第六章广义解与广义函数解 习题6-1 1.试写出热传导方程柯西问题与初边值问题的强解的定义. 2.证明波动方程的经典解一定是强解，也一定是弱解。 3.证明波动方程的弱解如果是二阶连续可导函数，则它必定也是经典解. 习题6-2 1.证明：若()∈C()，()∈Cg(R四，则p()(g)eC(R×四)，且当p()一 0(C(R)时，P(e)()→0(Cg(R×R四》 证由p(a)∈Cg()知p()无穷次可数，对每个山，3紧集K华，当x∈R\K使p()=0: 同样由()∈Cg(四)知()无穷次可微，3条集Kg:当y∈四\K,使()=0.因此，依 莱布尼兹法则()()是无穷次可微的，又()()中只要一个因子为零，则它为零，因而只 在K×K,上它可能不为零，且依支集定义K×K,为它的支集，但K×K,为紧.因此，依定 义，对每个u,P(r)()∈Cg(程×四) 由题设9（回）一0(C(》,按定义推得()P()的支集在一个共同的紧集K.内，（②）对 每个重指标a,在此紧集内护p(国)一0一致成立.要证的是：()P(c)(g)的支集在 个共同的紧集内，(2)对每个重指标a+B(其中a指工的，B指y的)，在上述紧集 内P+p(r)(g川一0一致成立.因为p()的共同紧集为K,()的支集为Ky,推 出9(e)()的支集都在紧集Kz×Ky内，即(1)满足.又对每个重指标a+3,加+[P(e)(】= 8Pp(c)·89(y),PP(e)在Kx上，因而在Kz×Kg上一致地趋向于零，0()在Ky上，因而 在Kz×K,上一致地趋向于零，所以P+P(e(g一0在Kz×K,上一致成立证毕 2.证明在本节例3中引入的3r(红)为Cx函数。 证即要证 Br(e)=gr(e-t)a(④dt 1
✶✽Ù ✷➶✮❺✷➶➻ê✮ ❙❑ 6-1 1. ➪✕Ñ✾❉✓➄➜❹Ü➥❑❺Ð❃❾➥❑✛r✮✛➼➶. 2. ②➨➴➘➄➜✛➨❀✮➌➼➫r✮➜➃➌➼➫❢✮. 3. ②➨➴➘➄➜✛❢✮❳❏➫✓✣ë❨➀✓➻ê➜❑➜✼➼➃➫➨❀✮. ❙❑ 6-2 1. ②➨➭❡ ϕν(x) ∈ C∞ c (Rn x ), ψ(y) ∈ C∞ c (Rm y )➜❑ ϕν(x)ψ(y) ∈ C∞ c (Rn x × Rm y )➜❹✟ ϕν(x) → 0 (C∞ c (Rn x )) ➒➜ϕν(x)ψ(y) → 0 (C∞ c (Rn x × Rm y )). ② ❞ ϕν(x) ∈ C∞ c (Rn x ) ⑧ ϕν(x) ➹→❣➀ê➜é③❻ ν➜∃ ❀✽ Kν x➜✟ x ∈ Rn x \Kν x ➛ ϕν(x) = 0➯ Ó✘❞ ψ(y) ∈ C∞ c (Rm y ) ⑧ ψ(y) ➹→❣➀❻➜∃ ❀✽ Ky➜✟ y ∈ Rm y \ Ky ➛ ψ(y) = 0. Ï❞➜➑ ✹Ù❩❬④❑ ϕν(x)ψ(y) ➫➹→❣➀❻✛➜q ϕν(x)ψ(y) ➙➄❻➌❻Ï❢➃✧➜❑➜➃✧➜Ï✌➄ ✸ Kν x × Ky þ➜➀❯Ø➃✧➜❹➑⑤✽➼➶ Kν x × Ky ➃➜✛⑤✽➜✂ Kν x × Ky ➃❀. Ï❞➜➑➼ ➶➜é③❻ ν➜ϕν(x)ψ(y) ∈ C∞ c (Rn x × Rm y ). ❞❑✗ ϕν(x) → 0 (C∞ c (Rn x ))➜❯➼➶í✚(1) ϕν(x) ✛⑤✽✸➌❻✁Ó✛❀✽ Kx ❙➜(2)é ③ ❻ ➢ ➁ ■ α➜ ✸ ❞ ❀ ✽ ❙ ∂ αϕν(x) → 0 ➌ ➋ ↕ á. ❻ ② ✛ ➫ ➭(1) ϕν(x)ψ(y) ✛ ⑤ ✽ ✸ ➌ ❻ ✁ Ó ✛ ❀ ✽ ❙ ➜(2)é ③ ❻ ➢ ➁ ■ α + β ↔ Ù ➙ α ➁ x ✛ ➜β ➁ y ✛ ↕ ➜ ✸ þ ã ❀ ✽ ❙ ∂ α+β [ϕν(x)ψ(y)] → 0 ➌ ➋ ↕ á. Ï ➃ ϕν(x) ✛ ✁ Ó ❀ ✽ ➃ Kx➜ψ(y) ✛ ⑤ ✽ ➃ Ky➜ í Ñ ϕν(x)ψ(y) ✛⑤✽Ñ✸❀✽ Kx × Ky ❙➜❂(1)÷✈. qé③❻➢➁■ α + β, ∂α+β [ϕν(x)ψ(y)] = ∂ αϕν(x) · ∂ βψ(y), ∂αϕν(x) ✸ Kx þ➜Ï✌✸ Kx × Ky þ➌➋✴➟➉✉✧➜∂ βψ(y) ✸ Ky þ➜Ï✌ ✸ Kx × Ky þ➌➋✴➟➉✉✧➜↕➧ ∂ α+β [ϕν(x)ψ(y)] → 0 ✸ Kx × Ky þ➌➋↕á. ②✳. 2. ②➨✸✢✦⑦3➙Ú❭✛ βR(x) ➃ C∞ ➻ê. ② ❂❻② βR(x) = Z gR(x − t)α(t)dt 1
为Cx函数.其中gR为球BR的特征函数： x∈BR 9r(r）= 0 T BR 0.存在A上的连续函数g使 f-9,=【f-gpa萨<e
➃ C∞ ➻ê. Ù➙ gR ➃➙ BR ✛❆✍➻ê➭ gR(x) = 1 x ∈ BR 0 x 6∈ BR ✌ α(x) = 1 C e 1 |x|2−1 |x| 0➜⑧✸ A þ✛ë❨➻ê g ➛ kf − gkp = Z A |f − g| p dx 1 p < ε 2
对任意周定的刀，令B是包括sppu的闭球由u∈P和∈LP(B),因而由上定理存在连续 函数g(:)使 fl)-g(Pi<( 再令R是一个与B同心，包含B的球，使斥-B的测度 IK-B≤nP(2M)-P M=黑l(e 又引连续函数使 x∈B v()= spl(≤M x∈Em\R 因sup现=K,推得 u-w=(gu-gP+(.。eoP)户 <+PT(品 -+2却=7 因此有 :-l,=[fa:-p-[厂-+-8+e-pa 由明可夫斯基不等式得 llue ullp SIlue-vellp+llve-ollp+llv-ullp <4-lp+l-vlp+刀 由此只要证明当ε充分小时有 llus-vellp <n (2) llve-ullp<n (3) 即可.先证(2) 1-/a(t)dt' 引”=，业=山或业=-山代入上式符 1=/()=() 3
é❄➾✛➼✛ η➜✲ B ➫➑✮ supp u ✛✹➙. ❞ u ∈ L p Ú u ∈ L p (B) ➜Ï✌❞þ➼♥⑧✸ë❨ ➻ê g(x) ➛ Z Ω |u(x) − g(x)| p dx < 1 2 η p ✷✲ K˜ ➫➌❻❺ B Ó✪➜➑➵ B ✛➙➜➛ K˜ − B ✛ÿÝ |K˜ − B| ≤ η p (2M) −p M = sup x∈B |g(x)| qÚë❨➻ê➛ v(x) = g(x) x ∈ B 0 x ∈ En \ K˜ sup |v(x)| ≤ M Ï supp u = K➜í✚ ku − vkp = Z B |u − g| p dx 1 p + Z K˜ −B |v(x)| p dx 1 p < 1 2 η + Mp η p 1 2M p 1 p = 1 2 η + 1 2 η = η Ï❞❦ kuε − ukp = Z |uε − u| p dx 1 p = Z |uε − vε + vε − v + v − u| p dx 1 p ❞➨➀➴❞➘Ø✤➟✚ kuε − ukp ≤kuε − vεkp + kvε − vkp + kv − ukp <kuε − vεkp + kvε − vkp + η ❞❞➄❻②➨✟ ε ➾➞✂➒❦ kuε − vεkp < η (2) kvε − vkp < η (3) ❂➀. ❦②(2). ❞ 1 = Z α(t 0 )dt0 Ú t 0 = x − y ε , dt0 = 1 ε dx ➼ dt0 = − 1 ε dy ➇❭þ➟✚ 1 = Z α x − y ε 1 ε n dx = Z α x − y ε 1 ε n dy 3
对任意u∈P有： (lul-/lu(mrav-ur(fad)dy (④ =品∫(ora('声 当1<p<0时，令g为满足+片=1的数，对任意周定的工，函数o)(a）∈ D,a(2兰)）°∈，因此，由Holder不等式推出： uep=o(a)）产(a(）' ≤(uoPa)(a(')月 sora(e')（∫a()= 两边积分得 .aP≤∫lu(a)pa(g)d=ulwP 故得 luellp≤Iulp 因(u-)∈P,故由上式推出 l4:-elp≤u-llp<n 当p=1时，由定义 llull =/lu(z)ldz .lh=/1∫a(edus∫ea(e) fhut)a(dr )du=flu(mldv=lu 再证(3). -=∫ga(2)-∫ea() =/)-ea(g) -学ee-e-oaoa 由于疗为紧集，v在斥上连续，因此v在斥上一致连续，当：<0时，就有 lv(-st)-v()<n 4
é❄➾ u ∈ L p ❦➭ (kukp) p = Z |u(y)| p dy = Z |u(y)| p Z α x − y ε 1 ε n dx dy = 1 ε n Z Z |u(y)| pα x − y ε dy dx (4) ✟ 1 < p < ∞ ➒➜✲ q ➃÷✈ 1 p + 1 q = 1 ✛ê➜é❄➾✛➼✛ x➜➻ê u(y) α x − y ε 1 p ∈ L p , α x − y ε 1 q ∈ L q➜Ï❞➜❞ Holder Ø✤➟íÑ➭ |uε(x)| p = 1 ε np Z u(y) α x − y ε 1 p α x − y ε 1 q dy p ≤ 1 ε np Z |u(y)| pα x − y ε dy Z α x − y ε dy p q ≤ 1 ε n Z |u(y)| pα x − y ε dy ∵ 1 ε n Z α x − y ε dy = 1 ü❃➮➞✚ Z |uε(x)| p dx ≤ Z 1 ε n Z |u(x)| pα x − y ε dydx = (kukp) p ✙✚ kuεkp ≤ kukp Ï (u − v) ∈ L p➜✙❞þ➟íÑ kuε − vεkp ≤ ku − vkp < η ✟ p = 1 ➒➜❞➼➶ kuk1 = Z |u(x)|dx kuεk1 = Z 1 ε n Z u(y)α x − y ε dy dx ≤ Z 1 ε n Z |u(y)|α x − y ε dydx = Z |u(y)| 1 ε n Z α x − y ε dx dy = Z |u(y)|dy = kuk1 ✷②(3). vε − v = 1 ε n Z v(y)α x − y ε dy − 1 ε n Z v(x)α x − y ε dy = 1 ε n Z [v(y) − v(x)]α x − y ε dy t= x−y ε = Z [v(x − εt) − v(x)]α(t)dt ❞✉ K˜ ➃❀✽➜v ✸ K˜ þë❨➜Ï❞ v ✸ K˜ þ➌➋ë❨➜✟ ε < ε0 ➒➜Ò❦ |v(x − εt) − v(x)| < η 4
在斥上一致成立，推得 le-叫≤lu(z-et)-v(zla(t)dt=na(t)t=n 当u∈P(R)不一定有紧支集时，引 u() 0，因uP可积，故存在ro>0,当r>ro时有 lu-叫Blp0,存在连续函数g(z)使 A国-9aP<r 再引K是一个包含K的紧集，使-K的测度小于2)-，M=黑g又引连续函数 9a) splw(zl≤M x∈D-K6 其球6取得如此之小，使K整个落在之球
✸ K˜ þ➌➋↕á➜í✚ |vε − v| ≤ Z |v(x − εt) − v(x)|α(t)dt = η Z α(t)dt = η ✟ u ∈ L p (Rn) Ø➌➼❦❀⑤✽➒➜Ú u|B(r)(x) = u(x) |x| 0➜Ï |u| p ➀➮➜✙⑧✸ r0 > 0➜✟ r > r0 ➒❦ ku − u|B(r)kp 0➜⑧✸ë❨➻ê g(x) ➛ Z Ω |u(x) − g(x)| p dx < 1 2 η p ✷Ú Kδ ➫➌❻➑➵ K ✛❀✽➜➛ Kδ − K ✛ÿÝ✂✉ η p (2M) −p , M = sup x∈K |g(x)|. qÚë❨➻ê v(x) = g(x) x ∈ K 0 x ∈ Ω − Kδ sup |v(x)| ≤ M Ù➙ δ ✒✚❳❞❷✂➜➛ Kδ ✒❻á✸ Ω ❷➙. 5
与1)类似，可得 llu-vllp <n llus ullp SIlus vellp lles vllp llv-ullp <n+llue-vellp lve-vllp 类似(1)证明4.-vp<n,只要e充分小.-lp<n,只要e充分小.因而推得，当u有紧支 集K时 当u∈LP()不一定有祭支集时，取紧集列Kn,K1CK2C.使每一个属于？的紧支集属于某 个K.则以Kn来代替B(r),类似(1)同样可证得 4一u(LP(2) 1若P以Q为常系数多项.Q为将Q中的五用品代后所得到的微分子。则 下列条件等价： ()(x)e(Rm) (2)P(r)Q(O)(x)∈(R) (3)Q(a(P(r)(e)e(R") 证先证1)(2)等价。 )一2).因(x)∈(m),由定义易见有 (x)∈(R)及xp(c)∈(R") 而对任意p(x),Q(a),p(c)Q(©)p(e)是p(c),xp(),0p(e)的有限次重复后的线性组合，由(Rm)是 线性空间知 p(r)Q(8)p(x)∈多(R") (2)一).只需取p(x)=1,Q()=1即可 再证(1)(3)等价. (1)一(3).与(1)一(2)类似，对任意的p(x,Q(a),Q(a)p(x)p(r)仍是(x),x(x,8(e)有 限次重复后的线性组合，故 Q(a)p(x(x)∈F(R")
❺(1)❛q➜➀✚ ku − vkp <η kuε − ukp ≤kuε − vεkp + kvε − vkp + kv − ukp <η + kuε − vεkp + kvε − vkp ❛q(1)②➨ kuε − vεkp < η➜➄❻ ε ➾➞✂. kvε − vkp < η➜➄❻ ε ➾➞✂. Ï✌í✚➜✟ u ❦❀⑤ ✽ K ➒ uε → u(L p (Ω)) ✟ u ∈ L p (Ω) Ø➌➼❦❀⑤✽➒➜✒❀✽✎ Kn, K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ➛③➌❻á✉ Ω ✛❀⑤✽á✉✱ ❻ Kn. ❑➧ Kn ✺➇❖ B(r)➜❛q(1)Ó✘➀②✚ uε → u(L p (Ω)) 4. ❡ P(x), Q(x) ➃⑦❳êõ➅➟➜Q(∂) ➃ò Q(x) ➙✛ xi ❫ ∂ ∂xi ➇❖↕✚✔✛➔❻➞➂❢➜❑ ❡✎❫❻✤❞➭ (1) ϕ(x) ∈ F(Rn) (2) P(x)Q(∂)ϕ(x) ∈ F(Rn) (3) Q(∂)(P(x)ϕ(x)) ∈ F(Rn) ② ❦②(1)(2)✤❞. (1) → (2). Ï ϕ(x) ∈ F(Rn)➜❞➼➶➫❸❦ ∂ϕ(x) ∈ F(R n ) ✾ xϕ(x) ∈ F(R n ) ✌é❄➾ p(x), Q(∂), p(x)Q(∂)ϕ(x) ➫ ϕ(x), xϕ(x), ∂ϕ(x) ✛❦⑩❣➢❊✛❶✺⑤Ü➜❞ F(Rn) ➫ ❶✺➌♠⑧ p(x)Q(∂)ϕ(x) ∈ F(R n ) (2) → (1). ➄■✒ p(x) = 1, Q(∂) = 1 ❂➀. ✷②(1)(3)✤❞. (1) → (3). ❺ (1) → (2) ❛q➜é❄➾✛ p(x), Q(∂), Q(∂)p(x)ϕ(x) ❊➫ ϕ(x), xϕ(x), ∂ϕ(x) ❦ ⑩❣➢❊✛❶✺⑤Ü➜✙ Q(∂)p(x)ϕ(x) ∈ F(R n ) 6
(3)一().也只需常取p(x)=1,Q(=1即可 5.同第4题的记号，试证”一0时下列命题等价： (1)p(e)→0((R") (2)对任意给定的P(z,Q(x),P(z)Q(⊙)p(c)一0在"上一致成属. (3)对任意给定的P(z,Q(x).Q(@)(P(x)p(c》→0在”上一致成属 证先证(1)(2)等价. ()一(2②).由P()一0(()和对任意重指标a,Pz8Pp()一0在m上一致成 属，而对任意P(z,Q(x),P(x)Q(8)p()是xaPp(x)对某些a,P的有限个线性组合，因 此P(e)Q(8)e()一0在"上一致成属. (2)一().对任意重指标a,P,取Q()=aP,P()为x,由P(x)Q()()一0推 得x8P()→0在m上一致成属. 再证(1)(3)等价. ()一(3).由P(a)一0((R"》知对任意重指标aPx8PP()→0在m上一致成属， 而对任意P(r),Q(a),Q()(P(r)p(c)由莱布尼兹公式知也是xaaF(e)对某些a,P的有限个线 性组合.因此，Q()(P(rp(》一0在m上一致成属. (3)一(1).可用归纳法证明.由对任意P(e,Q(x,Q(8(P(e)p(c》一0在Rm上一致成 属.取P(x)=1,Q(O=8P推得 aP()0 在Rm上一致成属.其次取P()-工，Q()-P推得 0+x,0() aP(x(a》= CaP u()+oP() 其中指标A为指标P中减少对求导一次.因上式三项中已有两项在上一致趋向于零，故推 出x,8P9()在m上一致趋向于零，由此推得x8P9()在上一致趋向于零.同上，由归纳法 即得 x8p(a)-0 在”上一致成属. 6.证明：若f(x)∈P(R),则它是一个多广义函数 7
(3) → (1). ➃➄■⑦✒ p(x) = 1, Q(∂) = 1 ❂➀. 5. Ó✶4❑✛PÒ➜➪② ν → ∞ ➒❡✎➲❑✤❞➭ (1) ϕν(x) → 0 (F(Rn)) (2)é❄➾❽➼✛ P(x), Q(x), P(x)Q(∂)ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. (3)é❄➾❽➼✛ P(x), Q(x), Q(∂)(P(x)ϕν(x)) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. ② ❦②(1)(2)✤❞. (1) → (2). ❞ ϕν(x) → 0 (F(Rn)) Úé❄➾➢➁■ α, P, xα∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕ á➜✌é❄➾ P(x), Q(x), P(x)Q(∂)ϕν(x) ➫ x α∂ P ϕν(x) é✱✡ α, P ✛❦⑩❻❶✺⑤Ü➜Ï ❞ P(x)Q(∂)ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. (2) → (1). é❄➾➢➁■ α, P➜✒ Q(∂) = ∂ P➜P(x) ➃ x α➜❞ P(x)Q(∂)ϕν(x) → 0 í ✚ x α∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. ✷②(1)(3)✤❞. (1) → (3). ❞ ϕν(x) → 0 (F(Rn)) ⑧é❄➾➢➁■ α, P, xα∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á➜ ✌é❄➾ P(x), Q(x), Q(∂)(P(x)ϕν(x)) ❞✹Ù❩❬ú➟⑧➃➫ x α∂ P ϕν(x) é✱✡ α, P ✛❦⑩❻❶ ✺⑤Ü. Ï❞➜Q(∂)(P(x)ϕν(x)) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. (3) → (1). ➀❫✽❇④②➨. ❞é❄➾ P(x), Q(x), Q(∂)(P(x)ϕν(x)) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕ á. ✒ P(x) = 1, Q(∂) = ∂ P í✚ ∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. Ù❣✒ P(x) = xi , Q(∂) = ∂ P í✚ ∂ P (xiϕν(x)) = 0 + xi∂ P ϕν(x) C∂Piϕν(x) + xi∂ P ϕν(x) Ù➙➁■ Pi ➃➁■ P ➙⑦✟é xi ➛✓➌❣. Ïþ➟♥➅➙➤❦ü➅✸ Rn þ➌➋➟➉✉✧➜✙í Ñ xi∂ P ϕν(x) ✸ Rn þ➌➋➟➉✉✧➜❞❞í✚ x∂P ϕν(x) ✸ Rn þ➌➋➟➉✉✧. Óþ➜❞✽❇④ ❂✚ x α ∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. 6. ②➨➭❡ f(x) ∈ L p (Rn)➜❑➜➫➌❻ F0 ✷➶➻ê. 7
证若fa)∈LP(R,p∈(R")则由Holder不等式 u.l=l人eeas(ra)'·(a) 因P∈多(R),故对任何k有I1+)(x川1 解(1)simx∈(Rm)(2)z∈多(Rm）(3)er∈9(Rm）)(④)f()∈e(R") 习题6-3 1将在第一象限中为1，北外为0的元通数T礼为矿义通数。来汇买及高 解由定义 (儒e〉=-女)=-r器=-人院 -Tel du=-T(-p(0.mdy-f Tote)ekr.mdrdv =T6,p(红，》
② ❡ f(x) ∈ L p (Rn)➜ϕ ∈ F(Rn) ❑❞HolderØ✤➟ |hf, ϕi| = Z Rn f(x)ϕ(x)dx ≤ Z Rn |f| p dx1 p · Z Rn |ϕ| q dx1 q Ï ϕ ∈ F(Rn)➜✙é❄Û k ❦ |(1 + |x| 2 ) kϕ(x)| 1 ✮ (1) sin x ∈ F0 (Rn) (2)x ∈ F0 (Rn) (3)e x 2 ∈ D0 (Rn) (4)f(x) ∈ ε 0 (Rn) ❙❑ 6-3 1. ò✸✶➌➊⑩➙➃ 1➜Ù✠➃ 0 ✛✓✄➻ê T ➚➃✷➶➻ê➜➛ ∂T ∂x , ∂T ∂y ✾ ∂ 2T ∂x∂y . ✮ ❞➼➶ ∂T ∂x , ϕ(x, y) = − T, ∂ϕ ∂x = − ZZ ∞ −∞ T ∂ϕ ∂x dxdy = − Z ∞ −∞ T dy Z ∞ 0 ∂ϕ ∂x dx = − Z ∞ −∞ T ϕ ∞ 0 dy = − Z ∞ −∞ T(−ϕ(0, y))dy = ZZ ∞ −∞ T δ(x)ϕ(x, y)dxdy =hT δ(x), ϕ(x, y)i 8
所以 识=Ta 同理得 g-r0 〈肠e）=广品=厂品咖广女 -广-80k=-e0=a0 =eed=e外e》 所以 新- 2.证明：若T为9广义函数，a为()的乘子.则 0(aT)=da.T+a.07 证由定义 (a(aT),9）=-(aT,8p〉=-T,a09}=-T,0(ap)-p0a） =-(T,0(ap》+(T,p8,a）=(a,T,ap)+(a,a·T,l =(ad,T,p)+(aa.T,p〉=(a8,T+0a.T,p) 所以 a(aT）=0a.T+a8,T 3.设 x≥1 f)= x<1 球盖器及影
↕➧ ∂T ∂x = T δ(x) Ó♥✚ ∂T ∂y = T δ(y) ∂ 2T ∂x∂y , ϕ(x, y) = ZZ ∞ −∞ T ∂ 2ϕ ∂x∂y dxdy = Z ∞ 0 Z ∞ 0 ∂ 2ϕ ∂x∂y dxdy Z ∞ 0 ∂ϕ ∂x ∞ 0 dx = Z ∞ 0 − ∂ϕ(x, 0) ∂x dx = −ϕ(x, 0) ∞ 0 = ϕ(0, 0) = ZZ ∞ −∞ δ(x, y)ϕ(x, y)dxdy = hδ(x, y), ϕ(x, y)i ↕➧ ∂ 2T ∂x∂y = δ(x, y) 2. ②➨➭❡ T ➃ D0 ✷➶➻ê➜α ➃ D0 (Rn) ✛➛❢➜❑ ∂j (αT) = ∂jα · T + α · ∂jT ② ❞➼➶ h∂j (αT), ϕi = − hαT, ∂jϕi = −hT, α∂jϕi = −hT, ∂j (αϕ) − ϕ∂jαi = − hT, ∂j (αϕ)i + hT, ϕ∂jαi = h∂jT, αϕi + h∂jα · T, ϕi =hα∂jT, ϕi + h∂jα · T, ϕi = hα∂jT + ∂jα · T, ϕi ↕➧ ∂j (αT) = ∂jα · T + α∂jT 3. ✗ f(x) = x 2 , x ≥ 1 x x < 1 ➪➛ df dx, d 2f dx2 ✾ d 3f dx3 . 9
解此定义 (感〉=-〈）〉=-密=-广-光 =-+et-呢+w =p0+厂2xph-+h -gpdr-(9. 这里 .2xz21 所以 (兽〉（尝以-〈》=-密 =-2器-=-+2咖- =2p0)+厂2ot-40)=4)+广24t =广5r-1aa)+h(a)-(e)is =(6e-1)+h(),p〉 这里 2x≥1 所以 票-e-+ (偎〉=-〈偎〉=-+竖 =-嘧-广=e-t-2 =e-1ab+2p0)=5e-)+26r-1lea恤 =(6(x-1)+26(x-1),P〉
✮ ❞➼➶ df dx, ϕ = − f, dϕ dx = − Z ∞ −∞ f dϕ dx dx = − Z ∞ 1 x 2 dϕ dx dx − Z 1 −∞ x dϕ dx dx = − x 2ϕ ∞ 1 + 2 Z ∞ 1 xϕdx − xϕ 1 −∞ + Z 1 −∞ ϕdx =ϕ(1) + Z ∞ 1 2xϕ(x)dx − ϕ(1) + Z 1 −∞ ϕdx = Z ∞ −∞ gϕdx = hg, ϕi ù♣ g(x) = 2x x ≥ 1 1 x < 1 ↕➧ df dx = g(x) d 2f dx2 , ϕ = dg dx, ϕ = − g, dϕ dx = − Z ∞ −∞ g dϕ dx dx = − Z ∞ 1 2x dϕ dx dx − Z 1 −∞ dϕ dx dx = −2xϕ ∞ 1 + Z ∞ 1 2ϕdx − ϕ 1 −∞ =2ϕ(1) + Z ∞ 1 2ϕdx − ϕ(1) = ϕ(1) + Z ∞ 1 2ϕdx = Z ∞ −∞ [δ(x − 1)ϕ(x) + h(x)ϕ(x)]dx =hδ(x − 1) + h(x), ϕi ù♣ h(x) = 2 x ≥ 1 0 x < 1 ↕➧ d 2f dx2 = δ(x − 1) + h(x) d 3f dx3 , ϕ = − d 2f dx2 , dϕ dx = − Z ∞ −∞ [δ(x − 1) + h(x)]dϕ dx dx = − Z ∞ −∞ δ(x − 1)dϕ dx dx − Z ∞ 1 2 dϕ dx dx = Z ∞ −∞ δ 0 (x − 1)ϕdx − 2ϕ ∞ 1 = Z ∞ −∞ δ 0 (x − 1)ϕdx + 2ϕ(1) = Z ∞ −∞ [δ 0 (x − 1) + 2δ(x − 1)]ϕ(x)dx = δ 0 (x − 1) + 2δ(x − 1), ϕ 10