第四章导数的应用问题 4.1中值定理 4.2洛必达法则 4.3函数的单调性与极值
第四章 导数的应用问题 4.1 中值定理 4.2 洛必达法则 4.3 函数的单调性与极值
4.3函数的单调性与极值 函数的单调性 定理：设函数y=f(x)在(a,b)内可导，在(a,b)内 (I)若f'(x)≥0，则y=f(x)在(a,b)上单调增加； (2)若f'(x)≤0，则y=f(x)在(a,b)上单调减少. 而使f'(x)=0只在个别点处成立. y y B f(x) y=f(x) B b 6 f'(x)≥0 f'(x)≤0
4.3 函数的单调性与极值 ( ) ( , ) ( , ) 1 ( ) 0 ( ) ( , ) (2) ( ) 0 ( ) ( , ) . ( ) 0 . y f x a b a b f x y f x a b f x y f x a b f x = = = 设函数 在 内可导，在 内 （ ）若 ，则 在 上单调增加； 若 ，则 定理： 在 上单调减少 而使 ＝ 只在个别点处成立 一. 函数的单调性
4.3函数的单调性与极值 说明： 1.上述定理的证明，可以由中值定理得到， f(x2)-f(x)=f'(5)x2-x1) (x11时，'(x)>0. ∴.f(x)的单减区间是(-o,1),f(x)的单增区间是(L,+o)
4.3 函数的单调性与极值 2 1 2 1 1 2 1. f x f x f x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( ) − = − 上述定理的证明，可以由中值定理得到. ( ) (- , ), '( ) 2( -1) 0 1. 1 '( ) 0; 1 '( ) 0. + = = = 解 的定义域是 得驻点 当 时， 当 时， f x f x x x x f x x f x 2 讨论函数f x x ( ) ( 1) - 4 . = − 的单调性 说明： 2. 一般的，我们用驻点 ( )将区间分成几个子区 间，在这些子区间上判定函数的单调性。 f x'( ) 0 = 例题1 + f x f x ( ) (- ,1), ( ) (1, ). 的单减区间是 的单增区间是
4.3函数的单调性与极值 函数的极值 费马定理 设f(x)在x处具有导数，且在x处取得极值， (必要条件) 则必有f'(x)=0. 可导函数f(x)的极值点必定 是它的驻点。一般函数的极值 y=fx) 点不一定都是驻点，还可能是 不可导点. 对可导函数而言： 求极值只能从驻点中去找： a X1 X2 X3 X4 X5 b x 如何判断驻点是否是值点？
4.3 函数的单调性与极值 二. 函数的极值 费马定理 (必要条件) x1 x2 x3 x4 x5 ( ) . 可导函数 的极值点必定 是它的驻点。一般函数的极值 点不一定都是驻点，还可能是 不可导点 f x 对可导函数而言： 求极值只能从驻点中去找. 0 0 0 ( ) '( ) 0. f x x x f x = 设 在 处具有导数，且在 处取得极值， 则必有
4.3函数的单调性与极值 1.判别法则I f(x)在x的邻域可导且f'(xo)=0 (1) 如果在x的左侧有f'(x)0,则f(x) 在x处取得极小值 (2)如果在x的左侧有f'(x)>0,在x,的右侧有f'(x)0 Kx0)>0 (x0)K0 f()0 f'(xo)=0 0 x0 xo
4.3 函数的单调性与极值 f (x)在x0 的邻域可导且f '(x0 ) = 0 1. 判别法则I 0 0 0 '( ) 0 '( ) 0 ( ) . x f x x f x f x x (1) 如果在 的左侧有 ，在 的右侧有 ，则 在 处取得极小值 0 0 0 '( ) 0 '( ) 0 ( ) . x f x x f x f x x (2) 如果在 的左侧有 ，在 的右侧有 ，则 在 处取得极大值 0 0 (3) 如果在x f x f x x 的左右两侧有 '( ) ( ) . 符号相同，则 在 处没有极值
4.3函数的单调性与极值 2. 求极值的步骤： ①求导数f'(x): (2)求出所有驻点f'(x)=0的根)和不可导的点 (3)检查f'(x)在驻点及不可导点左的正负号，判断极值点 (4)求极值. 极值点可能出现位置 0 Xo (驻点不是极值点情形)
4.3 函数的单调性与极值 x y o 0 x − − x y o 0 x + + (驻点不是极值点情形) 2. 求极值的步骤: (1) 求导数 f (x); (2)求出所有驻点（f (x) = 0的根）和不可导的点; (3) 检查 f (x) 在驻点及不可导点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值. 极值点可能出现位置
4.3函数的单调性与极值 例题2 求出函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值. 解 f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)x-3) 令f'(x)=0,得驻点x1=-1,K2=3. 列表讨论 -00,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+0) f'(x) + 0 一 0 + f(x) 个 大 ↓ 小 个 极大值f(-1)=10, 极小值f3)=-22
4.3 函数的单调性与极值 例题2 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x 3 − x 2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (−,−1) − 1 (−1,3) 3 (3,+) f (x) f (x) + − + 0 0 大 小 极大值 f (−1) 极小值 f (3) = −22. = 10, = 3(x + 1)( x − 3)
4.3函数的单调性与极值 f(x)=x3-3x2-9x+5图形如下 M 10 c3 -5 -10 -15 -20 m
4.3 函数的单调性与极值 ( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + M m 图形如下
4.3函数的单调性与极值 3.判别法则II 函数f(x)满足x,是驻点且在x,存在二阶导数，那么 (1)若f"(x)0,则f(x)是极小值； (3)若f"(x)=0,则不能判断f(x)的极值，改用判别法则1. 例题3 求函数心=x+3的极值点 解 由f'(x)=3x2-3 =0得驻点x1=-1x2=1. 由f"(x)=6(x+3)可得，f"(-1)0. 即x=-1为极大值点，x=1为极小值点
4.3 函数的单调性与极值 3. 判别法则II 0 0 0 0 0 (1) ''( ) 0, ( ) (2) ''( ) 0, ( ) (3) ''( )=0, ( ) I. f x f x f x f x f x f x 若 则 是极大值； 若 则 是极小值； 若 则不能判断 的极值，改用判别法则 0 0 函数f x x x ( )满足 是驻点且在 存在二阶导数，那么 3 3 f x x ( ) . x 求函数 = + 的极值点 2 2 1 2 3 f x x x x '( ) 3 0 1, 1. x 解 由 = − = = − = 得驻点 3 1 ''( ) 6( ) ''( 1) 0, ''(1) 0. 1 1 . f x x f f x x x 由 可得， 即 为极大值点， 为极小值点 = + − = − = 例题3
4.3函数的单调性与极值 三.函数的最大值和最小值 定义：若函数f(x)在其定义域[a,b]上的函数值满足： m≤f(x)≤M, 则m和M分别称为函数f(x)的最小值和最大值。 謗 1.闭区间上的连续函数必有最大值和最小值，最值只可能 在区间的端点及区间内的极值点处取得. 2.函数在闭区间[4，b]上的最大（小)值一定是函数的所有 极大（小）值和函数在区间端点的函数值中的最大（小）者
4.3 函数的单调性与极值 三. 函数的最大值和最小值 定义：若函数 f (x) 在其定义域 [a, b ] 上的函数值满足： m f (x) M , 则m和M分别称为函数 f (x) 的最小值和最大值。 1. 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值，最值只可能 在区间的端点及区间内的极值点处取得. 2. 函数在闭区间[a b]上的最大（小）值一定是函数的所有 极大（小）值和函数在区间端点的函数值中的最大（小）者. 说 明