第章热传导方程 §1 热传导方程及其定解问题的导出 §2 初边值问题的分离变量法 §3 柯西问题 §4 极值原理，定解问题解的唯一性和稳定性 §5 解的渐近性态
第二章 热传导方程 §4 极值原理，定解问题解的唯一性和稳定性 §2 初边值问题的分离变量法 §1 热传导方程及其定解问题的导出 §3 柯西问题 §5 解的渐近性态
§4极值原理，定解问题解的唯一性和稳定性 极值原理 初边值问题解的唯一性和稳定性 3 柯西问题解的唯一性和稳定性 国
§4 极值原理，定解问题解的唯一性和稳定性 1 极值原理 2 初边值问题解的唯一性和稳定性 3 柯西问题解的唯一性和稳定性
1极值原理 定理4.1设u(x,t)在矩形Rr={a≤x≤B,0≤t≤T)上连续，并且 在矩形内部满足热传导方程 au 202u a2 (4.1) at x2 则在矩形的两个侧边(x=α及x=B,0≤t≤T)及底边(t=0,≤ x≤B)上取得最大值和最小值.换言之，若以r表示Rr的边界曲线 (抛物线界)，那么成立 maxu(x,t)=maxu(x.t). minu(x,t)=minu(x)
1 极值原理 定理4.1 设𝑢 𝑥,𝑡 在矩形𝑅𝑇 = 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 上连续，并且 在矩形内部满足热传导方程 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 （4.1） 则在矩形的两个侧边 𝑥 = 𝛼及𝑥 = 𝛽, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 及底边ሺ ሻ 𝑡 = 0,𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽 上取得最大值和最小值.换言之，若以𝛤𝑇表示𝑅𝑇的边界曲线 （抛物线界），那么成立 𝑚𝑎𝑥 𝑅𝑇 𝑢 𝑥,𝑡 = max 𝛤𝑇 𝑢 𝑥,𝑡 , min 𝑅𝑇 𝑢 𝑥,𝑡 = min 𝛤𝑇 𝑢 𝑥,𝑡
1极值原理 T 国
1 极值原理
1极值原理 证明：只考虑最大值情形即可（反证法） 若令M=maxu(x,t),m=maxu(x,t).若定理不真，那么M>m. RT 此时，在内不一定存在一点(x*,t*)t*>0,<x*<B)使 u(x*,t)=M.作函 G-)(0- 由于在Ir上 M-m M 3 V(x,t)<m+4 +4m=6M(0<0<1) 4 而 V(x*,l*)=M
1 极值原理 证明 ： 只考虑最大值情形即可（反证法） 若令𝑀 = 𝑚𝑎𝑥 𝑅𝑇 𝑢 𝑥,𝑡 , 𝑚 = 𝑚𝑎𝑥 𝛤𝑇 𝑢 𝑥,𝑡 .若定理不真，那么𝑀 > 𝑚. 此 时 ， 在 内 不 一 定 存 在 一 点 𝑥 ∗ ,𝑡 ∗ 𝑡 ∗ > 0, 𝛼 < 𝑥 ∗ < 𝛽 使 𝑢 𝑥 ∗ ,𝑡 ∗ = 𝑀.作函数 𝑥,𝑡 = 𝑢 𝑥,𝑡 + 𝑀 − 𝑚 4𝑙 2 𝑥 − 𝑥 ∗ 2 𝑙 = 𝜌 − 𝛼 由于在𝛤𝑇上 𝑉 𝑥,𝑡 < 𝑚 + 𝑀 − 𝑚 4 = 𝑀 4 + 3 4 𝑚 = 𝜃𝑀 0 < 𝜃 < 1 而 𝑉 𝑥 ∗ , 𝑙 ∗ = 𝑀
1极值原理 因此，函数V(x,t)和u(x,t)一样，它不在I上取最大值.设V(x,t)在 Rr中某一点(x1,t1)上取最大值(t1>0,a<x1<B),则在此点应有 影≤0，张≥0（如果t<T,则贺=0：如果t=T,则咒≥0）， 因此在(x1,t1)处 av Ot azgu 0x230 直接计算且由(4.1)得 av 202v qu ,02u 0x2=1 2=-a2M-m Ot at 0x2 2M-m 212 212 0 这就得到了矛盾，它说明原先的假设是不正确的证毕
1 极值原理 因此，函数𝑉 𝑥,𝑡 和𝑢 𝑥,𝑡 一样，它不在𝛤𝑇上取最大值.设𝑉 𝑥,𝑡 在 𝑅𝑇中某一点 𝑥1 ,𝑡1 上取最大值 𝑡1 > 0, 𝛼 < 𝑥1 < 𝛽 ，则在此点应有 𝜕 2𝑉 𝜕𝑥 2 ≤ 0, 𝜕𝑉 𝜕𝑡 ≥ 0（如果𝑡1 < 𝑇，则 𝜕𝑉 𝜕𝑡 = 0；如果𝑡1 = 𝑇，则 𝜕𝑉 𝜕𝑡 ≥ 0）， 因此在 𝑥1 ,𝑡1 处 𝜕𝑉 𝜕𝑡 − 𝑎 2 𝜕 2𝑉 𝜕𝑥 2 ≥ 0 直接计算且由 4.1 得 𝜕𝑉 𝜕𝑡 − 𝑎 2 𝜕 2𝑉 𝜕𝑥 2 = 𝜕𝑢 𝜕𝑡 − 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 − 𝑎 2 𝑀 − 𝑚 2𝑙 2 = −𝑎 2 𝑀 − 𝑚 2𝑙 2 < 0 这就得到了矛盾，它说明原先的假设是不正确的.证毕
1极值原理 注由定理1的证明可见，若u是非齐次热传导方程 ut-a2uxx=f(x)(f(x)<0) 的解，则仍成立 maxu(x,t)=maxu(x,t) RT
1 极值原理 注由定理1的证明可见，若𝑢是非齐次热传导方程 𝑢𝑡 − 𝑎 2𝑢𝑥𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ≤ 0 的解，则仍成立 max 𝑅𝑇 𝑢 𝑥,𝑡 = max 𝛤𝑇 𝑢 𝑥,𝑡
2初边值问题解的唯一性和稳定性 定理4.2热传导方程初边值问题 ut a2uxx +f(x,t) u(x,0)=p(x) （4.2) u(a,t)=1(t),u(B,t)=u2(t) 在区域RT上的解是唯一的，而且连续的依赖于边界上所给定的初 边值条件」
2 初边值问题解的唯一性和稳定性 定理4.2 热传导方程初边值问题 𝑢𝑡 = 𝑎 2𝑢𝑥𝑥 + 𝑓 𝑥,𝑡 𝑢 𝑥, 0 = 𝜑 𝑥 𝑢 𝛼,𝑡 = 𝜇1 𝑡 , 𝑢 𝛽,𝑡 = 𝜇2 𝑡 在区域𝑅𝑇上的解是唯一的，而且连续的依赖于边界𝛤𝑇上所给定的初 边值条件. （4.2）
2初边值问颗解的唯一性和稳定性 02u 证明 (1)at 0x2两个解u1和u2,则u=u1-u2在Rr内满 足齐次方程，(4而在IT上取0.由极值原理得到，在RT上u三0，即在 RT内有W1≡2 (2)其次，若初值问题的两个解u1和2在Ir上满足 |u1-u2|≤e 由极值原理得到，在RT上成立着 luw1-u2|≤e 这就证明了初边值问题(4.2)解的稳定性
2 初边值问题解的唯一性和稳定性 证明 （1）设问题 4.2 有两个解𝑢1和𝑢2，则𝑢 = 𝑢1 − 𝑢2在𝑅𝑇内满 足齐次方程，而在𝛤𝑇上取0.由极值原理得到，在𝑅𝑇上𝑢 ≡ 0，即在 𝑅𝑇内有𝑢1 ≡ 𝑢2. （2）其次，若初值问题的两个解𝑢1和𝑢2在𝛤𝑇上满足 𝑢1 − 𝑢2 ≤ 𝜀 由极值原理得到，在𝑅𝑇上成立着 𝑢1 − 𝑢2 ≤ 𝜀 这就证明了初边值问题 4.2 解的稳定性. 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 4.1
2初边值问题解的唯性和稳定性 对于第二、三边界条件，定理4.2还不能直接使用. 考虑下列初边值问题 ut -a2uxx =0 u=(e). x+h四l=,() (4.3) x=0 =p(x) 估计解u(x,t)的取值范围
2 初边值问题解的唯一性和稳定性 对于第二、三边界条件，定理4.2还不能直接使用. 考虑下列初边值问题 𝑢𝑡 − 𝑎 2𝑢𝑥𝑥 = 0 𝑢ቚ 𝑥=0 = 𝜇1 𝑡 , 𝑢ቚ 𝑡=0 = 𝜑 𝑥 ሺ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + ℎ 𝑢ሻቚ 𝑥=𝑙 = 𝜇2 𝑡 （4.3） 估计解𝑢 𝑥,𝑡 的取值范围