第四章导数的应用问题一洛比达法则、函数的性质与图像 教学要求（①）了解三个中值定理的条件和结论，能做出几何解释(1课时)： ②)掌握应用洛必达法则求型，。型不定式极限的方法(2课时： (3)掌握判断函数单调性的法则，理解并会利用导数判断函数的单 调性，理解并会利用导数计算函数的极值(2课时) 教学重点应用洛必达法则求极限：利用导数判断函数的单调性及求极值 教学难点中值定理：0°，1，∞°型未定式极限的计算：判断函数的单调性 第一节连接局部与整体的纽带 一中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关 系，因而称为中值定理。中值定 里既是用微分学解决实际问题的理论基础，又是解 决微分学自身发展的一种理论性数学模型，因而也称为微分基本定理 一、费马定理 1.函数极值： 设函数y=(x)在点x的某领域有定义，如果对于该领域内任何异于x的x值，都 有fx)≤fx)(或x)≥fx),则称函数y=fx)在点x处取得极大值（或极小值） :),而x。成为函数f(x)的极大点（或极小点）. y=f(x) 说明：函数极值是个局部性概念，极大值不一定大于极小值。 2.费马定理（可导函数取得极值的必要条件）：若点x。是函数f(x)的极值点， 且fx)在处可导，则有f(x)=0 证明从略.导数为零的点成为驻点或稳定点。 说明：(1)驻点（稳定点）与极值点的关系：可导函数的极值点一定是驻点.反过 来，驻点未必是极值点。例如，fx)=x在x=0处. (2)函数的不可导点也可能是极值点。例如，yx在点x0处 二、拉格朗日中值定理 定理1（拉格朗日）：如果函数fx)满足(1)在闭区间[a,b1上连续：(2)在开
1 第四章 导数的应用问题-洛比达法则、函数的性质与图像 教学要求 (1)了解三个中值定理的条件和结论，能做出几何解释(1 课时)； (2)掌握应用洛必达法则求 0 0 型，0 0 型不定式极限的方法（2 课时）； (3)掌握判断函数单调性的法则，理解并会利用导数判断函数的单 调性，理解并会利用导数计算函数的极值（2 课时）. 教学重点 应用洛必达法则求极限；利用导数判断函数的单调性及求极值 教学难点 中值定理； 0 0 0 1 ∞ ，∞ ， 型未定式极限的计算；判断函数的单调性 第一节 连接局部与整体的纽带——中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关 系，因而称为中值定理。中值定理既是用微分学解决实际问题的理论基础，又是解 决微分学自身发展的一种理论性数学模型，因而也称为微分基本定理。 一、费马定理 1. 函数极值: 设函数 y f = ( ) x 在点 0 x 的某领域有定义，如果对于该领域内任何异于 0 x 的 x 值，都 有 0 0 f ( ) ( ) ( ( ) ( )) x ≤ ≥ f x 或f x f x ，则称函数 y f = ( ) x 在点 0 x 处取得极大值（或极小值） 0 f ( ) x ，而 0 x 成为函数 f ( ) x 的极大点（或极小点）. 说明：函数极值是个局部性概念，极大值不一定大于极小值。 2.费马定理（可导函数取得极值的必要条件）：若点 0 x 是函数 f ( ) x 的极值点， 且 f ( ) x 在 0 x 处可导，则有 0 f x'( ) 0 = . 证明从略. 导数为零的点成为驻点或稳定点. 说明：（1）驻点（稳定点）与极值点的关系：可导函数的极值点一定是驻点. 反过 来，驻点未必是极值点。例如， 3 f ( )= x x 在 x=0处. (2) 函数的不可导点也可能是极值点。例如， y =| | x 在点x=0处。 二、拉格朗日中值定理 定理1（拉格朗日）：如果函数 f ( ) x 满足（1）在闭区间[,] a b 上连续；（2）在开
区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点5，使得 f3=fb-f@Eea.6》 此公式成为拉格朗日公式 说明：()拉格朗日公式右端表示函数在区间[a,b上整体变化的平均变化率，左端 表示内点x,处的局部变化率，因此拉格朗日定理是连结局部与整体的纽带。 ?)物理意义是整休上的平均速府等于某一内占计刻的瞬时速 (3)函数fx)在区间(a,b)内导数恒为零，则fx)在区间(a,b)内是常数 定理2（罗尔）如果函数f(x)满足(I)在闭区间[a,b]上连续：(2)在开区间(a,b) 上可导，3)f(@)=b,那么在开区间(a,b)内至少存在一点5，使得"(5)=0. 说明：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例（见下图）
2 区 间 (,) a b 上可导，那么在开区间 (,) a b 内至少存在一点 ξ ，使得 ( )- ( ) '( ) ( ( , )) - fb fa f a b b a ξ ξ = ∈ . 此公式成为拉格朗日公式. 说明：(1)拉格朗日公式右端表示函数在区间[,] a b 上整体变化的平均变化率，左端 表示内点 0 x 处的局部变化率，因此拉格朗日定理是连结局部与整体的纽带. (2)物理意义是整体上的平均速度等于某一内点时刻的瞬时速度. (3)函数 f ( ) x 在区间(,) a b 内导数恒为零，则 f ( ) x 在区间(,) a b 内是常数. 定理2（罗尔） 如果函数 f ( ) x 满足 (1) 在闭区间[,] a b 上连续； (2) 在开区间(,) a b 上可导，(3) f ( )= ( ) a f b ,那么在开区间(,) a b 内至少存在一点ξ ，使得 f '( ) 0. ξ = 说明：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例(见下图)
第二节计算不定式极限的一般方法—洛必达法则 在第二章介绍极限时，对。型，。型不定式的极限都是具体问恩具体分析。本 节将用导数做工具，给出计算不定式极限的一般方法，即洛必达(L'hospital,法， 1661-1704法则 一、两个基本类型不定式 18型不定式 定理1.如果函数fx)和g(x)满足（①）1imf(x)=01img(x)=0(同一极限变化过程) ②)了和g存在，且g)≠0，③)田的极限存在（或为无穷大），则 g'(x) mf-limf因 8x) 8 说明：如果得还是，且了似也符合定理中的条件，则可维续使用洛 必达法则，即m因=1m=1im因 8( "g'(x) 2”型不定式 定理2.如果函数f(x)和g(x)满足()imf(x)=o limg(x)=w(同一极限变化过程) ②)f)和g存在，且g)≠G,(6)的极限存在（或为无穷大，则 g(x) m得m得 说明：如果代田还是”型，且了x和g也符合定理中的条件，则可继续使用洛 g(x) 多达法斯、即m得-m得m得 例1.用洛必达法则计算下列极限 ②)mx2 x-X )=g④2工 解：0数四 2- 回8数，四
3 第二节 计算不定式极限的一般方法——洛必达法则 在第二章介绍极限时，对 0 0 型， 0 0 型不定式的极限都是具体问题具体分析。本 节将用导数做工具，给出计算不定式极限的一般方法，即洛必达(L’hospital,法, 1661-1704)法则. 一、两个基本类型不定式 1. 0 0 型不定式 定理1. 如果函数 f ( ) x 和 g( ) x 满足 (1) lim ( )=0 f x lim ( )=0 g x (同一极限变化过程) (2) f x gx gx '( ) '( ) '( ) 0; 和 存在，且 ≠ (3) '( ) '( ) f x g x 的极限存在（或为无穷大），则 ( ) '( ) lim lim ( ) '( ) f x fx g x gx = . 说明：如果 '( ) '( ) f x g x 还是 0 0 型，且 f '( ) '( ) x gx 和 也符合定理中的条件，则可继续使用洛 必达法则，即 ( ) '( ) ''( ) lim lim = lim ( ) '( ) ''( ) f x fx f x g x gx g x = . . 2. ∞ ∞ 型不定式 定理2. 如果函数 f ( ) x 和 g( ) x 满足 (1) lim ( )= f x ∞ lim ( )= g x ∞ (同一极限变化过程) (2) f x gx gx '( ) '( ) '( ) 0; 和 存在，且 ≠ (3) '( ) '( ) f x g x 的极限存在（或为无穷大），则 ( ) '( ) lim lim ( ) '( ) f x fx g x gx = . 说明：如果 '( ) '( ) f x g x 还是 ∞ ∞ 型，且 f '( ) '( ) x 和g x 也符合定理中的条件，则可继续使用洛 必达法则，即 ( ) '( ) ''( ) lim lim = lim ( ) '( ) ''( ) f x f x f x g x g x g x = . 例1. 用洛必达法则计算下列极限. (1) 0 sin limx x → x (2) 3 3 1 -3 +2 lim - x x x → x x (3) + ln lim n x x → ∞ x (4) + -arctan 2 limx 1 x x π → ∞ . 解：(1) 0 0 型， 0 0 sin cos lim = lim =1. x x 1 x x → → x (2) 0 0 型, 3 2 3 2 1 1 -3 +2 3 -3 0 lim = lim = =0. x x - 3 -1 2 xx x → → xx x
8我-20 1 x- 二、其他类型的不定式 0以型，0四型，广型等，关键是将这些类型未定式化为洛必达法则可解决的日 型和型 2.求下列樱限0m⊙())+ 11 sin 解：①0x四型，改写为型。原式=m店 cos 回0型，通分化型.原式恤-把 11 (6)P型，m+y=me时-e时，而mxh1+早为0x∞型，所以 只字操子字1是 x
4 (3) ∞ ∞ 型, -1 ++ + ln 1/ 1 lim = lim = lim =0. nn n xx x x x →∞ →∞ →∞ x nx nx (4) 0 0 型, 2 2 2 + + ++ 2 -1 -arctan 1+ 2 2 lim = lim = lim = lim =1. 1 1 1+ 2 - x x xx x x x x x x x x π →∞ →∞ →∞ →∞ 二、其他类型的不定式 0× ∞ 型，∞ ∞- 型，1∞ 型等，关键是将这些类型未定式化为洛必达法则可解决的 0 0 型和 0 0 型. 例2．求下列极限. (1) 1 lim sin x x →∞ x (2) 1 1 1 lim( - ) x→ 1- ln x x (3) 1 lim(1 )x x→∞ x + 解：(1) 0× ∞ 型，改写为 0 0 型. 1 11 sin cos ( )' 1 = lim = lim = lim cos =1. 1/ (1/ ) ' xx x x xx →∞ →∞ →∞ xx x i 原式 (2) ∞ ∞- 型，通分化 0 0 型. 11 1 1 +1 ln -1+ 1 = lim = lim = lim = . (1- )ln 1- ln - 1 -ln + -1 xx x xx x x x x x xx x x →→ → + 原式 ∞ (3) 1∞ 型, 1 1 1 ln(1 ) lim ln(1 ) lim(1 ) = lim = x x x x x x x x e e x →∞ + + →∞ →∞ + , 而 1 lim ln(1 ) x x →∞ x + 为 0× ∞ 型，所以 2 2 1 1 (- ) 1 1 ln(1 ) 1 1 1 lim ln(1 ) lim lim 1. lim ln(1 ) = . 1 1 - x x xx x x x x x e x x x x →∞ →∞ →∞ →∞ ⋅ + + + = = =∴ +
第三节用导数研究函数的性质——单调性、极值和最值 一、函数的单调性 定理：设函数fx)在区间(a,b)内可导，则该函数在区间(a,b)内单调增加（单调减 少)的充要条件是：fx)≥0fx)s0),x∈(a,b),而fx)0只在个别点成立. 说明：1.证明由中值定理f(x2)-f(x)=∫"(5(x2-x)(x0(或f(x0,当x>时，f(x)<0.所 以，函数的单调减少区间是（←，），单调增加区间是1，+). 二、函数的极值 定理（必要条件）设x)在点处具有导数，且在x,处取得极值，那末必定 f(x)=0. 注：可导函数(x)的极值点必定是它的驻点，但驻点却不一定是极值点
5 第三节 用导数研究函数的性质——单调性、极值和最值 一、函数的单调性 定理：设函数 f ( ) x 在区间(,) a b 内可导，则该函数在区间(,) a b 内单调增加（单调减 少）的充要条件是： fx fx '( ) 0( '( ) 0) ≥ ≤ ， x∈(,) a b ，而 f x'( )=0只在个别点成立. 说明：1. 证明由中值定理 2 1 21 1 2 f ( ) ( ) ( )( ) ( ) x fx f x x x x − = − 0( '( )> < 所 以，函数的单调减少区间是(- ,1) ∞ ，单调增加区间是(1 + ) ， . ∞ 二、函数的极值 定理（必要条件）设 f ( ) x 在点 0 x 处具有导数,且在 0 x 处取得极值,那末必定 0 f x'( ) 0 = . 注：可导函数 的极值点必定是它的驻点 但驻点却不一定是极值点 f x() ,
怎样判断函数在驻点或不可导点是否取得极值？如果取得极值，究竞是极大 值还是极小值？由几何直观引出判别法则。 判别法则1（函数取极值的第一充分条件》 设f(x)在点x的领域U(x,6)内可导，且f"(x)）=0,那么 (1)若在(x。-6,)有∫(x)>0,在(x,x+6)有fx)0,则f)为极大值 (2)若在(x。-6,x)有f(x)0,则f(x)为极小值： (3)若在x,左右两侧f(x)同号，则fx)不是极值 判别法则II(函数取极值的第二充分条件) 设fx)在点x,处存在二阶导数，且∫(x)0,那么 (1)(x)0,则f(x)为极小值， (3)若∫(x=0,则判别法失效，改用判别法则1 小结：1求极值的步骤： 山求导数fx(2)求出所有驻点(f(x)=0的根)和不可导的点 (3)检查∫"(x)在驻点及不可导点左右的正负号，判断极值点，(4)求极值 2.函数的不可导点，也可能是函数的极值点. 例2求函数fx)=(x-)(x+)的极值点和极值. 解：由f(x)=4x(x-1=0得驻点x=0,x=l.列表讨论，由判别法则1确定极值 点和极值 (-60.0) 0 (0,) (1.+0) f(x) 0 f(x) 极小-1/3 例3求函数fx)=x2+三的极值点和极值 解：由∫)=3x2.3=0得驻点x=1=1.由fx)=6(x+)得 f(1)=120,根据判别法则IⅡ可知x=1为极大点， 极大值为I)=-4;x=为极小点，极小值为f1)4 三、函数的最大值和最小值 1.定义若函数f(x)在其定义域[a,b]上的函数值满足：m≤f(x)≤M,则m和M 分别称为函数fx)的最小值和最大值。 2.极值和最值的关系：
6 怎样判断函数在驻点或不可导点是否取得极值？如果取得极值，究竟是极大 值还是极小值？由几何直观引出判别法则。 判别法则I（函数取极值的第一充分条件） 设 f ( ) x 在点 0 x 的领域 0 U x( ,) δ 内可导，且 0 f x'( )=0，那么 （1） 若在 0 0 ( - , ) x δ x 有 f x'( )>0，在 0 0 ( , + ) x x δ 有 f x'( )0，则 0 f ( ) x 为极小值； （3） 若在 0 x 左右两侧 f '( ) x 同号，则 0 f ( ) x 不是极值. 判别法则 II（函数取极值的第二充分条件） 设 f ( ) x 在点 0 x 处存在二阶导数，且 0 f x'( )=0，那么 （1） 0 f x ''( ) 0 0，则 0 f ( ) x 为极小值. （3）若 0 f x ''( )=0，则判别法失效，改用判别法则I. 小结：1 求极值的步骤： (1) ( ); 求导数 f ′ x (2) ( ) 0 ; 求出所有驻点（ 的根）和不可导的点 f x ′ = (3) ( ) , ; 检查 在驻点及不可导点左右的正负号 判断极值点 f x ′ (4) . 求极值 2. 函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例 2 求函数 3 1 ( ) ( -1) ( ) 3 fx x x = + 的极值点和极值. 解：由 2 1 2 f x xx x x '( ) 4 ( -1) 0 =0, =1. = = 得驻点 列表讨论，由判别法则 I 确定极值 点和极值. x (- , 0) ∞ 0 (0, 1) 1 (1, + ) ∞ f '( ) x — 0 + 0 + f ( ) x ↘↗ 极小-1/3 ↗ ↗ 例 3 求函数 3 3 fx x ( )= + x 的极值点和极值. 解：由 2 2 1 2 3 fx x x x '( ) 3 - 0 =-1, =1. x = = 得驻点 由 3 1 fx x ''( ) 6( ) x = + 得 f f ''(-1) -120, = = 根 据 判 别 法 则 II 可 知 x=-1为极大点， 极大值为f (-1)=-4 ; x=1为极小点， 极小值为f (1)=4. 三、函数的最大值和最小值 1.定义 若函数 f ( ) x 在其定义域[,] a b 上的函数值满足：m fx M ≤ () , ≤ 则 m 和 M 分别称为函数 f ( ) x 的最小值和最大值。 2.极值和最值的关系：
闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极 值点处取得，而极值点有可能在驻点和不可导点取得.函数在闭区间[a上的 最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者：其最 小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者 3.最大值和最小值的求法： ()求出函数fx)在(ab)内的驻点和不可导点，设这此点为x,x (2)计算函数值f(a,f(x,.fx,f(b); (3)判断：最大者是函数f(x)在a,b1上的最大值，最小者是函数f(x)在[a,b1上的 最小值。 说明：(1)实际问题求最值应注意首先建立目标函数， (②)若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最（或最小）值， 例3求函数y=2x2+3x2-12x+14的[-3,4上的最大值与最小值 解：由f"(x)=6x+2x-1)-0,得x=-2,为2=1.f(-3)=23，f(-2)=34, f)=7,f(4)=142.比较得最大值f(4)=142,最小值f)=7. 例4.要用铁皮做一个容积为V的带盖圆柱形牛奶桶，问底圆半径为何值时用料 最省？ 解：设所做圆柱体的表面积为S,底圆半径为x,高为山，由 S=2r2*2a=arh-女.可得s=2ar+华0由 S=4r.2 时用料最省。 严为的极小值，也是最小值.即底面半径为r一2 说明：由广：士，可得会品2受1即底圆直径与高相等时用料最省
7 闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极 值点处取得，而极值点有可能在驻点和不可导点取得. 函数在闭区间[a, b]上的 最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者; 其最 小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者. 3.最大值和最小值的求法： (1)求出函数 f ( ) x 在(a, b)内的驻点和不可导点, 设这此点为 1 2 , , n x x x " ; (2)计算函数值 1 ( ), ( ), ( ), ( ) n f a fx fx fb " ; (3)判断: 最大者是函数 f ( ) x 在[a, b]上的最大值, 最小者是函数 f ( ) x 在[a, b]上的 最小值. 说明：(1)实际问题求最值应注意首先建立目标函数， (2) 若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最 或最小 值． ( ) 例 3 3 2 求函数 的在 上的最大值与最小值 yx x x =+−+ − 2 3 12 14 [ 3,4] . 解 ： 1 2 由 ，得 fx x x x x ′( ) 6( 2)( 1)=0 2, 1. = + − =− = f ( 3) 23 − = ， f ( 2) 34 − = ， f (1) 7 = ， f (4) 142 = . 比较得最大值 f (4) 142 = ， 最小值 f (1) 7 = . 例 4. 要用铁皮做一个容积为 V 的带盖圆柱形牛奶桶，问底圆半径为何值时用料 最省？ 解：设所做圆柱体的表面积为 S，底圆半径为 r,高为 h, 由 2 2 2 =2 +2 = , h V S r rh V r h r ππ π π 和 即 = , 可得 2 2 =2 + , >0. V Sr r r π 由 3 2 2 ' 4 - 0, . 2 V V Sr r r π π == = 解得唯一驻点 又由 3 4 '' 4 + >0, V S r = π 3 2 V r S π 故 为 的极小值，也是最小值 = . 即底面半径为 3 2 V r π = 时用料最省. 说明：由 3 2 V r π = ，可得 3 2 2r 2 2 = = =1 / r r h Vr V π π . 即底圆直径与高相等时用料最省