第三章调和方程 建立方程、定解条件 格林公式及其应用 3 格林函数 强极值原理、第边值问题的唯一性
1 建立方程丶定解条件 2 格林公式及其应用 3 格 林 函 数 4 强极值原理丶第二边值问题的唯一性 第三章 调和方程
拉普拉斯（法国数学家、物理学家）〉 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,.1749-1827)是法国分析学 家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。1749年3月 23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1827年3月 5日卒于巴黎。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该 院院长。1812年发表了重要的《概率分析理论》一书，在 该书中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审 判调查、气象等方面的应用，导入「拉普拉斯变换」等。他 是决定论的支持者，提出了拉普拉斯妖。他致力于挽救世袭 制的没落：他当了六个星期的拿破仑的内政部长，后来成为 元老院的掌玺大臣，并在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两 度获颁爵位，后被选为法兰西学院院长。拉普拉斯曾任拿破 仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。 贪图圆
拉普拉斯（法国数学家、物理学家） 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学 家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。1749年3月 23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1827年3月 5日卒于巴黎。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该 院院长。1812年发表了重要的《概率分析理论》一书，在 该书中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审 判调查、气象等方面的应用，导入「拉普拉斯变换」等。他 是决定论的支持者，提出了拉普拉斯妖。他致力于挽救世袭 制的没落：他当了六个星期的拿破仑的内政部长，后来成为 元老院的掌玺大臣，并在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两 度获颁爵位，后被选为法兰西学院院长。拉普拉斯曾任拿破 仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘
格林(Green) 格林(1793-1841)，G.(Green,George)1793年6月或 7月生于英国诺丁汉郡；1841年5月31日卒于诺丁汉 郡.数学. 1793年7月14日，英国诺丁汉郡圣玛丽教堂的命名登记簿 上增加了当地面包师G.格林(Green)与其妻莎拉(Sarah) 新生男婴的名字一与父亲同名的乔治.格林的具体生日 不详，据命名日估计应在当年6月1日与7月14日之间.格 林8岁时曾就读于R.古达克尔(Goodacare)私立学校， 主要成就：发展了电磁学理论，引入了求解数学物理边值 问题的格林函数等等 合☒I
格林（Green) 格林（1793-1841) ，G．(Green，George)1793年6月或 7月生于英国诺丁汉郡；1841年5月31日卒于诺丁汉 郡．数学． 1793年7月14日，英国诺丁汉郡圣玛丽教堂的命名登记簿 上增加了当地面包师G．格林(Green)与其妻莎拉(Sarah) 新生男婴的名字——与父亲同名的乔治．格林的具体生日 不详，据命名日估计应在当年6月1日与7月14日之间．格 林8岁时曾就读于R．古达克尔(Goodacare)私立学校． 主要成就：发展了电磁学理论,引入了求解数学物理边值 问题的格林函数等等
3.1建立方程、定解条件 3.1.1方程的导出 调和方程：Auax2+ dy2 + 0z2 二0 (又称Laplace方程，u为调和函数) 泊松方程： 4股++股=fcy 合图圆
3.1建立方程丶定解条件 3.1.1方程的导出 调和方程：𝛥𝑢= 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑧 2 = 0 (又称Laplace方程，𝑢为调和函数) 泊松方程： 𝛥𝑢= 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑧 2 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
3.1.1方程的导出 (1)引力位势 数学史上著名的实例：牛顿万有引力 位于(xo,yo,zo)处质量为M的质点对于位于(x,y,z)处具有单位质量的质点的引力： 大小：2，r=Vx-x)2+0y-yo)2+2-2)z 方向：延两点连线方向指向(xo,yo,zo) 引力场函数：x,y)=一(，”，) 位势函数：(x,y,z)=兰 合图圆
3.1.1方程的导出 (1)引力位势 数学史上著名的实例：牛顿万有引力 位于 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 处质量为M的质点对于位于 𝑥, 𝑦, 𝑧 处具有单位质量的质点的引力： 大小： 𝑀 𝑟 2 ，𝑟 = 𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 + 𝑧 − 𝑧0 2 方向：延两点连线方向指向 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 引力场函数：𝐹 Ԧ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = − 𝑀 𝑟 2 𝑥−𝑥0 𝑟 , 𝑦−𝑦0 𝑟 , 𝑧−𝑧0 𝑟 位势函数：𝜑 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑀 𝑟
3.1.1方程的导出 显然F(x,y,z)=grado,(除相差一个常数外，位势函数是唯一的)。 若有密度为p(x,y,z),分布在区域2上的质量。那么它产生的引力场应为其上 各质点产生的引力场的叠加 6xx)=∬pgn dξdndg 0x-)2+(x-n)2+(x-2 易验证p(x,y,z)在2外满足调和方程△p=0
3.1.1方程的导出 显然𝐹 Ԧ 𝑥, 𝑦, 𝑧 =grad𝜑，(除相差一个常数外，位势函数是唯一的)。 若有密度为𝜌 𝑥,𝑦, 𝑧 ,分布在区域𝛺上的质量。那么它产生的引力场应为其上 各质点产生的引力场的叠加 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ම 𝛺 𝜌 𝜉, 𝜂, 𝜁 𝑑𝜉𝑑𝜂𝑑𝜁 𝑥 − 𝜉 2 + 𝑥 − 𝜂 2 + 𝑥 − 𝜁 2 易验证𝜑 𝑥,𝑦, 𝑧 在𝛺外满足调和方程𝛥𝜑 = 0
3.1.1方程的导出 进一步若p(x,y,z)满足Holder条件： If(M)-f(M2)I0) 则o在n内满足泊松方程4p=-4n0子a-+-4e- 1 是除(xo,o,2o)外处处二阶可微的调和函数，即除Ro.z0)外4=0 (2)静电场的电位势 △p=-4πp (p为电荷密度) 合图圆
3.1.1方程的导出 （2）静电场的电位势 进一步若𝜌 𝑥,𝑦, 𝑧 满足Holder条件： 𝑓 𝑀1 − 𝑓 𝑀2 ≤ 𝑐𝑀 ൯ 1𝑀2 𝑟 (0 0 则𝜑在𝛺内满足泊松方程𝛥𝜑 = −4𝜋𝜌. 1 𝑟 = 1 𝑥−𝑥0 2+ 𝑦−𝑦0 2+ 𝑧−𝑧0 2 是除 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 外处处二阶可微的调和函数，即除𝑅 ൗ 3 𝑥0,𝑦0,𝑧0 外𝛥 1 𝑟 = 0 𝛥𝜑 = −4𝜋𝜌 (𝜌为电荷密度)
3.1.2定解条件和定解问题（边值问题） 边界条件： 第一边界条件(Dirichlet条件) 第二边界条件(Neumann条件) on 二g 合M剑
3.1.2定解条件和定解问题(边值问题) 边界条件： ቤ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝛤 = 𝑔 第一边界条件（Dirichlet条件） 第二边界条件（Neumann条件） 𝑢ቚ 𝛤 = 𝑔
3.1.2定解条件和定解问题（边值问题） 四类边值问题：区域2，边界T 第一边值问题(Dirichlet条件问题)： △u=0 在2内， ,=0 第二边值问题(Neumann问题)： △u=0 在2内， anr =0 合图圆
3.1.2定解条件和定解问题(边值问题) 第一边值问题(Dirichlet条件问题)： 第二边值问题（Neumann问题）： 四类边值问题：区域𝛺，边界𝛤 ቐ 𝛥𝑢 = 0 在𝛺内， 𝑢ቚ 𝛤 = 0 ൞ 𝛥𝑢 = 0 在𝛺内， ቤ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝛤 = 0
3.1.2定解条件和定解问题（边值问题） Dirichlet外问题： u=0 在2内， limu(x,y,z)=0 Neumann外问题 △u=0在2内， limu(x,y,z)=0 -→00 ou =g 如果不加条件limu=0,则会导致解的不唯一. r0 合M剑
3.1.2定解条件和定解问题(边值问题) Dirichlet外问题： Neumann外问题 𝛥𝑢 = 0 在𝛺内， 𝑙𝑖𝑚 𝑟→∞ 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧 = 0 𝑢ቚ 𝛤 = 𝑔 𝛥𝑢 = 0 在𝛺内， 𝑙𝑖𝑚 𝑟→∞ 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 ቤ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝛤 = 𝑔 如果不加条件𝑙𝑖𝑚 𝑟→0 𝑢 = 0，则会导致解的不唯一