数学物理方法 三习是页角驿
前 言 “数学物理方法”是物理类专业的重要基础课程，它不仅 为后继课程研究有关的数学物理问题作准备，也为实际工作中 遇到的数学物理问题的求解提供基础。为了掌握这门课程中解 决问题的方法，在学习过程中解算一定数量的习题是至关紧要 的。 斯颂乐、徐世良、高永楼、张官南、张立志等同志将我编 写的《数学物理方法》（第二版）的习题一一解答出来，有的 习题还有几种解法、以资比较，并对整个题解进行了反复的修 订。我认为这样一份题解可以起如下几方面的作用： 担任这门课程的老师，在给学生布置习题作业之前，需要 先解算大量的习题，然后从中挑选适当的习题布置给学生，而 《数学物理方法》习题的解算往往是很费时间的。《题解》可 以节约作课老师挑选习题的时间，让他们把精力用于更好地提 高教学质量。 学习这门课程的大学生球自修这门课程的读者、在独立思 考和独立解算基础上，可以与《题解》进行比较，以总结自己 解法的优缺点。如果某些习题虽经反复思考犹有国雄，那么， 从《题解》可以状出因推的症结所在、这就前进了一步。但 是，这县需要强调的是种立思考，切切不可依赖《题解》，依 赖《题解对于学司是有害无益的。 实际工作者遇到有关数学物理问避时也可能从《题解》中 取得某些借鉴。 原书由于编写时间十分仓促，习题答案有某些不妥之处
解题时已作了订正。 在《数学物理方法习题解答》行将出版之际，天津科学技 术出版社的编辑同志要我写个简短的前言，我就把上面的想法 写了出来，以就教于各方人士。 梁昆森 一九八一年元月
内容提要 木书对梁昆森教授所编《数学物理方法》（第二版）中的全部 习随作出了解答。内容分复变函数论、傅里叶级数和积分、敷学 物理方程三个部份，共十七章包括习题约四百条，有些习题列 了多种解法。 本书是配合综合大学、高等师范院校物理类各专业数学物理 方法课程的教学用书，也可为工科院校有关专业的工程数学课台 所选用，对乎有关科学技术工作者也有一定的参为价值
令 录 第一篇复变函数论 第一章复变函数.上 §1.复数与复数运算〔1)§2.复变函数〔12)·$3.多值 函数〔18)§4.导数（微商）〔20)§5.解析函数〔23) §G.平面标量场(32) 第二章复变函数的积分.41 §9.科希公式〔41) 第三章幂级数展开.43。 §11.幂级数〔43)§12.泰勒级数〔49)§14.罗朗级 数57)§15.奇点分类〔70) 第四章留数定理.72 §16.留数定理〔72)§17.应用留数定理计算实变函数定积 分〔79) 第五章拉普拉斯变换.100 §21.拉普拉斯变换〔100)§22.拉普拉斯变换的反演〔104) §23.运算微积应用例〔114) 第二篇傅里叶级数和积分 第六章傅里叶级数.126 §24.周期函数的傅里叶级数〔126)§25.奇的和偶的周期函 数〔145)§26.有限区间上的函数的傅里叶级数〔158) §27，复数形式的傅里叶级数〔188) 第七章傅里叶积分. .172 §28，非周期函数的傅里叶积分〔172)§29.8函数和它的傅里
叶积分〔180) 第三篇数学物理方程 第八章定解问题.18 831.数学物理方程的导出〔184)S32.定解条件C193) §33，二阶线性偏微分方程的分类〔197] 第九章行波法.207 §34.行波法〔207〕 第十章分离变数（傅里叶级数)法.223 §35，分离变数法介绍〔223]§36.齐次的泛定方程（傅里叶级 数法)〔227)§37.非齐次的泛定方程（傅里叶级数法）〔292) 第十一章分离变数（傅里叶积分）法.308 §38，齐次的泛定方程（傅里叶积分法）〔308)§39.非齐次的 泛定方程（傅里叶积分法）〔323) 第十二章二阶常微分方程级数解法本征值问题.332 §40，特殊函数常微分方程〔332)§41.常点邻域上的级数解 法〔339)§42.正则奇点邻域上的级数解法〔346) 第十三章球函数.363 §44.轴对称球函数〔363)§45.一般的球函数〔384) 第十四章柱函数.393 §46.贝塞耳两数〔393)§47.球贝塞耳方程〔422)§48.路 积分表示式与渐近公式〔433) 第十五章数学物理方程的解的积分公式.438 §50.格林公式应用于拉普拉斯方程和泊松方程〔438)§51.推 广的格林公式及其应用〔445) 第十六章拉普拉斯变换法.450 S52.拉普拉斯变换法〔450) 第十七章保角变换法.458 §54，某些常用的保角变换〔458) 编后记.487 2
第一篇 复变函数论 第一章复变函数 §1，复数与复数运算 1.下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ (1)121≤2 解一：|之|=x+iy|=Jx2+y2≤2， 或x2+y2≤4. 这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内部。 解二：按照模的儿何意义，」2！是复数2=x+y与原点 间的距离，若此距离总是≤2，则即表示以原点为圆心而半径 为2的圆及其内部。 (2){z-c={2-b1(a、b为复常数)· 解一：设2=x+y,a=a1+ia2,b=b1+b2: z-a|=/(x-a)2+(y-a2)2, |z-b1=1(x-b1)2+(y-b2)2, 于是 (x-a)2+(y-a2)2=(x61)2+(y-b2)2, 即(2y-a2-b2）(b2-a2）=(2x-a1-b)(a1-b1) 亦即
y-+62 2 a1-01 x-+6i62-a, 2 这是一条直线，是一条过点a和点b连线的中点(+6 )且与该连线要直的直线。 解二：等式的几何意义是，点2到定点a和点b的距离相 等的各点的轨迹，即表示点a和点b的连线的垂直平分线. (3)Re2 解：设2=x+y,则Re2=x,放原式为x>分，它表示 x>的半平面，即直线×=号右边的区域（不包括该直线）. (4)12|+Re2≤1· 解：设2=x+iy,则原式即x2+y2≤(1-x),亦即y2≤ 1-2x,它表示抛物线y2=1-2x及其内部. (5)a<arg2<B,a<Rez<b(a、B、a和b为实常数). 解：注意到argz=p,Re2=x,则原二式 卸 sa<p<8, la<x<b. 为两直线x=a、x=b和两射线P=α、P=B所围成的区域 (不包括边界)· (6)0<ar8<子. 好：圆为中8： 2
=Cx+iy-1)〔x-i(y+1D) x+i(y+1)]Cx-i(y+1)) x2+y2-1 -2x =+++ix++D X+iy-Z. 所以，原式即00和Y>0, 即要求 x2+y2-1 -2x ++>0和x+D>0, 亦即 jx0. (1) 又由00, 2x0的点必定也 满足x2+y2-1>0.所以，（1式无需单独提出，而(2)式表 示复平面上的左半平面x<0,但除去圆周(x+1)2+y2=2及其 内部（图1-1）
注意：应排除 5x>0, 1x2+y2-1<0, 及(x+1)2+y2<2 这相当于X<0,Y<0; 图1-1 即<<，<a1号：)这个解， ):e. :-: J(x-1)2+y2 e+D+1, 即(x-1)2+y2≤(x+1)2+. 亦即0≤x,这表示连同Y轴在内的右半平面。 (8)Re()-2. 日 故 Re(2）-x年=2,2x+2y=, 即 (-)+=0 这是中心在(}，0)而半径为}的圆周。 （9)Rez2=a2(a是实常数). 解：22=(x+iy)2=(x2-y2)+i2xy, 故Rez2=x2-y,则原式即为 4