ce and Te 中国辩学我术大学 数理方程复习指导 学院：信息科学技术学院 专业：信息安全 姓名：高源 指导教师：谢如龙老师
数理方程复习指导 学 院：信息科学技术学院 专 业：信息安全 姓 名：高源 指导教师：谢如龙老师
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 目录 1写给数理方程08班的同学们的一封信。 3 2课程综述. 4 2.1课程主要内容 4 2.2课程学习目标 .4.4+44. 2.3课程学习方法 2.4课程学习中蕴含的转化思想. 5 2.5定解问题求解方法的使用条件 6 2.6数理方程课程中的三步走战略 3第一章综合复习. 8 3.1主要内容. 8 3.2学习目标 3.3学习方法. 9 3.4应用变量代换求解偏微分方程通解 3.5定解问题的书写 10 3.6行波法求解一维无界区域弦振动问题 11 3.7一维半无界区域的弦振动方程的处理之通解法和延拓法. 12 3.8可以通过函数变换转化为一维无界区域波动方程问题. 15 3.9通解法求解定解问题 17 4第二章综合复习 18 4.1主要内容 18 4.2学习目标 18 4.3学习方法 4.4明确齐次方程的基本概念. 19 4.5对于不满足施刘定理的问题的处理.。 20 4.6根据自然语言描述的物理问题书写定解问题并求解 22 4.7验证固有值问题是否满足施刘定理使用条件 24 4.8非齐次方程的求解 25
数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 目录 1 写给数理方程 08 班的同学们的一封信 ······················································ 3 2 课程综述 ···························································································· 4 2.1 课程主要内容 ············································································· 4 2.2 课程学习目标 ············································································· 4 2.3 课程学习方法 ············································································· 5 2.4 课程学习中蕴含的转化思想 ··························································· 5 2.5 定解问题求解方法的使用条件 ························································ 6 2.6 数理方程课程中的三步走战略 ························································ 7 3 第一章综合复习 ··················································································· 8 3.1 主要内容 ··················································································· 8 3.2 学习目标 ··················································································· 8 3.3 学习方法 ··················································································· 9 3.4 应用变量代换求解偏微分方程通解 ·················································· 9 3.5 定解问题的书写 ·········································································· 10 3.6 行波法求解一维无界区域弦振动问题 ··············································· 11 3.7 一维半无界区域的弦振动方程的处理之通解法和延拓法 ······················· 12 3.8 可以通过函数变换转化为一维无界区域波动方程问题 ·························· 15 3.9 通解法求解定解问题 ···································································· 17 4 第二章综合复习 ··················································································· 18 4.1 主要内容 ··················································································· 18 4.2 学习目标 ··················································································· 18 4.3 学习方法 ··················································································· 19 4.4 明确齐次方程的基本概念 ······························································ 19 4.5 对于不满足施刘定理的问题的处理 ·················································· 20 4.6 根据自然语言描述的物理问题书写定解问题并求解 ····························· 22 4.7 验证固有值问题是否满足施刘定理使用条件 ······································ 24 4.8 非齐次方程的求解 ······································································· 25 1
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 4.9非齐次边界的处理 27 5第三章综合复习 29 5.1主要内容 29 5.2学习目标 29 5.3学习方法 5.4应用贝塞尔函数的母函数及其积分表示进行积分求解 30 5.5利用贝塞尔函数的递推关系进行积分求解 5.6给定函数的贝塞尔级数展开. 32 5.7使用分离变量法结合贝塞尔函数求解定解问题 32 5.8应用勒让德多项式的性质和递推关系求解积分 33 5.9勒让德多项式的重要积分 34 5.10给定函数的勒让德级数展开. 35 5.11利用分离变量法结合勒让德函数求解定解问题. 35 6第四章综合复习 37 6.1主要内容 6.2学习目标 37 6.3学习方法 37 6.4利用傅里叶变换求解定解问题 38 6.5利用正余弦变换求解定解问题 39 6.6利用拉普拉斯变换求解定解问题. 40 6.7利用傅里叶变换和拉普拉斯变换进行求解. 4 7第五章综合复习 7.1主要内容 44 7.2学习目标 7.3学习方法 7.4关于6函数的等式的证明 5 7.56函数积分表示的应用. 45 7.6利用镜像法求解格林函数 LA0 46 7.7利用分离变量法求解格林函数. 48 78利用基本解方法求解定解问题 8期末摸拟试卷 51 9期末模拟试卷参考答案 10总结 65 11致谢. 66
数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 4.9 非齐次边界的处理 ······································································· 27 5 第三章综合复习 ··················································································· 29 5.1 主要内容 ··················································································· 29 5.2 学习目标 ··················································································· 29 5.3 学习方法 ··················································································· 30 5.4 应用贝塞尔函数的母函数及其积分表示进行积分求解 ·························· 30 5.5 利用贝塞尔函数的递推关系进行积分求解 ········································· 31 5.6 给定函数的贝塞尔级数展开 ··························································· 32 5.7 使用分离变量法结合贝塞尔函数求解定解问题 ··································· 32 5.8 应用勒让德多项式的性质和递推关系求解积分 ··································· 33 5.9 勒让德多项式的重要积分 ······························································ 34 5.10 给定函数的勒让德级数展开 ·························································· 35 5.11 利用分离变量法结合勒让德函数求解定解问题 ·································· 35 6 第四章综合复习 ··················································································· 37 6.1 主要内容 ··················································································· 37 6.2 学习目标 ··················································································· 37 6.3 学习方法 ··················································································· 37 6.4 利用傅里叶变换求解定解问题 ························································ 38 6.5 利用正余弦变换求解定解问题 ························································ 39 6.6 利用拉普拉斯变换求解定解问题 ····················································· 40 6.7 利用傅里叶变换和拉普拉斯变换进行求解 ········································· 41 7 第五章综合复习 ··················································································· 44 7.1 主要内容 ··················································································· 44 7.2 学习目标 ··················································································· 44 7.3 学习方法 ··················································································· 45 7.4 关于 δ 函数的等式的证明 ······························································ 45 7.5 δ 函数积分表示的应用 ·································································· 45 7.6 利用镜像法求解格林函数 ······························································ 46 7.7 利用分离变量法求解格林函数 ························································ 48 7.8 利用基本解方法求解定解问题 ························································ 49 8 期末模拟试卷 ······················································································ 51 9 期末模拟试卷参考答案 ·········································································· 57 10 总结 ································································································ 65 11 致谢 ································································································ 66 2
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 写给数理方程08班的同学们的一封信 亲爱的2020春数理方程08班的同学们，你们好 这本《数理方程复习指导》在几个月的努力下终于和大家见面了。这学期是 我第一次当助牧，而且由于特殊情况我们的课堂教学、习题课讨论等过程只能在 线上进行。考虑到各种原因，这一个学期在和大家的交流中我也在一直寻找合适 的方法能够尽自己所能为大家提供帮助，最终能够和大家一起顺利完成这门课程 的学习。 综合各种考虑，我决定制作这本《数理方程复习指导》，希望能够和大家分享 学习数理方程的方法、经验，以及遇到的困难。衷心希望这本复习指导能够对大 家有所帮助，也希望大家都能够圆满地完成这学期的学习。 遇到我们这个大家庭的每一个成员都让我感到幸运，衷心希望能够和大家一 起变得更好。 数理
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 写给数理方程 08 班的同学们的一封信 亲爱的 2020 春数理方程 08 班的同学们，你们好: 这本《数理方程复习指导》在几个月的努力下终于和大家见面了。这学期是 我第一次当助教，而且由于特殊情况我们的课堂教学、习题课讨论等过程只能在 线上进行。考虑到各种原因，这一个学期在和大家的交流中我也在一直寻找合适 的方法能够尽自己所能为大家提供帮助，最终能够和大家一起顺利完成这门课程 的学习。 综合各种考虑，我决定制作这本《数理方程复习指导》，希望能够和大家分享 学习数理方程的方法、经验，以及遇到的困难。衷心希望这本复习指导能够对大 家有所帮助，也希望大家都能够圆满地完成这学期的学习。 遇到我们这个大家庭的每一个成员都让我感到幸运，衷心希望能够和大家一 起变得更好。 3
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 课程综述 2.1课程主要内容 偏微分方程的基本概念 常见偏微分方程的通解的求解 数理方程的建立过程 三类常见方程及其对应的定解问题的书写及对应的物理意义 行波法求解一维无界区域波动方程问题的基本操作 延拓法的基本思想和应用 通解法求解一类定解问题的基本操作 分离变量法求解有界区域问题的基本操作 应用特殊函数实现分离变量法在柱坐标和球坐标系下分离变量得到的固有值问题 求解 傅里叶变换法求解无界区域问题的基本操作 正余弦变换的应用 拉普拉斯变换求解半无界区域问题的基本操作 基本解方法求解定解问题的基本操作 2.2课程学习目标 掌握数理方程的基本概念 理解数理方程的建立过程 理解三类重要方程及其对应的定解问题中的元素的物理意义
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 课程综述 2.1 课程主要内容 偏微分方程的基本概念 常见偏微分方程的通解的求解 数理方程的建立过程 三类常见方程及其对应的定解问题的书写及对应的物理意义 行波法求解一维无界区域波动方程问题的基本操作 延拓法的基本思想和应用 通解法求解一类定解问题的基本操作 分离变量法求解有界区域问题的基本操作 应用特殊函数实现分离变量法在柱坐标和球坐标系下分离变量得到的固有值问题 求解 傅里叶变换法求解无界区域问题的基本操作 正余弦变换的应用 拉普拉斯变换求解半无界区域问题的基本操作 基本解方法求解定解问题的基本操作 2.2 课程学习目标 掌握数理方程的基本概念 理解数理方程的建立过程 理解三类重要方程及其对应的定解问题中的元素的物理意义 4
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 熟练掌握根据自然语言描述的物理过程书写定解问题的方法 熟练学握各种定解问题求解方法的适用范围 熟练掌握各种定解问题求解方法的具体操作 2.3课程学习方法 熟练掌握基本概念，并且能够对定解问题进行分类，明确我们的分类是和不同求 解方法的使用条件相对应的 熟练掌握定解问题的各个组成元素对应的物理意义 熟练掌握三类重要方程及其定解问题的书写 熟练掌握求解定解问题的方法的使用条件和具体操作 2.4课程学习中蕴含的转化思想 转化思想是数学学习中的重要思想之一，其根本想法是把不熟悉的问题和熟悉的 问题建立联系，进而实现求解。在这门课程中，主要学习几类偏微分方程的求解方法 其中蕴含着转化的思想，理解了这一点会有助于知识体系结构的建立和对于各种求解方 法的理解 借鉴 行波法的转化思想体现在借鉴常微分方程的定值问题求解，首先求得泛定方 程通解，进而根据定解条件得到解。但由于偏微分方程的通解我们只熟悉几 类常见问题，其他问题求解难度较大，所以，我们要思考，其他的转化思路， 以实现能够顺利求解三类重要方程对应的定解问题 转化为常微分方程 分离变量法和积分变换法的转化思想体现在把偏微分方程的定解问题求解转 化为常微分方程定值问题求解，其中分离变量法通过将解和定解条件在固有 函数系上展开实现转化操作，积分变换法通过使用积分变换并利用积分变换 的性质实现转化操作 转化为特殊定解问题 基本解方法的转化思想体现在将一般的定解问题转化为特殊的定解问题，结 合物理意义以及叠加原理，实现转化和求解
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 熟练掌握根据自然语言描述的物理过程书写定解问题的方法 熟练掌握各种定解问题求解方法的适用范围 熟练掌握各种定解问题求解方法的具体操作 2.3 课程学习方法 熟练掌握基本概念，并且能够对定解问题进行分类，明确我们的分类是和不同求 解方法的使用条件相对应的 熟练掌握定解问题的各个组成元素对应的物理意义 熟练掌握三类重要方程及其定解问题的书写 熟练掌握求解定解问题的方法的使用条件和具体操作 2.4 课程学习中蕴含的转化思想 转化思想是数学学习中的重要思想之一，其根本想法是把不熟悉的问题和熟悉的 问题建立联系，进而实现求解。在这门课程中，主要学习几类偏微分方程的求解方法， 其中蕴含着转化的思想，理解了这一点会有助于知识体系结构的建立和对于各种求解方 法的理解。 借鉴 行波法的转化思想体现在借鉴常微分方程的定值问题求解，首先求得泛定方 程通解，进而根据定解条件得到解。但由于偏微分方程的通解我们只熟悉几 类常见问题，其他问题求解难度较大，所以，我们要思考，其他的转化思路， 以实现能够顺利求解三类重要方程对应的定解问题 转化为常微分方程 分离变量法和积分变换法的转化思想体现在把偏微分方程的定解问题求解转 化为常微分方程定值问题求解，其中分离变量法通过将解和定解条件在固有 函数系上展开实现转化操作，积分变换法通过使用积分变换并利用积分变换 的性质实现转化操作 转化为特殊定解问题 基本解方法的转化思想体现在将一般的定解问题转化为特殊的定解问题，结 合物理意义以及叠加原理，实现转化和求解 5
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 2.5定解问题求解方法的使用条件 在这门课程的学习中，我们主要学习求解三类重要方程对应的定解问题的方法， 每种方法都有其使用条件，因而明确每种方法的使用条件会有助于在遇到定解问题时选 择合适的方法。 行波法 行波法用于求解一维无界区域的波动方程问题（注意，应用延拓法可以实现 将一维半无界区域波动方程的问题求解转化为一维无界区域波动方程问题求 解，进而可以使用行波法：另外球对称问题可以通过对球坐标系下的方程进 行函数变换转化为一维半无界区域的波动方程问题，进而再利用延拓法课可 以转化为一维无界区域的波动方程问题，进而使用行波法求解) 分离变量法 分离变量法用于求解有界区域的问题，其中有界是针对于形成固有函数系的 变量来说的，所以对于球外空间，日的定义域是有界的，因而可以做分离变 量操作。 分离变量法的直接应用要求齐次方程和齐次边界。但我们可以通过固有函数 系展开法、齐次化原理、特解法等方法将非齐次方程转化为齐次方程，可以 用基于叠加原理的特解法将非齐次边界转化为齐次边界，进而可以利用分离 变量法求解 积分变换法 傅里叶变换法用于求解无界区域的问题， 一般用于坐标变量，并且要求对应 的一系列函数值在无穷远点为零 正余弦变换法用于求解半无界区域的问题，本质上仍属于傅里叶变换法， 般用于坐标变量，分别对应第一类和第二类边界条件。注意在正反变换的时 候，建议严格按照定义进行求解。 拉普拉斯变换法用于求解半无界区域的问题，一般用于时间变量，大多数情 况下不能用于坐标变量，无法用于求解椭圆方程。 基本解方法 基本解方法用于求解无界区域的问题，其中对于椭圆方程可以求解有界区域 的问题。 6
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 2.5 定解问题求解方法的使用条件 在这门课程的学习中，我们主要学习求解三类重要方程对应的定解问题的方法， 每种方法都有其使用条件，因而明确每种方法的使用条件会有助于在遇到定解问题时选 择合适的方法。 行波法 行波法用于求解一维无界区域的波动方程问题（注意，应用延拓法可以实现 将一维半无界区域波动方程的问题求解转化为一维无界区域波动方程问题求 解，进而可以使用行波法；另外球对称问题可以通过对球坐标系下的方程进 行函数变换转化为一维半无界区域的波动方程问题，进而再利用延拓法课可 以转化为一维无界区域的波动方程问题，进而使用行波法求解） 分离变量法 分离变量法用于求解有界区域的问题，其中有界是针对于形成固有函数系的 变量来说的，所以对于球外空间，θ 的定义域是有界的，因而可以做分离变 量操作。 分离变量法的直接应用要求齐次方程和齐次边界。但我们可以通过固有函数 系展开法、齐次化原理、特解法等方法将非齐次方程转化为齐次方程，可以 用基于叠加原理的特解法将非齐次边界转化为齐次边界，进而可以利用分离 变量法求解。 积分变换法 傅里叶变换法用于求解无界区域的问题，一般用于坐标变量，并且要求对应 的一系列函数值在无穷远点为零 正余弦变换法用于求解半无界区域的问题，本质上仍属于傅里叶变换法，一 般用于坐标变量，分别对应第一类和第二类边界条件。注意在正反变换的时 候，建议严格按照定义进行求解。 拉普拉斯变换法用于求解半无界区域的问题，一般用于时间变量，大多数情 况下不能用于坐标变量，无法用于求解椭圆方程。 基本解方法 基本解方法用于求解无界区域的问题，其中对于椭圆方程可以求解有界区域 的问题。 6
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 2.6数理方程课程中的三步走战略 行波法的三步走 求解偏微分方程得到通解 将定解条件代入通解中建立已知函数和未知函数关系，并用己知函数表达通 解中未知函数 带入通解得到原问题的解 分离变量法的三步走 将解写成分离变量形式，选定合适变量，求解固有值问题得到固有值和固有 函数系 求解其他常微分方程得到形式解，即把解在定解条件上展开 把定解条件代入形式解中确定形式解的系数，即把定解条件在固有函数系上 展开 积分变换法的三步走 选取合适积分变量，进行正变换，将偏微分方程转化为常微分方程 求解像函数满足的常微分方程得到像函数 对像函数反变换得到解 基本解方法的三步走父 根据原问题对应写出格林函数满足的定解问题 应用镜像法、分离变量法、积分变换法等方法求解得到格林函数 把格林函数带入解的积分表达式得到解
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 2.6 数理方程课程中的三步走战略 行波法的三步走 求解偏微分方程得到通解 将定解条件代入通解中建立已知函数和未知函数关系，并用已知函数表达通 解中未知函数 带入通解得到原问题的解 分离变量法的三步走 将解写成分离变量形式，选定合适变量，求解固有值问题得到固有值和固有 函数系 求解其他常微分方程得到形式解，即把解在定解条件上展开 把定解条件代入形式解中确定形式解的系数，即把定解条件在固有函数系上 展开 积分变换法的三步走 选取合适积分变量，进行正变换，将偏微分方程转化为常微分方程 求解像函数满足的常微分方程得到像函数 对像函数反变换得到解 基本解方法的三步走 根据原问题对应写出格林函数满足的定解问题 应用镜像法、分离变量法、积分变换法等方法求解得到格林函数 把格林函数带入解的积分表达式得到解 7
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 第一章综合复习 3.1主要内容 偏微分方程的基本概念 常见偏微分方程的通解的求解 偏微分方程特解的求解 班 数理方程的建立过程 08 三类常见方程的书写及其对应的物理意义 定解条件的个数、物理意义 行波法求解一维无界区域波动方程问题 延拓法求解一维半无界区域波动方程问题 通解法求解定解问题 叠加原理及其应用 齐次化原理及其应用 3.2学习目标 掌握基本概念，如方程的阶、线性方程、齐次方程等 理解对方程分类的标准和求解方程的方法的适用条件是对应的 掌握对于偏微分方程的分类，并且熟练掌握三类偏微分方程通解的求解方法 理解数理方程的建立过程，对于微元法要有基本的了解 熟练掌握三类方程的书写，以及方程中元素对应的物理意义
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 第一章综合复习 3.1 主要内容 偏微分方程的基本概念 常见偏微分方程的通解的求解 偏微分方程特解的求解 数理方程的建立过程 三类常见方程的书写及其对应的物理意义 定解条件的个数、物理意义 行波法求解一维无界区域波动方程问题 延拓法求解一维半无界区域波动方程问题 通解法求解定解问题 叠加原理及其应用 齐次化原理及其应用 3.2 学习目标 掌握基本概念，如方程的阶、线性方程、齐次方程等 理解对方程分类的标准和求解方程的方法的适用条件是对应的 掌握对于偏微分方程的分类，并且熟练掌握三类偏微分方程通解的求解方法 理解数理方程的建立过程，对于微元法要有基本的了解 熟练掌握三类方程的书写，以及方程中元素对应的物理意义 8
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 熟练掌握定解问题的构成原则，定解条件的个数确定方法，定解条件的物理意义 熟练掌握行波法的使用条件，以及应用于求解定解问题的具体操作 掌握延拓法在求解一维半无界区域波动方程问题中的应用，了解延拓法的思想以 及奇、偶延拓的选择原因 了解通解法求解定解问题的步骤 理解叠加原理的意义及其应用 熟练掌握齐次化原理在求解非齐次发展方程中的应用 3.3学习方法 熟练掌握基本概念，并且能够对定解问题进行分类 熟练掌握求解定解问题的方法及其使用条件 对比不同方法在求解问题时的求解过程，明确方法选择 3.4应用变量代换求解偏微分方程通解 入ux+2ug-3ury=0 解：利用变量代换将方程转化为可以直接积分求解的偏微分方程。 (乐+2-)=0 亦即 (品-)）（品+）e=0 引入变量代换x=x(5,=(5小，使 是=品張+品哭=（品-品)A 品=是需+品瑞=（是+3品)B 其中，A、B为任意常数。可令 x=ξ+n )=一ξ+3切 9
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 熟练掌握定解问题的构成原则，定解条件的个数确定方法，定解条件的物理意义 熟练掌握行波法的使用条件，以及应用于求解定解问题的具体操作 掌握延拓法在求解一维半无界区域波动方程问题中的应用，了解延拓法的思想以 及奇、偶延拓的选择原因 了解通解法求解定解问题的步骤 理解叠加原理的意义及其应用 熟练掌握齐次化原理在求解非齐次发展方程中的应用 3.3 学习方法 熟练掌握基本概念，并且能够对定解问题进行分类 熟练掌握求解定解问题的方法及其使用条件 对比不同方法在求解问题时的求解过程，明确方法选择 3.4 应用变量代换求解偏微分方程通解 uxx + 2uxy − 3uxy = 0 解：利用变量代换将方程转化为可以直接积分求解的偏微分方程。 ∂ 2 ∂x2 + 2 ∂ 2 ∂x∂y − 3 ∂ 2 ∂y2 u(x, y) = 0 亦即 ∂ ∂x − ∂ ∂y ∂ ∂x + 3 ∂ ∂y u(x, y) = 0 引入变量代换 x = x(ξ, η), y = y(ξ, η), 使 ∂ ∂ξ = ∂ ∂x ∂x ∂ξ⃗ + ∂ ∂y ∂y ∂ξ = ∂ ∂x − ∂ ∂y A ∂ ∂η = ∂ ∂x ∂x ∂η + ∂ ∂y ∂y ∂η = ∂ ∂x + 3 ∂ ∂y B 其中,A 、B 为任意常数。可令 ( x = ξ + η y = −ξ + 3η 9