第十一章无穷级数 第二节常数项级数的审数法 第二节常数项须数的中敛法 一、正项的婶法 正项锁数24，是指：4,20”=123.6 1.正项级数的收敛准则 2.比较审微法 定理：字，与宫是卫数， (1)若山，≤，〔n=123A,且公以收效，则立4，也收敛： )事，2%《n=123A,空%发数，则空，也数 推论设之山，与之%都是正项领， （3》若山≤《k>0:加>N,且空%收鼠，则空，也收敏： (4)若山之，（灰>0，n>N),且公y发数，则24，也发散 1 1 。p请分之m站，a (2)当p>1时
1 第十一章 无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法
8=1++写虹+月 =1+分+岁x++ =+24+2dr++a1+号 这表明数列(8，)有界，由正项级数的收敛准则知，原然数收敛 ▲三个重雯级数及其效敬性 学w交o时当gk1时，当gP1时。 0)P-2记当p>1检，当p≤1时数. 例2判别下列数的敛散性： w2:a2咖10sa a宫e:w含d ()2R+1-: ”回，-气广付，2周，数题 (aa%五含，省
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*可>n· 1 1 （3)因为弘，= +行 是去掉首项的调和级数，是发散的 故原级数发散 1 （4)因为4=下 +‘宫p-. 是收敛的，拉原级数收效 2 )=1-5子 县云是p-的p-酸，是孩，粒原效。 例3证明：若正项领数之4，收敏，正明短数之也收效. 正E2,则把0，a,≥0(=2力 故当n充分大时，8，<1， 从而4<a,·由比较审效法得，领数兄也收效。 3.比校审效法的限形式 理空，空文 专0<，02,0字，： （2)若1=0，则当级数之收时，级数公，也收微： 3
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（3)君1w则赠宫发时，啦宫，电数 例4判别下列数的敛散性： 2-ma+:宫 2-n 1-c0:1 2in 1 解()因为1细1 =m .2 县唑之收隐，甜操数。 2)固为1 -1>0,且是发的，拉原级数发数 一注 1 2 2 21n2-1 字aa。 3.比值审敛法〔达明贝尔审敛法) 理4容为E,且典=，则 （1)当P1或p=+o时，级数发散： (3)当P=1时，级数可能收敛也可能发散
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例5判别下列级数的敛散性： 1) 台3 州 a安2块=9-. a女-ag -=8>1, 故原级数发散， 3)因为，=im 款收敏.由比故法得，原级收敏。 3.根值判法〔柯西判别法) 定载5设之4，为正项数，且职=p,则 (1)当01或0=十00时，级数发散： （3)当P=1时，级数可能收敛也可能发散 例6判别下列级数的敛散性： 宫0安：治 事织-烘+-1，装。 (2)因为细询-织是-0c1,数原收放 二、交错城数及其市缴法
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1.交错数的用 形如之-a=4-4+4-4+忆+”4，+忆0 索含-旷a=+a-4ta忆+(-a忆0 〔其中4>0n=1,2A)的须数称为交错领数， 注交错级数就是正负相间的级数】 ()与(y仅相差一个符号，只需讨论()即可 2.莱布尼兹审敛法 定理6（装布尼效定理）如果交错级数∑（一1）4，满足条件 (1)a.2aH(m=1,2,3.)i (2)lima,=0, 则您数收敛，且其和s≤山1，余项的绝对值上山1： 注'满足莱布尼兹定理条件的交错级数称为莱布尼效型级数 ”莱布尼兹定理可简述为”莱布尼兹型级数必收效”， >0)的敏数性. 解因为a,=对之六=4且架4，=架}=0， 1 1 故由菜布尼兹审敛法知数收敛。 三、任意项级数审敛法 1.绝对收敛与条件收敛 1)绝收微与条件收的定义 定义对于任意项级数立“：， 6
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(1)若正项级数之4，收敛，则陈级数之4，笔对收效 (2)若正项级数立引山，发数，而任意项级数立4，收敛。 1 空，鞋 m:宫-0产ea:之c0件 2)绝对收缴与收的关系 定理1空，能收甲空，咖0空， 证令%=2，+4)，则%20，且%≤k,: 由于宁，收绿，故由正项级的比故市敏法，得级数宁“，收效。 生-，空，发，不定疗，。 2.绝对比值（根值）市效法 理空，老，县白。（地=p用 〔1)当p1或P=+c0时，级数发散： 〔3)当=1时，级数可能收敛也可能发散 例8判断下列级数的敛敢性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛： 2-a0+2a)含-0+： 1
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空 边w0 且店发，龄空，发数 4h0+>ha+k小-ana+-o, 拉原级数收敛，从而原须数条件收敛， o停斗·2a,a o告a>2空 a因-)-1数<a+0.m 1 ≥把-k小而ge-典-职=0， 故原级发收敛。从而原级羚条件收敛 （6)但k上把号一0腰么0，数， 注im,≠0台lim4,≠0
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