第五节极限运算法则 一、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则
第五节 极限运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则
一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设1im心=0,1im阝=0， x->Xo x-→X0 e>0,381>0,当00,当0<x-xo<62时，有B<号 取δ=min{81,δ2}，则当0<x-xo<8时，有 |a+Bsa+B<号+号=e 因此 1im(a+)=0.这说明当x→x时，a+B为无穷小量 x→x0 类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小
一、 无穷小运算法则 = min 1 , 2 , 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(x,61),u≤M 又设lima=0,即Ve>0,362>0,当x∈U(xo,δ2) x-今x0 时，有a≤取6=min{δ，2}为 则当x∈U(x,6)时，就有uc=ua≤M·=s 故1imua=0,即uc是x→xo时的无穷小 x→X0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小
例1、 求 lim sinx x>0 sinx 解：：sinx31 1im1=0 X→0X sinx 利用定理2可知lim 0 x>00 说明：y=0是y=sn sinx 的渐近线
例1、 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . x x y sin =
二 极限的四侧则运算法则 定理3、若1imf(x)=A,1img(x)=B,则有 1、lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 2、1imLf(x)g(x】=limf(x)1img(x)=AB 3、 lim)=lim/(x) A 8(x) limg(x)
二、 极限的四则运算法则 定理 3 、若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 1、 2、 3
证1、 因limf(x)=A,l1img(x)=B,则有 f(x)=A+,g(x)=B+阝 (其中a,B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+)±(B+B) =(A土B)+(C±B) 由定理1可知士阝也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 证明2略
证1、 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 证明2略
证3、 因 limf(x)=4,limg(x)=B, f(x)=A+&,g(x)=B+阝，其中a,B为无穷小 设 y=f四A_A+a A 1 (Ba-Aβ) g(x)B B+BB B(B+) 有界 无穷小 因此y为无穷小， ）A 8(x) B 由极限与无穷小关系定理，得im/(-4 limf(x)》 g(x)B limg(x)
证3、 为无穷小 (详见P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B + , 其中 , 设 B A B A − + + = ( ) 1 + = B B (B − A) 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小
定理三中的1、2、可以推广到有限个函数的 情形 (1) lim[f(x)+g(x)-h(x)]=limf(x)+limg(x)-limh(x) (2) limIf(x)g(x)h(x=limf(x).limg(x)limh(x). 推论1.lim[Cf(x)]=C1imf(x) (C为常数) 推论2.lim[f(x)]”=[limf(x)]”（n为正整数
定理三中的1、2、可以推广到有限个函数的 lim[ f (x) + g(x) − h(x)] = limf (x) +limg(x) −limh(x), lim[ f (x) g(x)h(x)] = limf (x)limg(x)limh(x), （1） （2） 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 情形
定理4、 若 limn=A,lim y=B,则有 n-→>0 n-→o (I)lim(xn±yn)=A±B n-→0 (2) lim xnyn=AB n→o0 (3) 当yn≠0且B≠0时，lim=4 n→oynB 提示：因为数列是一种特殊的函数，故此定理可由 定理3,4,5直接得出结论
若 lim x A, lim y B , n n n n = = → → 则有 (1) lim( ) n n n x y → n n n x y → (2) lim (3) 当y 0且B 0时, n B A y x n n n = → lim = A B = AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 定理4
例2、 设有分式函数 R(x)= P(x) 其中P(x),Q(x) e(x) 都是 多项式，若Q(xo)≠0，试证：1imR(x)=R(xo) x→X0 lim P(x) 证： limR(x)=x→o P(xo) R(xo) x→X0 lim (x) Q(x) x→x0 说明：若Q(x)=0,不能直接用商的运算法则
例2、 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: = → lim ( ) 0 R x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 Q x P x x x x x → → 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 若