曲 率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向,但 是朝同一方向弯曲的两条曲线,其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量,它 等于单位路程上方向(角度一切线的倾斜角) 的改变量
曲 率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向,但 是朝同一方向弯曲的两条曲线,其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量,它 等于单位路程上方向(角度——切线的倾斜角) 的改变量
一、弧微分 y 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数, R 基点:A(xo,y), M(x,y)为任意一点, Xo x+△x 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2)4M=s,当4的方向与曲线正向 一致时,S取正号,相反时,5取负号
一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定: (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM
单调增函数 s=s(x). 设N(x+△x,y+△y),如图, x+△x MW<<MT+WT当△x→0时, N=P+(4T=)1+(会a→1+ya, =△s→s, MT=V(dx)2+()2=1+y21d, NT=△y-d→0,故=V1+y.弧微分公式 :S=s(x)为单调增函数,故k=√1+yc
单调增函数 s = s(x). 设N(x + x, y + y), 如图, MN MN MT + NT 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o
二、曲率及其计算公式 1.曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 △S, △S M △S M 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 1
yt 设曲线C是光滑的, M,是基点MM1=△, 4.8 M→M'切线转角为△a. S M / a+△o 定义 弧段MM的平均曲率为区= △a △s △ 曲线C在点M处的曲率K=im △5-→0 △S 在im △a=da存在的条件下,K= da A0△sd5 ds
+ S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的, . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K =
注意:(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 2.曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导,:tana=y, y” 有a=ar心stany,da=1中y, 凼=T+.k= 3 (1+y2)2
2.曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d + = . (1 ) 2 3 2 y y k + = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx
设 x=p(t), 二阶可导, (y=v(t), =V四 'y=p'y"()-p"(w'@ dx o'(t)' d21 p'3(t) k='w-p")w) [p2(t)+w'2(t)
, ( ), ( ), 设 二阶可导 = = y t x t . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − =
例1抛物线y=x2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y'=2+b,y"=2, 2a .k= 3 [1+(2a+b)2]2 显然,当x=-时,k最大 20 又:( b_2-4c为抛物线的顶点, 2a 4a .抛物线在顶点处的曲率最大
例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b − − − 抛物线在顶点处的曲率最大
例2铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故,为了行驶平 稳,往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段, 使曲率连续地由零过渡到一(R为圆弧轨道的 R 半径通常用三次抛物线y=x,x∈O,七, 作为缓冲段OA,其中1为OA的长度,验证缓 冲段0A在始端0的曲率为零,并且当很小 R (只<)时,在终端A的曲率近似为R
). ( 1 , , 半径 使曲率连续地由零过渡到 为圆弧轨道的 稳,往往在直道和弯道之间接 入一段缓冲段 的曲率突然改变 容易发生事故,为了行 驶平 铁轨由直道转入圆弧 弯 道时,若接头处 R R 例2 . 1 ( 1) , [0, ] 6 1 0 3 R A R l R l OA O OA l OA x x x Rl y 时,在终端 的曲率近似为 冲段 在始端 的曲率为零 并且当 很小 作为缓冲段 ,其中 为 的长度,验证缓 通常用三次抛物线 , . =
证如图 x的负半轴表示直道: OA是缓冲段,AB是圆弧轨道 A(xo2yo) 在缓冲段上, 0 C(x0,0) y=2=应 在x=0处,y'=0,y”=0,故缓冲始点的曲率k=0. 实际要求1≈x
x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0) 0 C x 证 如图 x的负半轴表示直道, OA是缓冲段,AB是圆弧轨道. 在缓冲段上, , 2 1 2 x Rl y = . 1 x Rl y = 在x = 0处, y = 0, y = 0, 0. 故缓冲始点的曲率k0 = 实际要求 , x0 l l