第七章偏微分方程的数值解 习顺7-1 1.证明：用有限差分法所列的计算格式(1.4)及(1.5)恒有唯一的解。 2.若对所考察的有限元素分割，没有一个元素是纯角三角形，证明此时对狄利克雷问题(11) (1.2)用元体平衡法所列的计算格式，必成立极值原理，即除非节点上的解值恒等于常数，在内节点处 得解值不可能取到在所有节点上解值的最大值或最小值。由此证明用元体平衡法得到的计算格式恒有 唯一的解 3.证明出现在(1.22)式中的刚度阵K-()(伍，j=1,·,N)是一个对称正定阵. 4.证明对狄利克雷问题(1.1)(1.2)若采用同一有限元素分割，则用有限元素法所列的计算格式 与用元体平衡法所列的计算格式与用元体平衡法所列的计算格式是完全相同的. 5.证明：若采用图7.6所示的有限元素分割，则用有限元素法在任一内节点处所列的计算格式 必为五点格式(1.4). 6.证明：若采用同一有限元素分割，且“及心采用同一插值方式进行插值。则对狄利克雷问 题(1.1-(1.2)用里茨法和用伽辽金法所得的计算格式是完全相同的. 习题7-2 1.对热传导方程的初边值问题 t=0:u=sin x=0:u=0 x=1u=0 取△x-1刀(J为正整数)，列出共显式差分格式I,并指出此时的稳定性条件 解求解区域为R:0≤x≤1,0≤t.在x轴上以步长△r=将0，刂分成J等分，在t轴上以 1
✶ÔÙ ➔❻➞➄➜✛ê❾✮ ❙❑ 7-1 1. ②➨➭❫❦⑩☛➞④↕✎✛❖➂❶➟(1.4)✾(1.5)ð❦➁➌✛✮. 2. ❡é↕⑧✠✛❦⑩✄❷➞⑧➜✈❦➌❻✄❷➫ð✍♥✍✴➜②➨❞➒é✮⑤➂❳➥❑(1.1)- (1.2)❫✄◆➨ï④↕✎✛❖➂❶➟➜✼↕á✹❾✝♥➜❂Ø➎✦✿þ✛✮❾ð✤✉⑦ê➜✸❙✦✿❄ ✚✮❾Ø➀❯✒✔✸↕❦✦✿þ✮❾✛⑩➀❾➼⑩✂❾. ❞❞②➨❫✄◆➨ï④✚✔✛❖➂❶➟ð❦ ➁➌✛✮. 3. ②➨Ñ②✸(1.22)➟➙✛❢Ý✡ K = (kij ) (i, j = 1, · · · , N) ➫➌❻é→✔➼✡. 4. ②➨é✮⑤➂❳➥❑(1.1)-(1.2)❡æ❫Ó➌❦⑩✄❷➞⑧➜❑❫❦⑩✄❷④↕✎✛❖➂❶➟ ❺❫✄◆➨ï④↕✎✛❖➂❶➟❺❫✄◆➨ï④↕✎✛❖➂❶➟➫✑✜❷Ó✛. 5. ②➨➭❡æ❫ã7.6↕➠✛❦⑩✄❷➞⑧➜❑❫❦⑩✄❷④✸❄➌❙✦✿❄↕✎✛❖➂❶➟ ✼➃✃✿❶➟(1.4). 6. ②➨➭❡æ❫Ó➌❦⑩✄❷➞⑧➜❹ u ✾ ω æ❫Ó➌✂❾➄➟❄✶✂❾➜❑é✮⑤➂❳➥ ❑(1.1)-(1.2)❫♣❪④Ú❫➩✟✼④↕✚✛❖➂❶➟➫✑✜❷Ó✛. ❙❑ 7-2 1. é✾❉✓➄➜✛Ð❃❾➥❑ ∂u ∂t − ∂ 2u ∂x2 = 0 t = 0 : u = sin πx x = 0 : u = 0 x = 1 : u = 0 ✒ ∆x = 1/J↔J ➃✔✒ê↕➜✎ÑÙ✇➟☛➞❶➟✳➜➾➁Ñ❞➒✛➢➼✺❫❻. ✮ ➛✮➠➁➃ R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t➜✸ x ➯þ➧Ú⑧ ∆x = 1 J ò [0, 1] ➞↕ J ✤➞➜✸ t ➯þ➧ 1
步长△t作平行于x轴的网格线，节点(，tn)=(O△x,n△t),且记U=U(c,tn),则热传导方 程显式差分格式为 U+1-U_+1-2U+U △t U9=sinj△x0=1,2,.,J-1) U8=0,U呀=0(m=0,1,2,.) U+1=AU1+1-2)U5+AU 09=sinj△xG=1,2,.,J-1) U6=0,0=0(=0,1,2,.) 当入≤)格式是稳定的，即 Pat≤号或At≤2示 格式是稳定的 2.试列出热传导方程初边值问题 批-2e器=0a2ao>0 u(z,0)=p(r) u(0,)=4(1,)=0 的显式差分格式 解在工上取步长=行t轴上取步长=石，网格节点G)=GAn△。 记U仍=U(g,tn),a=a(g)=a(G△x),所求显式差分格式为 =-2双+0 U9=(jAr)= U哈=0，U明=0 习题7-3 1.给定波动方程的显式差分格式： 巧+1=2U+1+21-3吗+2U-4-U-1 2
Ú⑧ ∆t ❾➨✶✉ x ➯✛✤❶❶➜✦✿ (xj , tn) = (j∆x, n∆t)➜❹P U n j = U(xj , tn)➜❑✾❉✓➄ ➜✇➟☛➞❶➟➃ U n+1 j − U n j ∆t = U n j+1 − 2U n j + U n j−1 ∆x 2 U 0 j = sin jπ∆x (j = 1, 2, · · · , J − 1) U n 0 = 0, U n J = 0 (n = 0, 1, 2, · · ·) ✲ λ = ∆t ∆x 2 ➜✚ U n+1 j = λU n j+1 + (1 − 2λ)U n j + λU n j−1 U 0 j = sin jπ∆x (j = 1, 2, · · · , J − 1) U n 0 = 0, U n J = 0 (n = 0, 1, 2, · · ·) ✟ λ ≤ 1 2 ❶➟➫➢➼✛➜❂ J 2∆t ≤ 1 2 ➼ ∆t ≤ 1 2J 2 ❶➟➫➢➼✛. 2. ➪✎Ñ✾❉✓➄➜Ð❃❾➥❑ ∂u ∂t − a 2 (x) ∂ 2u ∂x2 = 0 (a(x) ≥ a0 > 0) u(x, 0) = ϕ(x) u(0, t) = u(1, t) = 0 ✛✇➟☛➞❶➟. ✮ ✸ x ➯þ✒Ú⑧ ∆x = l J ➜t ➯þ✒Ú⑧ ∆t = T N ➜✤❶✦✿ (xj , tn) = (j∆x, n∆t)➜ P U n j = U(xj , tn), aj = a(xj ) = a(j∆x)➜↕➛✇➟☛➞❶➟➃ U n+1 j − U n j ∆t = a 2 j U n j+1 − 2U n j + U n j−1 ∆x 2 U 0 j = ϕ(j∆x) = ϕj U n 0 = 0, U n J = 0 ❙❑ 7-3 1. ❽➼➴➘➄➜✛✇➟☛➞❶➟➭ U n+1 j = λ 2U n j+1 + 2(1 − λ 2 )U n j + λ 2U n j−1 − U n−1 j 2
问在α，B满足怎样的条件时，U仍=a”P是它的解 解将仍-a代人所给差分方程，得 a+1P=A2a"P+1+21-2)a"P+A2a"g-1-an-1P 即 a2B=X2a32+21-A2)a3+2a-B 或 (a2-2a+1)=2a(2-23+1) 即 3a-1)2=2a(3-1)2 若a,3满足以上关系，则U仍=a”伊为所给差分方程的解 2.正明：弦标动方程=“器的解，)在节点上的值 u-u(j△x,n△t) 是入=1时的显式差分格式的解，即满足差分方程 +1+-1=+1+- 证该动方程=的解为 u=fe+at)+g(z-ad） 其中人，9为任意可微函数 =fG△x+an△)+gGAr-am△t)
➥✸ α, β ÷✈◆✘✛❫❻➒➜U n j = α nβ j ➫➜✛✮. ✮ ò U n j = α nβ j ➇❁↕❽☛➞➄➜➜✚ α n+1β j = λ 2α nβ j+1 + 2(1 − λ 2 )α nβ j + λ 2α nβ j−1 − α n−1β j ❂ α 2β = λ 2αβ2 + 2(1 − λ 2 )αβ + λ 2α − β ➼ β(α 2 − 2α + 1) = λ 2α(β 2 − 2β + 1) ❂ β(α − 1)2 = λ 2α(β − 1)2 ❡ α, β ÷✈➧þ✬❳➜❑ U n j = α nβ j ➃↕❽☛➞➄➜✛✮. 2. ②➨➭✉✟➘➄➜ ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 ✛✮ u(x, t) ✸✦✿þ✛❾ u n j = u(j∆x, n∆t) ➫ λ = 1 ➒✛✇➟☛➞❶➟✛✮➜❂ u n j ÷✈☛➞➄➜ u n+1 j + u n−1 j = u n j+1 + u n j−1 ② ➴➘➄➜ ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 ✛✮➃ u = f(x + at) + g(x − at) Ù➙ f, g ➃❄➾➀❻➻ê u n j = f(j∆x + an∆t) + g(j∆x − an∆t) 3
将其代人若分方程1+写1=1十-1并注意到入=公=1，即At=4,得 uy++u-1-f(i△r+a(n+1)△t)+g(i△x-an+1)△t) +fiAr+a(n-1)△t)+g(jAr-a(n-1)△t) =f(+n+△)+G-n-1)a) +f(G+n-1)△r)+g(G-n+1)△x) =f（G+1)△x+an△)+g(G-1)△x-an△d +f(G-1)△r+am△1)+g(G+1)△r-am△t =吗1+-1 即丐满足所给差分方程 3.记 (62U)5=U+1-2U雪+U- 求用差分格式 1-2U%+-eU91+U09 (△P 2(△z2 米近似金节直化，处的孩振动方程器=？器时广生的断误差 解设u(红，)为波动方程的解 ”-(+g型 (△)2 lE-tnl≤△t (62uj+1 位-l≤△r u-1 (+ 臣-x≤△r (原-(+()》a+a tn≤i≤tn+l -(原，-(》a+r tn-l≤t≤tn 所以 -(原+（景+2） 2△x)2
òÙ➇❁☛➞➄➜ u n+1 j + u n−1 j = u n j+1 + u n j−1 ➾✺➾✔ λ = a∆t ∆x = 1➜❂ a∆t = ∆x➜✚ u n+1 j + u n−1 j =f j∆x + a(n + 1)∆t + g j∆x − a(n + 1)∆t + f j∆x + a(n − 1)∆t + g j∆x − a(n − 1)∆t =f (j + n + 1)∆x + g (j − n − 1)∆x + f (j + n − 1)∆x + g (j − n + 1)∆x =f (j + 1)∆x + an∆t + g (j − 1)∆x − an∆t + f (j − 1)∆x + an∆t + g (j + 1)∆x − an∆t =u n j+1 + u n j−1 ❂ u n j ÷✈↕❽☛➞➄➜. 3. P (δ 2U) n j = U n j+1 − 2U n j + U n j−1 ➛❫☛➞❶➟ U n+1 j − 2U n j + U n−1 j (∆t) 2 = a 2 (δ 2U) n+1 j + (δ 2U) n−1 j 2(∆x) 2 ✺❈q✸✦✿ (xj , tn) ❄✛✉✟➘➄➜ ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 ➒✗✮✛✤äØ☛. ✮ ✗ u(x, t) ➃➴➘➄➜✛✮ u n+1 j − 2u n j + u n−1 j (∆t) 2 = ∂ 2u ∂t2 n j + (∆t) 2 12 ∂ 4u(xj ,t¯) ∂t4 |t¯− tn| ≤ ∆t (δ 2u) n+1 j (∆x) 2 = ∂ 2u ∂x2 n+1 j + (∆x) 2 12 ∂ 4u(˜x, tn+1) ∂x4 |x˜ − xj | ≤ ∆x (δ 2u) n−1 j (∆x) 2 = ∂ 2u ∂x2 n−1 j + (∆x) 2 12 ∂ 4u(x, t ˜˜ n−1) ∂x4 |x˜˜ − xj | ≤ ∆x ∂ 2u ∂x2 n+1 j = ∂ 2u ∂x2 n j + ∂ 3u ∂x2∂t n j ∆t + 1 2! ∂ 4u(xj ,t˜) ∂x2∂t2 ∆t 2 tn ≤ t˜≤ tn+1 ∂ 2u ∂x2 n−1 j = ∂ 2u ∂x2 n j − ∂ 3u ∂x2∂t n j ∆t + 1 2! ∂ 4u(xj ,t ˜˜) ∂x2∂t2 ∆t 2 tn−1 ≤ t ˜˜≤ tn ↕➧ (δ 2u) n+1 j + (δ 2u) n−1 j 2(∆x) 2 = ∂ 2u ∂x2 n j + ∆t 2 4 ∂ 4u(xj ,t˜) ∂x2∂t2 + ∂ 4u(xj ,t ˜˜) ∂x2∂t2 + (∆x) 2 24 ∂ 4u(˜x, tn+1) ∂x4 + ∂ 4u(x, t ˜˜ n−1) ∂x4 4
故 2(△z 即以上差分格式的截断误差为O(△))+O(△x)2) 4.列出弦振动方程初边值问题 器-票+e利 =0:=e=)0 x=0:u=() x=T:=2() 的显式差分格式（其中∫（红，）是已知函数)· 解所给混合问题的显式差分格式为 U+1=A2U9+1+2(1-A2)U+A2U-1-U-1+f分△2 (0=1,2,.,J-1,n=1,2,.) U9=0Ax),=pG△)+(G△x)△t=1,2,.,J-1) U=(n△t),Ug=2(n△)(n=0,1,2,.)
✙ u n+1 j − 2u n j + u n−1 j (∆t) 2 − a 2 (δ 2u) n+1 j + (δ 2u) n−1 j 2(∆x) 2 = O (∆t) 2 + O (∆x) 2 ❂➧þ☛➞❶➟✛✤äØ☛➃ O (∆t) 2 + O (∆x) 2 . 4. ✎Ñ✉✟➘➄➜Ð❃❾➥❑ ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 + f(x, t) t = 0 : u = ϕ(x), ∂u ∂t = ψ(x) (0 ≤ x ≤ π) x = 0 : u = µ1(t) x = π : u = µ2(t) ✛✇➟☛➞❶➟↔Ù➙ f(x, t) ➫➤⑧➻ê↕. ✮ ↕❽➲Ü➥❑✛✇➟☛➞❶➟➃ U n+1 j = λ 2U n j+1 + 2(1 − λ 2 )U n j + λ 2U n j−1 − U n−1 j + f n j ∆t 2 (j = 1, 2, · · · , J − 1, n = 1, 2, · · ·) U 0 j = ϕ(j∆x), U1 j = ϕ(j∆x) + ψ(j∆x)∆t (j = 1, 2, · · · , J − 1) U n 0 = µ1(n∆t), U n J = µ2(n∆t) (n = 0, 1, 2, · · ·) Ù➙ f n j = f(xj , tn) = f(j∆x, n∆t), λ = a∆t ∆x . 5