新疆大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第1章 微积分的基础和研究对象 3.3 微分及其运算

第三章导数与微分 ■§3.1导数的概念 ■§3.2求导的公式与法则 ■§3.3微分及其运算

第三章 导数与微分 ◼ §3.1 导数的概念 ◼ §3.2 求导的公式与法则 ◼ §3.3 微分及其运算

3.3微分及其运算 一、微分概念 1.引例：正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x,+△x, :正方形面积A=x2, x△r ∴.△M=(x+△x)2-x A=x0 =2x0·△x+(△x)2. 0-2) ():△的线性函数，且为△4的主要部分； (2):△的高阶无穷小，当△x很小时可忽略

3.3 微分及其运算 1.引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0  x + x (1) (2)   x A 的线性函数, ; 且为 的主要部分   x x 的高阶无穷小, . 当 很小时可忽略 (1): (2): 一、微分概念

3.3微分及其运算 2、微分概念 定义设函数y=f(x)在点x处有增量△x,若相应的函数增 量Ay可表为△y=A△r+o(△x),其中A与△x无关，A△x 称 为△y的线性主部，o(△x)是关于△x的高阶无穷小量，则 称函数y=f(x)在点x处可微，并称A△x为函数y=f(x) 在点x处的微分，记作或df(x),即少=df(x)=A△x. 于是有 △y=d+o(△x) 微分叫做函数增量△的线性主部. (微分的实质)

2、 微分概念 于是有 y = dy +(x). 微分dy y 叫做函数增量 的线性主部. (微分的实质) 3.3 微分及其运算 定义 设函数 在点 处有增量 ，若相应的函数增 量 可表为 其中A 与 无关， 称 为 的线性主部， 是关于 的高阶无穷小量，则 称函数 在点 处可微，并称 为函数 在点 处的微分，记作 ，即 x x x dy = df (x) = Ax. y = f (x) x y y  =  +  y A x x ( ), x Ax (x) y = f (x) Ax y = f (x) dy或df (x) x

3.3微分及其运算 △x很小 △y=f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x)=+o(△x)≈A·△x 说明 (1)△y-=o(△x)是比△x高阶无穷小y (2)当A≠0时，与△y是等价无穷小 :y=1+oA)→1(x→0) y A·△x (3)A是与△x无关的常数，但与f(x)和x,有关； A=f'(xo) (4)当△x很小时，△y≈（线性主部. 令y=x→△x=ydk=1k=k.△x=k

(1) ( ) ;  − =   y dy o x x 是比 高阶无穷小 (2) 0 , ; 当A dy y   时 与 是等价无穷小 dy y  A x o x    = + ( ) 1 →  → 1 ( 0). x 0 (3) , ( ) ; A x f x x 是与 无关的常数 但与 和 有关 (4) , ( ). 当    x y dy 很小时 线性主部 y f x x f x A x o x dy o x A x x  = +  − =  +  = +     很 小 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 A f x = '( ) ' 令y x x y dx dx dx x dx =   = =  =  = 1 . 3.3 微分及其运算 说明

3.3微分及其运算 3.可微与可导的关系 △y=f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x) 由可微定义得 △y=A+0 4=lim △x △x Ay=f"(x) Ar→0△x 所以可微则可导： 反过来，可导则可微 对于函数，求导数与求微分是一回事.即可微与可导等价 Ay≈=y' 对于求函数的增量而言，只需求1次导数，省却了 繁琐的求函数之差的运算，故可简化计算

由可微定义得 lim ( ). 0 f x x y A x =    =  → 所以可微则可导； 反过来，可导则可微. 对于函数，求导数与求微分是一回事. 即可微与可导等价. 对于求函数的增量而言，只需求1次导数，省却了 繁琐的求函数之差的运算，故可简化计算。 y o x ( ) A x x   = +   3.3 微分及其运算 3. 可微与可导的关系  = +  − =  +  y f x x f x A x o x ( ) ( ) ( )   = y dy y dx

3.3微分及其运算 二.微分公式和法则 1.导数公式和微分公式 (1)(C)=0; d(C)=0; 见课 (2)(x“y=xa-; d(x")=ax-dx; (3) (og。x)=1 d(log。x) 、 dx xIn a xIna 第 (Inx)'=1 d(In x)= dx 2.导数法则和微分法则

二. 微分公式和法则 1. 导数公式和微分公式 ⑴ ⑵ ⑶ 2. 导数法则和微分法则 (C) = 0; d(C) = 0; ( ) ; −1  =   x x ( ) ; 1 d x x dx − =    ; 1 (ln ) ; ln 1 (log ) x x x a x a  =  = (ln ) ; ; ln (log ) x dx d x x a dx d x a = = 详 见 课 本 第 71 页 3.3 微分及其运算

3.3微分及其运算 三.微分在近似计算中的应用 1.计算函数增量的近似值 若=f(x)在点x,处的导数f'(x)≠0，且△x很小时， A=f(xo)-Ax 例题1 半径10厘米的金属圆片加热后，半径伸长了 0.05厘米，问面积增大了多少？ 解 设A=元r2,r=10厘米，△r=0.05厘米. .△4≈d=2πr·△r=2π×10×0.05=π（厘米2）

1. 计算函数增量的近似值 0 0 若y f x x f x x =   ( ) ( ) 0, , 在点 处的导数  且 很小时 例题1 10 , 0.05 , ? 半径 厘米的金属圆片加热后 半径伸长了 厘米 问面积增大了多少 解 , 2 设A = r r = 10厘米, r = 0.05厘米.  A  d = 2r  r = 2 100.05 ( ). 厘米2 =  0 =  f x x ( ) 0 0 x x x x y dy   = = 三. 微分在近似计算中的应用 3.3 微分及其运算

3.3微分及其运算 2.计算函数的近似值 Ay=f(K,+△x)-f(x,) 求f(x)在点x=x,附近的近似值. ≈f'(x)△x. f(x,+△x)≈f(x)+f'(x)△x (△x很小时) 例题2 求1.02的近似值. 解：设y=fx)=, 0=1,△x=0.02 1.02≈f1)+f'(1)×0.02 -1+ 0.02 ()'=x2 ≈1.0067 3 3

2. 计算函数的近似值 0 求f x x x ( )在点 = 附近的近似值. 0 0  = +  − y f x x f x ( ) ( ) 0   f x x ( ) . 0 0 0 f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) +   +   (x很小时) 3.3 微分及其运算 3 求 1.02 . 的近似值 3 0 解：设y f x x x x = = =  = ( ) , 1, 0.02 3 1.02 (1) '(1) 0.02 0.02 1 1.0067 3  +  f f = +  3 1 2/ 3 ( )' 3 x x− = 例题2

思考与练习 1.微分和导数的概念有什么关系？ 2.如何理解函数可微，可导与连续的关系？ 3.应用微分可以解决什么问题？举例说明

思考与练习 1.微分和导数的概念有什么关系？ 2.如何理解函数可微，可导与连续的关系？ 3.应用微分可以解决什么问题？举例说明