t) − λ b(x, t) −b(x, t) −a(x, t) − λ = 0 ❂ a(x, t) + λ 2 + b 2 (x, t) = 0 (1)✟ b(x, t) 6= 0➜❑❆✍➄➜➹➣❾ λ➜➄➜➃ý☛✳✛. (2)✟ b(x, t) = 0➜❑ λ1 = λ2 = −a(x, t) ➫ü❻➣❆✍➄➉➜❂ü❫❆✍❶➢Ü➜✛÷✈ dx dt = −a(x, t) ÷❆✍❶❦ ∂u1 ∂t + ∂u1 ∂x dx dt = f1 ∂u2 ∂t + ∂u2 ∂x dx dt = f2 ❂✚➭ Du1 Dt = f1, Du2 Dt = f2 ➃é✍✳➄➜⑤➜➄➜⑤➃❱➢✳✛. 4. ò❡✎❼➄➜⑤③➃é✍✳➄➜⑤➭ (1) ∂u ∂t + (1 + sin x) ∂u ∂x + 2 ∂v ∂x + x = 0 ∂v ∂t + u = 0 (2) ∂u ∂t = x ∂u ∂x + ∂v ∂x ∂v ∂t = a 2 ∂u ∂x + x ∂v ∂x (a > 0) (3) ∂u1 ∂t + 6 ∂u1 ∂x + 5 ∂u2 ∂x = 0 ∂u2 ∂t + 5 ∂u1 ∂x + 6 ∂u2 ∂x = 2u1 3 ∂u3 ∂t + 6 ∂u3 ∂x − 3 ∂u1 ∂x = 2u2 + 3u3 − 3u1 ✮ (1)❆✍➄➜ 1 + sin x − λ 2 0 −λ = 0 ❂ λ(1 + sin x − λ) = 0 ↕➧ λ1 = 1 + sin x, λ2 = 0 7
相应于1的特征向量(A巴，A)满足方程 2A-(1+sinx)A2=0 得 λ09=1+sinx,A2=2 相应于2的特征向量(，2)满足方程 (1+sin))=0 得9=0,2是任意的，不妨取2=1 值L1+A2L2,其中L1,2分别表示方程组中的两个方程，得 1+血(+1+血+2架++2赛+0=0 1+血到0+2贺+1+咖(+s血0+）)+2u+0+n=0 值L1+②L2得 贺+u=0 取 [U=1+mx+2如 V=0 则u=(U-2V)/1+si血，以上两个方程化为 0++血0+2w-20+aa+0+血r=0 +(-2/1+s血)=0 即得对角型方程组 受+是+中W-+0+血加=0 2 (2)特征方程为 -x-1 =0 -a2-
❷❆✉ λ1 ✛❆✍➉þ (λ (1) 1 , λ(2) 1 ) ÷✈➄➜ 2λ (1) 1 − (1 + sin x)λ (2) 1 = 0 ✚ λ (1) 1 = 1 + sin x, λ(2) 1 = 2 ❷❆✉ λ2 ✛❆✍➉þ (λ (1) 2 , λ(2) 2 ) ÷✈➄➜ (1 + sin x)λ (1) 2 = 0 ✚ λ (1) 2 = 0, λ(2) 2 ➫❄➾✛➜Ø➈✒ λ (2) 2 = 1 ❾ λ (1) 1 L1 + λ (2) 1 L2➜Ù➙ L1, L2 ➞❖▲➠➄➜⑤➙✛ü❻➄➜➜✚ (1 + sin x) ∂u ∂t + (1 + sin x) ∂u ∂x + 2 ∂v ∂x + x + 2(∂v ∂t + u) = 0 ❂ (1 + sin x) ∂u ∂t + 2 ∂v ∂t + (1 + sin x) (1 + sin x) ∂u ∂x + 2 ∂v ∂x + 2u + (1 + sin x)x = 0 ❾ λ (1) 2 L1 + λ (2) 2 L2 ✚ ∂v ∂t + u = 0 ✒ U = (1 + sin x)u + 2v V = v ❑ u = (U − 2V )/(1 + sin x)➜➧þü❻➄➜③➃ ∂U ∂t + (1 + sin x) ∂U ∂x + 2(U − 2V )/(1 + sin x) + (1 + sin x)x = 0 ∂V ∂t + (U − 2V )/(1 + sin x) = 0 ❂✚é✍✳➄➜⑤ ∂U ∂t + λ1 ∂U ∂x + 2 1 + sin x (U − 2V ) + (1 + sin x)x = 0 ∂V ∂t + λ2 ∂V ∂x + 1 1 + sin x (U − 2V ) = 0 (2)❆✍➄➜➃ −x − λ −1 −a 2 −x − λ = 0 8
即 (z+A2-a2=0 所以 1=-x+a,=-x-a 相应于皆特征向量(，)满足方程 -aλ0-a22=0 0=a,2=-1 相应于2皆特征向录(，)满足方程 aλ09-a242=0 得 0=a,2)=1 作AL1+2L2,得 贺-贺+(d2-0+e-0-0 即 费-架+a-完-=0 作L1+2L2,得 0+阳+(-2-%+(-r-0 即 批+贺+(-a-+)=0 取U=au-,V=au+v得对角型方程组 ∫+肥=0 (+=0 5.证明：经过未知函数皆任何实系数皆可逆线性变换，方程组(21)在每一点皆特征线方向（或特征曲 9
❂ (x + λ) 2 − a 2 = 0 ↕➧ λ1 = −x + a, λ2 = −x − a ❷❆✉ λ1 ✛❆✍➉þ (λ (1) 1 , λ(2) 1 ) ÷✈➄➜ −aλ(1) 1 − a 2λ (2) 1 = 0 ✚ λ (1) 1 = a, λ(2) 1 = −1 ❷❆✉ λ2 ✛❆✍➉þ (λ (1) 2 , λ(2) 2 ) ÷✈➄➜ aλ(1) 2 − a 2λ (2) 2 = 0 ✚ λ (1) 2 = a, λ(2) 2 = 1 ❾ λ (1) 1 L1 + λ (2) 1 L2➜✚ a ∂u ∂t − ∂v ∂t + (a 2 − ax) ∂u ∂x + (x − a) ∂v ∂x = 0 ❂ a ∂u ∂t − ∂v ∂t + (a − x)(a ∂u ∂x − ∂v ∂x) = 0 ❾ λ (1) 2 L1 + λ (2) 2 L2➜✚ a ∂u ∂t + ∂v ∂t + (−a 2 − ax) ∂u ∂x + (−x − a) ∂v ∂x = 0 ❂ a ∂u ∂t + ∂v ∂t + (−a − x)(a ∂u ∂x + ∂v ∂x) = 0 ✒ U = au − v, V = au + v ✚é✍✳➄➜⑤ ∂U ∂t + λ1 ∂U ∂x = 0 ∂V ∂t + λ2 ∂V ∂x = 0 5. ②➨➭➨▲➍⑧➻ê✛❄Û➣❳ê✛➀❴❶✺❈❺➜➄➜⑤(2.1)✸③➌✿✛❆✍❶➄➉↔➼❆✍➢ 9
线所保持不变，因此也不会改变方程组(21)所属的类型。 证 40+立警+2+a=06=12. (1) 其中a),均为（化，）的相当光滑的函数.方程组L:=0的特征方程为 laij-6jl =0 (2) 现作变换 k=1 其中为实数且行列式9≠0.即以上线性变换是可逆的，代人原方程组，得V满足以下方程组 玄费+22警+2空a+6-0《-2.刘 (3) k=1=1 k11 则以上方程组写成 (3) k■1 k■1 现在求出该方程组的特征方程，设有一光滑曲线c:t=(a),x=x(a),(化(a)+x2(a)≠0)， 若M在c上的数值是已知的K=f.现在性求沿c的一阶偏导数严，业的数值 清e有，警o+墨0=o.与聚方程联这特关于蛋死的线在代数方程 组，若其系数行列式为零，则不能由此难一地确定号数器沿e的位，。即为特征线，方随 的系数行列式为 921 . . . . . . . 9N2 . gNN hN1 hN2 t(a) x'(a) t(a) r'(a) t(a) (c)
❶↕✂➧Ø❈➜Ï❞➃Ø➡❯❈➄➜⑤(2.1)↕á✛❛✳. ② Li ≡ ∂ui ∂t + X N j=1 aij ∂uj ∂x + X N j=1 bijuj + ci = 0 (i = 1, 2, · · · , N) (1) Ù➙ aij , bij , ci þ➃ (t, x) ✛❷✟✶✇✛➻ê. ➄➜⑤ Li = 0 ✛❆✍➄➜➃ |aij − δijλ| = 0 (2) ②❾❈❺ ui = X N k=1 gikVk Ù➙ gik ➃➣ê❹✶✎➟ |gik| 6= 0➜❂➧þ❶✺❈❺➫➀❴✛➜➇❁✝➄➜⑤➜✚ Vi ÷✈➧❡➄➜⑤ X N k=1 gik ∂Vk ∂t + X N k=1 ( X N j=1 aijgjk) ∂Vk ∂x + X N k=1 ( X N j=1 bijgjk)Vk + ci = 0 (i = 1, 2, · · · , N) (3) ❑➧þ➄➜⑤✕↕ X N k=1 gik ∂Vk ∂t + X N k=1 hik ∂Vk ∂x + X N k=1 likVk + ci = 0 (30 ) ②✸➛Ñ❚➄➜⑤✛❆✍➄➜➜✗❦➌✶✇➢❶ c : t = t(σ), x = x(σ), (t 02 (σ) + x 02 (σ) 6= 0)➜ ❡ Vi ✸ c þ✛ê❾➫➤⑧✛ Vi = fi(σ)➜②✸✺➛Vi ÷ c ✛➌✣➔✓ê ∂Vi ∂t , ∂Vi ∂x ✛ê❾. ÷ c ❦➜ ∂Vi ∂t t 0 (σ) + ∂Vi ∂x x 0 (σ) = f 0 i (σ)➜❺✝➄➜⑤(30 )éá✚✬✉ ∂Vi ∂t , ∂Vi ∂x ✛❶✺➇ê➄➜ ⑤➜❡Ù❳ê✶✎➟➃✧➜❑Ø❯❞❞➁➌✴✭➼✓ê ∂Vi ∂t , ∂Vi ∂x ÷ c ✛❾➜c ❂➃❆✍❶➜➄➜⑤ ✛❳ê✶✎➟➃ g11 g12 · · · g1N h11 h12 · · · h1N g21 g22 · · · g2N h21 h22 · · · h2N · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · gN1 gN2 · · · gNN hN1 hN2 · · · hNN t 0 (σ) x 0 (σ) t 0 (σ) x 0 (σ) . . . . . . t 0 (σ) x 0 (σ) 10