第四章不定积分 §4-1不定积分的橇念与性质 (Concept and propoties of indefinite integral) (应用上) 引言：微分学给出一个 知：距离，求速度 知：总量，求变化率 求f(x)和dx) 积分学给出一个求F风 知：速度，求距离 使F(x)=f(x) 知：变化率，求总量 引例：知火车进站时的速度为V0=1-,(公里/分)，问火车应在离站多远 的地方开始减速？(s=1.5公里) (一)原函数与不定积分的概念 1、原函数的定义：若F'(x)=fx),x∈I,则称F)是fx)（xeI) 的一个原函数 (举例) 且若fx)连续，则一定存在原函数Fx),且存在无穷多个原函数， 均表示为Fx+c 2、不定积分的定义： 若F'(x)尸x,则F(x)e称为fx)的不定积分，记为xdx, 即∫x=F+c, (简述有关记号，符号) (举例) 3、 不定积分的几何意义「xx=F(x)+c一表示一簇平行曲线
1 第四章 不 定 积 分 §4-1 不定积分的概念与性质 (Concept and propoties of indefinite integral) 引言： f ( ) df(x) f(x), 求 ' 和 给出一个 微分学 x 积分学 ( ) = ( ) f(x), F(x), ' 使F x f x 给出一个 求 引例：知火车进站时的速度为 t 3 1 V(t) = 1- (公里/分)，问火车应在离站多远 的地方开始减速？（s=1.5 公里） （一） 原函数与不定积分的概念 1、 原函数的定义：若 F ‘ (x)=f(x), x I ，则称 F(x)是 f(x)（ x I ） 的一个原函数. （举例） 且若 f(x)连续，则一定存在原函数 F(x)，且存在无穷多个原函数， 均表示为 F(x)+c 2、 不定积分的定义： 若 F ‘ (x)=f(x), 则 F（x）+c 称为 f(x) 的不定积分，记为 f(x)dx ， 即 f(x)dx = F(x) + c ，（简述有关记号，符号） （举例） 3、 不定积分的几何意义 f(x)dx = F(x) + c -表示一簇平行曲线。 （应用上） 知：距离，求速度 知：总量，求变化率 知：速度，求距离 知：变化率，求总量
(二)积分基本公式 1、0dx=c 2、k=kx+c n中"+n不为-)4、=hlx+c 1 3、∫xdk 5.fa'dsmave 6、「e*dx-e*+c 7、∫cosxdx=si+c 8、∫simd=-cosx+c 头j小2h-女=me10、joe达=女-om和 11 [secxtanxdx=secx+c 12 [cscxcotxdx=-cscx+c 1B、∫字本=m+c(或-aos+c） 14、jh=artn+a-r+ l5、「tanxdx=-Lncosx+c 6、「cotxdx=Ln小sin+c 17、∫shxdx=chr+c 18、「chrd=shr+c。 (三)、不定积分的性质 1、积分与微分的关系： (fx)dx)=f(x) [f(x)dx =f(x)+c d([fx)dx)=f(x)d ∫dx=x+c 2、积分的运算性质： [kfx)dx =k[f(xx J[E,(s±fdk=Jf(x)±Jf(x) 3、 积分的形式与积分变量选择无关 若[xdx=F(x+c 则「f(u)u=F(叫+c。(举例说明) 例子： 2、「Nx√x√Fdk 3.∫smx-eos2xh
2 （二） 积分基本公式 1、 0dx = c 2、 kdx = kx + c 3、 ( 1) 1 1 x dx n 1 + − + = + x c n不为 n n 4、 dx ln | x | c x 1 = + 5、 c a a x = + ln a dx x 6、 e c x = + e dx x 7、 cosxdx = sinx + c 8、 = − x + c sinxdx cos 9、 2 2 1 sec tan cos xdx dx x c x = = + 10、 2 2 1 csc cot sin xdx dx x x = = − +c 11、 sec tan sec x xdx x c = + 12、 csc cot csc x xdx x c = − + 13、 = + − dx x c x arcsin 1 1 2 （或 − + arccos x c ） 14、 2 1 arctan ( cot ) 1 dx x c arc x c x = + − + + 或 15、 tan cos xdx Ln x c = − + 16、 cot sin xdx Ln x c = + 17、 shxdx = chx + c 18、 chxdx = shx + c 。 （三）、不定积分的性质 1、积分与微分的关系： ( f(x)dx) = ( ) ' f x = f x + c f (x)dx ( ) ' d( f(x)dx ) = f (x)dx df(x) = f(x) + c 2、 积分的运算性质： k f x dx kf(x)dx = ( ) [f (x) f (x)]dx = f (x)dx f (x)dx 1 2 1 2 3、 积分的形式与积分变量选择无关 若 f(x)dx =F(x)+c 则 f u du F u c ( ) = + ( ) 。（举例说明） 例子： 1、 3 2 5 x x x dx − 2、 x x x dx 3． 2 2 1 sin cos dx x x
4. 5.∫sin24 作业：192-193页-2(15)、(22)、(26)；5。 §4-2不定积分的换元积分法 (Substitution methed of intefinite integral) (一)、第一换元积分法（凑微分法） 若F(仙=fu),u=o(x)可徽 则/几oxp(x(对比积分公式-f(u=F(u+c) aao→∫/[(Hp() 影→∫f(u) 分F(u)+c 问代 a→F[o(J+c (举例) 1)∫(2x+3)3.4xd 2》点女小mmm等 3)jx+2 )∫n本 3
3 4． 2 2 1 x dx x + 5． 2 sin 2 x dx 作业：192-193 页- 2（15）、（22）、（26）；5。 §4-2 不定积分的换元积分法 (Substitution methed of intefinite integral) （一） 、第一换元积分法（凑微分法） 若 ( ) ( ) ' F u = f u , u = (x) 可微 则 f x x dx [ ( )] ( ) ' （对比积分公式- f u du F u c ( ) = + ( ) ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' x dx d x x u u x f x d x f u du F u c F x c = = = ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ + ⎯⎯⎯→ + 凑微分 换元 积分 回代 （举例） 1） (2x 3) 4xdx 5 2 + 2） (指出） 1 1 2 2 2 dx x x dx x x + + 234 sin , sin , sin , xdx xdx xdx 等 3） + dx 3x 2 1 4） dx a x + 2 2 1
6)ja4 7)∫secxdx指出escxd 8)「sin xcosxdx(3种方法) 引例 9)∫x+1x+2 作业：208页-2(16)、(17)、(24)。 (二) 第二换元积分法（变量代换法） 「f(x)(对x难积分) 盖[o0a →∫g)d（对t易积分) 分》→G)+c gGo'(x刃+c 一般上，若x)含有因子： 1.√amr+b或Ve“+b,则设√一=求积分 2.Va2-x2,则设r=asin减x=acos1求积分 3.√2+x2,则设r=atan或r=acot1求积分 4.√2-a,则设x=asec或r=acsc球积分 (举例) 1 10）2x+
4 5） dx a x − 2 2 1 6） dx x a − 2 2 1 7） sec xdx 指出 csc xdx 8） x xdx sin cos （3 种方法） 引例 9） dx x x +1( + 2) 1 作业：208 页 -2（16）、（17）、（24）。 （二） 第二换元积分法（变量代换法） f x dx ( ) （对 x 难积分） ( ) ( ) ( ) ' x t f t t dt ⎯⎯⎯→ = 换元 ⎯⎯⎯→ g(t)dt (化简) （对 t 易积分） G x c G t c ⎯⎯⎯→ + ⎯⎯⎯→ + − [ ( )] ( ) 1 ( （回代） 积分） 一般上，若 f(x)含有因子： 1． ax + b或 e ax + b,则设 = t求积分 2． a 2 − x 2 ,则设x = asin t或x = a cost求 积分 3. 2 2 a x x a t x a t + = = , tan cot 则设 或 求积分 4. x 2 − a 2 ,则设x = asect或x = acsct求 积分 （举例） 10） dx x 2 + 3 1
11)「Na2-x2 12）∫四种方法》 1=x2+1 x=igl 14)∫血 作业：208页-2(30)、(38)、(41)。 §4-3不定积分的分部积分法 (Integration by parts of intefinite integral) 利用两个函数相乘的微分法则推导出的两个函数相乘或相除的积分法则， 称为分部积分法（或部分积分法） .d(uv)=vdu+udyd(uv)-vdu=udy 即u=d(w）-du,积分得uh=∫d()-∫vdu, 有下列-一一分部积分公式： [wh=w-「dhu
5 11） a x dx − 2 2 12） − (四种方法） 1 1 2 dx x x 13） = = + = + + x tgt t x t x dx x x 1 1 1 2 2 2 14） dx e x 1 1 − 作业：208 页 -2（30）、（38）、（41）。 §4-3 不定积分的分部积分法 (Integration by parts of intefinite integral) 利用两个函数相乘的微分法则推导出的两个函数相乘或相除的积分法则， 称为分部积分法（或部分积分法） ( ) ( ) ( ) , , ( ) d uv vdu udv d uv vdu udv udv d uv vdu udv d uv vdu udv uv vdu = + − = = − = − − − − − − − = − 即 积分得 有下列 分部积分公式:
给出方6(s)或因a (x) (如何)→∫u 引例「xcos.xdx =m-∫小du L.对数函数 1.反三角函数 小.幂函数 T,三角函数 E.指数函数 LIATE方法是： 若被积函数)是由以上5类函数中的任两类或两类以上的 函数的乘积（或相除），则选按LATE排列顺序先出现的那一类函数作 为u,剩下的函数与d山合拼为dy。 举例： 1.「exk 2.co 3.「x2nxdk 5.「xarctgxdx 6.「x2Ln(x3-2）d 7.∫sin xin(gx)d =-[cosx In(tgx)-In[csc x-ctgx)]+c 8.[Inxdx 9.[arcsin xdx 10.[e'sin xdx 1l.∫sin2Vdt 12. ==-2te产+e+(e】+c 13.∫(arcsinx)}dk(两种方法)
6 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 ( f x f x f x dx dx f x udv uv vdu ⎯⎯⎯→ = − LIATE 方法 给出 或 如何） 引例 x xdx cos L I A 对数函数 反三角函数 幂函数 T 三角函数 E 指数函数 LIATE 方法是： 若被积函数 f(x)是由以上 5 类函数中的任两类或两类以上的 函数的乘积（或相除），则选按 LIATE 排列顺序先出现的那一类函数作 为 u,剩下的函数与 dx 合拼为 dv。 举例： 1． − e xdx x 2． dx x x 2 cos 3． x ln xdx 2 4． dx x x 2 ln 5． xarctgxdx 6. ( ) 2 3 x Ln x dx − 2 7． x tgx x ctgx c x tgx dx = − − − + [cos ln( ) ln[csc )] sin ln( ) 8． ln xdx 9． arcsin xdx 10． e xdx x sin 11． 2 sin x t xdx ⎯⎯⎯→ = 设 12． e arctge e arctg e c dx e arctge x x x x x x == − + + + − [ ( )] 2 1 2 2 13． (arcsin ) ( ) x 2 dx 两种方法
14.几方) 作业：213页-5,9,11,20。 §4-4儿种特殊盖数的积分法 Integration of a few special function) (一)、有理函数的积分法 形如：6得称为有罩透数黄中小Q分别为：的m次的 多项式。当m0。 7
7 14． dx（几种方法） x x + 2 3 1 作业：213 页- 5，9，11，20。 §4-4 几种特殊函数的积分法 （Integration of a few special function） （一） 、有理函数的积分法 形如：R(x)= ( ) ( ) Q x f x n m ,称为有理函数，其中 f (x) m 、Q (x) n 分别为 x 的 m,n 次的 多项式。当 m<n 时，称 R(x)为真分式。m n 时，称为假分式。 有理函数积分 R(x)dx 是积分学中解决得最完善最彻底的一个部分。 其积分方法是： 若 R(x)是假分式时，则用综合除法（多项式除法）把假分式 R(x)化为多 项式与真分式之和的形式。然后，用待定系数法将真分式化为如下四个类 型的简单分式之和（代数 Th.已证——任一个真分式都化为如下四个类型 的简单分式之和），即： ( ) 2 2 1. ;2. ;3. ;4. . ( ) k m A A Ax B Ax B x a x px q x px q x a + + − + + + + − 其积分分别为： 1、 A dx ALn x a c x a = − + − 。 2、 ( ) ( ) 1 1 k k A A dx x a c x a k − = − + − − 。 3． 2 Ax B dx x px q + + + （另外分析）其中 2 4 0 q p −
J,m,血（类似3的方法加上利用分部积分法，女-0。） Ax+B 4。 例子： o+h x3+1 =-=x+名-2+2n-3+c (二)、三角函数有理式的积分法 ∫R(cosx,sinx)dk,R(cosx,sinx)是三角函数的四则运算式子。 解法：设1=tan一万能代换（但非最佳方法） 2tanx 21 1- 则：mxm中7，osx=1+7,=中F 2 可A如法可片品品女（：的有理孟数积分) Jsm0+cos-u+2+h 1+sin x 例子：1、 22 2+2g3+hlg+c 2、sn3x (三)、简单的无理函数积分法（关键一去根号） 举例：(P222习题) (P222-28)
8 4． ( ) 2 m Ax B dx x px q + + + （类似 3 的方法加上利用分部积分法， 2 4 0 q p − 。） 例子： 3 2 3 2 3 2 1 5 6 1 1 5 6 5 6 1 9 28 2 3 6 2 3 x x x dx dx x x x x x x x Ln x Ln x Ln x c + − + = + − + − + = − − − − −− = + − − + − + （二） 、三角函数有理式的积分法 R(cos x,sin x)dx, R(cos x,sin x) 是三角函数的四则运算式子。 解法：设 tan 2 x t = ——万能代换（但非最佳方法） 则： 2 2 2 tan 2 sin , 1 tan 1 x t x x t = = + + 2 2 1 cos , 1 t x t − = + 2 2 . 1 dx dt t = + dt t t t t t R x x dx R 2 2 2 2 1 2 ) 1 2 , 1 1 (cos ,sin ) ( + + + − = （t 的有理函数积分） 例子：1、 c x tg x tg x tg dt t dx t x x x = + + + = + + + + |] 2 ln | 2 2 2 2 [ 2 1 ) 1 ( 2 2 1 sin (1 cos ) 1 sin 2 2、 = − ⎯⎯⎯= →− − + dt = t t d x x x dx x x x t ) 1 1 cos (1 cos sin cos sin 2 4 cos 4 4 4 5 （三） 、简单的无理函数积分法（关键——去根号） 举例：（P222 习题） （P222-28）
f xco -小小一 -de)-eo esim'(x-secx)+c 例子 jn→jn-g 1 =j+gg tg'x 四>j小+3+3+产)h -og+3e 山 -+ n小no品4wn 1 1 ouo 作业：218页-1。 222页-32。 §4-5积分表的使用（略） 指出不可积的例子一∫e∫等
9 e x x c x x d e e d dx x x e x xdx e dx x x x x e x x x x x x = − + = − = − − ( sec ) cos 1 ( ) cos sin cos cos cos sin sin sin sin 2 sin sin 2 3 sin 例子 c x tgx x x dx x x x x dx x x dx x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x ctg x tgx t g x t g x c t t dt t t dtgx t g x t g x dtgx t g x x dtgx x x x x dx x x tgx t = + + − + = + + = + + + + = + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − + + + + ⎯⎯⎯→ + + + + = → = + = = 4 2 2 2 2 3 3 5 5 2 2 3 3 2 2 3 5 2 2 sin cos 1) 2 2 4 2 3 3 2 3 3 6 3 5 2 3 sin 1 2 1 3ln cos 1 cos 1 4 1 ( 1 sin cos cos sin sin cos 1 sin cos 1 2 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4 1 2 3 3ln 2 1 3 ) 1 3 1 ( (1 ) sec sin cos 1 sin cos 2 2 利用 ） 方法二（多次用 设 作业：218 页- 1。 222 页- 32。 §4-5 积分表的使用（略） 指出不可积的例子- sin 1 2 , , x x dx e dx dx x Lnx 等
第四丰不定积分碳堂蕉习题) 1小、∫x(亿r+t=. 2nd 3j不td-t同a*6 4、∫f(2x)= 5、若xLr是f(x)的一个原函数，则(x=. 天可 9、jam小k= 10、设f(e）=1+x,则(x)=
10 第四章 不定积分 （课堂练习题） 1、 ( 1) x x Lnx dx + = 2、 ( ) 2 1 1 x dx e − = + 3、 ( ) ( ) 1 dx a b x Lnx a Lnx b = + − + 4、 ( ) '' xf x dx 2 = 5、 xLnx f x xf x dx ( ) ( ) = 若 是 的一个原函数，则 6、 tan sin cos Ln x dx x x = 7、 ( ) 9 1 1 dx x x = + 8、 1 1 tan dx x = + 9、 ( ) 1 Ln Lnx dx Lnx + = 10、 ( ) ( ) ' 1 , x 设f e x f x = + = 则