月 录 第一部分复变函数 第一章复数和复变函数.(1) 1.1 复数及其运算规则.() 1.2 复数的几何表示. 1.3 复数序列.(7) 1.4 复变函数 .(9 1.5 复变函数的极限和连续.(10) 1.6 无穷远点(11) ·1.7正十七边形问题 .(13) 第二度 解析函数.(15) 2.1导数. (15） 2.2 解析函数.(17) 2.3初等函数.(20) 2.4多值函数 .,.(23)】 2.5 解析函数的变换性质.(30) 第三章复变积分.(38) 3.1 复变积分.(38) 3.2 单连通区域的Cauchy定理 (40) 3.3 复连通区域的Cauchy定理.(45) 3.4 Cauchy积分公式.(47) 3.5解析函数的高阶导数 .(50) 3.6 Cauchy积分公式的几个重要推论.(52) ·3.7 Poisson公式 .(55) 第四章无穷级数.(59) 4.1复数级数 (59） ·15·
4.2二重级数 .(63) 4.3 函数级数 (65) 4.4 幂级数 . ,(70) 4.5 含参量的积分的解析性.(73) ·4.6 Euler求和公式. 。4.44g。1.0t”+t”4+4”4” (76) ·4.7发散级数与渐近级数 (80) 第五章 解析函数的局域性展开 。tt。,.4. (87) 5.1 解析函数的Taylor展开 (87) 5.2 Taylor级数求法举例.(90) 5.3 解析函数的Laurent展开. (94) 5.4 Laurent级数求法举例 .(97 5.5 单值函数的孤立奇点.(101) 5.6 Bernoulli数和Euler数 (105) 5.7 整函数和亚纯函数 .(108 第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法(109 6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点. .(109 6.2 方程常点邻域内的解.(111) 6.3方程正则奇点邻域内的解 .(115) 6.4 Bessel方程的解 .(119} 6.5 方程非正则奇点附近的解 .(131) 第七章 解析延拓 .(137) 7,1 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性.(137) 72 解析延拓 .(140) 第八章留数定理及其应用. .(145 8.1 留数定理.(145) 82 有理三角函数的积分 . .(150) 8.3 无穷积分. .(152) 8.4 含三角函数的无穷积分.(157） 8.5 实轴上有奇点的情形 .(160 8.6 多值函数的积分 .(165) "8.7 应用留数定理计算无穷级数的和 .(170） 8.8 留数定理的其他应用 .(175) ·16·
第九章下函数 . (177) 9.1下函数的定义 .(177） 9.2 下函数的基本性质(179) 9.3 下函数值的计算 .(182 9.4山函数 (182) 9.5 B函数. .(186) *9.6 下函数的无穷乘积表示 .(188) ·9.7下函数的新近腰开.， .(194) ·9.8几个特殊函数公式的订正 .(197) ·9.9 Riemann(函数和M8bius变换 (200) 第十章 Laplace变换. ·(205 10.1 Laplace变换 (205) 10.2 Laplace变换的基本性质 (206 10.3 Laplace变换的反演 .(211 10.4 普遍反演公式.(216 10.5 利用Laplace变换计算级数和 (223) 第十一章 6函数.(229 11.16函数 .(229) 11.2 利用6函数计算定积分.(234 11.3 常微分方程初值问题的Green函数 .(238) 11.4 微微分方程仂值问题的Green函数 第二部分数学物理方程 第十二章数学物理方程和定解条件.(253) 12.1 弦的横振动方程.(254) 12.2 杆的纵振动方程 .(256】 12.3 热传导方程.(257) 12.4 稳定问题(260) 12.5 边界条件与初始条件 .(261) 12.6内部界面上的连接条件.(265) 12.7 定解问题的适定性.(267) 17
第十三章线性偏微分方程的通解 13.1 线性偏微分方程解的叠加性.(269) 13.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解 .(271) 13.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解.(273) 13.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程 .(280) 13.5 波动方程的行波解 (281) 13.6 被的辉散和的散 .(283) 13.7 热传导方程的定性时伦。，。，。，。，。， .(287) 13.8 ,aplace方程的定性讨论 (289) 第十四章 分离变量法 (291) 14.1 两端固定弦的自由振动 (291) 14.2 矩形区域内的稳定问题 .(302) 14.3 多于两个自变量的定解向题.(306) 14.4 两端固定弦的强迫振动 .(310) 14.5 非齐次边界条件的齐次化 ,(320 第十五章 正交曲面坐标系 .(329》 15.1 正交曲面坐标系 .(329 15.2正交曲面坐标系中的I,aplace算符 .,.,.,(331】 15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 .(334 15.4 圆形区域 .(339) 15.5 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量 .(317） 15.6 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量 (348) 第十六章球函数， .(351 16.1 Legendre方程的解 .(351 16.2 Legendre多项式 .(354) 16.3 Legendre多项式的微分表示 .(359 16.4 Legendre多项式的正交完备性. ,(361) 16.5 【egendre多项式的生成函数 ”，中”+”40.1.1”71卡中4 (367) 16.6 Legendre多项式的递推关系 .(370) 16.7 Legendre多项式应用举例.(373) 16.8 圆盘的引力势与静电势.(382) 16.9 连带Legendre函数 . .(391 18
16.10球面调和函数 .(396) 16.11 超几何函数.(400)】 第十七章 柱函数 .(405) 17.1 Bessel丙数的基本性质.(406) 17.2 Neumann函数 .(413) 17.3 柱函数 .(416) 17.4 Bessel方程的本征值问题 。,。,(417】 17.5 含Bessel函数的积分 .(425) 17.6 Hankel函数 0(431） 17.7 虚宗量BssC函数.(435) 17.8 Kvin函数.(439) 17.9 半奇数阶Bessel函数 .(439) 17.10 Aiy函数 .(442 17.11 球B55l函数 .(442 °17.12 合流超几何函数 . .(416 附录 涉及Bessel函数的常微分方程 .(449) 第十八章分离变量法总结 .(453 18.1 内积空间. .(453) 18.2 函数空间. .(460) 18.3 白伴算符的本征值问题 .(465) 18.4 Sturm Liouville型方程的本征值问题 .(470) 18.5 Sturm-I,iouville型方程本征值问题的简并现象.(474) 18.6 从Surm-,iouville型方程本征值问题看分离变量法 .(476) 18.7 关于正交多项式的一般讨论 .(481】 第十九章 积分变换的应用」 .(489) 19.1I,aplace变换 .(489 19.2 Fourier变换. .(495) 19.3 半无界空间的情形 .(99 19.4 关于积分变换的一般讨论 .(503 19.5 小波变换简介 第二十章 Green函涵数方法.（⑤15） 20.1 Green函数的概念.(515) ·19
20.2 稳定问题Green函数的一般性质.(519) 20.3 三维无界空间Helmholtz方程的Green函数.(523) 20.4 圆内Poisson方程第一边值问题的Green函数.(528) *20.5 三维调和函数的均值定理与极值原理.(537) 20.6 波动方程的Gren函数.(539) 20.7 热传导方程的Green函数 .(547） 第二十一章变分法初步.(551) 21.1泛函的概念.(551) 21.2泛函的极值.(553) 21.3 泛函的条件极值.(560) 21.4微分方程定解问题和本征值问题的变分形式.(564) .21.5变边值问题.(568) 21.6 Rayleigh-itz方法.(570) 第二十二章数学物理方程综述.(576) 22.1 二阶线性偏微分方程的分类.(676) 22.2线性偏微分方程解法述评.(582) 22.3非线性偏微分方程问题 .(585 22.4结束语. . .(591 参考书目.(592) 外国人名译名对照表.(594) ·20
Contents Part I Complex Analysis Chapter 1 Complex number and function of a complex variable.(1) 1.1 Complex numbers and complex algebra.(1) 1.2 Geometric representation of complex numbers.(2) 1.3 Complex sequence.() 1.4 Function of a complex variable.(9) 1.5 Limit and continuity.(10) 1.6 Point at infinity. 1.7 Construction of regular heptadecagon.(13) Chapter 2 Analytic functions. .(15) 2.1 Complex differentiability.(15) 2.2 Analytic functions.(.17) 2.3 Elementary functions.(20) 2.4 Multivalued functions.(23 2.5 Conformal property of analytic functions. (30) Chapter 3 Complex integration.(38) 3.1 Complex integration. .(38) 3.2 Cauchy integral theorem for simply connected domain.(40) 3.3 Cauchy integral theorem for multiply connected domain.(45) 3.4 Cauchy integral formula.(47) 3.5 Higher-order deriatives of an analytic function.(50) 3.6 Some consequences of the Cauchy integral formula. "3.7 Poisson integral formula.(55) Chapter 4 Infinite series.(59) 4.1 Complex series.(59) 4.2 Double series. .(63) ·21·
1.3 Series of complex functions. .(65) 4.4 Power series. .(70) 4.5 Analyticity of integrals containing parameter.(73) 4.6 Eutler summation.(76) 4.7 Divergent series and asymptotic series.(80) Chapter 5 Local expansion of an analytic function.(87) 5.1 Expansion in Taylor series.(87) 5.2 Illustractive examples of Taylor serics. (90) 5.3 Expansion in Laurent series.(94) 5.4 Illustractive examples og Iaurent series. .(97) 5.5 Isolated singularities of uniform function.(101) 5.6 Bernoulli numbers and Euler numbers. .(105) 5.7 Holomorphic functions and meromorphic functions.(108) Chapter 6 Solution in power series to linear ordinary differential equation of second order.(109) 6.1 Ordinary and singular points of linear ordinary differential equation of second order.(109) 6.2 Solutions valid in the vicinity of an ordinary point.(111) 6.3 Solutions valid in the vicinity of a regular singular point.(115) 6.4 Solutions to the Bessel equation.(119) .6.5 Solutions valid in the vicinity of an irregular singular point.(131) Chapter 7 Analytic continuation.(137) 7.1 Isolated zeros and identity theorem for analytic functions.(137) 7.2 Analytic continuation.(140) Chapter 8 Residue theorem and its applications.(145) 8.1 Residue theorem.(145) 8.2 Evaluation of definite integrals of rational trigonometric functions. .(150) 8.3 Evaluation of definite integrals with infinite limits.(152) 8.4 Evaluation of definite integrals involving trigonometric function with infinite limits. .(157) 8.5 Evaluation of definite integrals with singularity at real axis.(160) ·22·
8.6 Evaluation of definite integrals involving multivalued functions.(165) 8.7 Application of residue theorem to evaluation of infinite series.(170) 8.8 Other application of residue theorem.(175) Chapter g Gamma function.(177) 9.1 Definition of Gamma function. (177） 9.2 Properties of Gamma function.(179) 9.3 Evaluation of Gamma function.(182) 9.4 si functic0n. .(182 9.5 Beta function.(186) 9.6 Infinite series representation of Gamma function.(188) 9.7 Asymptotic expansion of Gamma function. .(194) *9.8 Corrections of some formulas of special functions.(197) 9.9 Riemann zeta function and Mobius transform.(200) Chapter 10 Laplace transforms.(205) 10.1 Laplace transforms.(205) 10.2 Properties of Laplace transforms.(206) 10.3 Inversion of Laplace transforms.(211) 10.4 Complex inversion formula for Laplace transform.(216) 10.5 Evaluation of infinite series by Laplace transfroms.(223) Chapter 11 Dirac 6 function.(229) 11.I Dirac 6 function.(229) 11.2 Evaluation of definite integrals with 6 function.(234) 11.3 Green function of the initial value problem of ordinary differential equation.(238) 11.4 Green function of the boundary value problem of ordinary differential equation. .(247) Part II Mathematical Physics Equations Chapter 12 Mathematical physics equations,boundary conditions and initial conditions. .(253) 12.1 Equation for transverse vibrations of strings.(254) ·23·
12.2 Equation for longitudinal vibrations of fexible rods.(256) 12.3 Heat conduction equation.(257) 12.4 Time-independent and steady-state problems.(260) 12.5 Boundary conditions and initial conditions.(261) 12.6 Linking condition on interior surface. .(265) 12.7 Well-posed and ill-posed problems.(267) Chapter 13 General solution to linear partial differential equation.(269) 13.1 Superposition principle for linear partial differential equations . .(269) 13.2 General solution to a linear homogeneous partial diffenrential equation with constant coefficients.(271) 13.3 General solution to a linear inhomogeneous partial diffenrential equation with constant coefficients.(273) 13.4 Some linear homogeneous partial diffenrential equations with variable coefficients.(280) 13.5 Travelling waves as solutions to wave equation.(281) 13.6 Dissipation and dispersion in waves.(283) 13.7 Qualitative discussion on heat conduction equation. (287） 13.8 Qualitative discussion on the Laplace equation.(289) Chapter 14 Method of separation of variables.(291) 14.1 Free vibration of a string with fixed ends. .(291 14.2 Steady state problem in a rectangular region.(302) 14.3 Well-posed problem with more than two variables.(306) 14.4 Forced vibration of a string with fixed ends.(310) 14.5 Homogenization of inhomogeneous boundary condition.(320) Chapter 15 Orthogonal curvilinear coordinates.(329) 15.1 Orthogonal curvilinear coordinates. 15.2 Laplacian in orthogonal curvilinear coordinates.(331) 15.3 Invariance of Laplacian under translation,rotation anc reflection. .(334 15.4 Circular region.(339） ·24·