数理方程历年真题汇总 说明 1.这里收录了若干套中国科学技术大学数理方程(4B)考试试题，对扫描质量较差的黑心书店版本试卷内 容进行如X科技排版，方便读者阅读使用。 2.按照考试时间先后排序，其次为A、B卷.修读数理方程B的同学可以完成大部分数理方程A的试题. 3.本试题集的主要作用是供同学们考试之前模拟使用，越靠近现在的考卷越能接近现在的出题风格。 4.参考答案仅给出结果，不保证正确性，希望读者自行思考，同时熟悉题目类型。建议助教在考前习题课 针对一些易错题集中讲解。 5.不同试卷的参考公式不一，教学组没有明确考试会给哪些公式，读者备考时尽量多记诵一些以防万一 6.不同读者的复习备考方法不尽相同，敬请读者根据自己的葡求使用本试题集 7,感谢鄂雯哲助教核对试卷！感谢吴天助教的指导！预祝读者在期末考试取得满意的成绩！ 2019-2020春季学期数理方程B助教 本科17级少年班学院少年班杨光灿烂 2020年6月于上海 试卷投稿、纠错、意见反馈欢迎联系我：sunny020303@163.com 最后修改日期：2020年7月31日点击这里查看最新版本 欢迎访问课程主页：2020春数理方程B001549.02
数理方程 历年真题汇总 说明 1. 这里收录了若干套中国科学技术大学数理方程(A/B)考试试题，对扫描质量较差的黑心书店版本试卷内 容进行LATEX科技排版，方便读者阅读使用. 2. 按照考试时间先后排序，其次为A、B卷. 修读数理方程B的同学可以完成大部分数理方程A的试题. 3. 本试题集的主要作用是供同学们考试之前模拟使用，越靠近现在的考卷越能接近现在的出题风格. 4. 参考答案仅给出结果，不保证正确性，希望读者自行思考，同时熟悉题目类型. 建议助教在考前习题课 针对一些易错题集中讲解. 5. 不同试卷的参考公式不一，教学组没有明确考试会给哪些公式，读者备考时尽量多记诵一些以防万一. 6. 不同读者的复习备考方法不尽相同，敬请读者根据自己的需求使用本试题集. 7. 感谢鄢雯哲助教核对试卷！感谢吴天助教的指导！预祝读者在期末考试取得满意的成绩！ 2019-2020春季学期 数理方程B助教 本科17级 少年班学院 少年班 杨光灿烂 2020年6月 于上海 试卷投稿、纠错、意见反馈欢迎联系我: sunny020303@163.com 最后修改日期: 2020 年 7 月 31 日 点击这里查看最新版本 欢迎访问课程主页: 2020春数理方程B 001549.02 1
2 2001-2002学年第一学期数理方程期末试题 注：考试时间两小时，前七题中选做六恶，第八题必做.试卷中a>0是常数 .(15分)解定解问题 8胎=a282+2x,(t>0,-00,-0,00,0<x<) u6,儿z=0=0,8器l=1=尝， u(t,王=o=m. 其中0,0，k为常数 四.(15分) .求解Laplace方程的边值问 △2u=0,(r=V2+<1, 8器l=1=cos20-sin20
2 2001-2002学年第一学期数理方程期末试题 注：考试时间两小时, 前七题中选做六题, 第八题必做. 试卷中a > 0是常数. 一. (15分)解定解问题 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 + 2x, (t > 0, −∞ 0, −∞ 0, 0 0, 0 < x < l), u(t, x)|x=0 = u0, ∂u ∂x |x=l = q0 k , u(t, x)|t=0 = u0. 其中u0, q0, k为常数. 四. (15分) 1. 求解Laplace方程的边值问题 ∆2u = 0, (r = p x 2 + y 2 < 1), ∂u ∂r |r=1 = cos2 θ − sin2 θ
3 2.如果把边界条件为引=1=f(0),f()=f(0+2)且有一阶连续导数及分段二阶连续导数，上述边值 问题是否一定有解？为什么？ 五.(15分)解定解问题 0=a2器，化>0，x>0, (u-是)=0=0， 4,l=0=1,票=0=0. 六.(15分) 1.解定解问题 器+器=-5,y-l>0,50,ny>0, 解的积分公式. 七.(15分)求初值问题 费=a2△2u+b器+b2器+cu+f6,x,小，(L>0,-∞<玉，y<+, ut,工，lt=0=p(红， 的基本解，并利用基本解写出此定解问题解的积分公式（亿，2，是常数） 八.(10分)用分离变量法求解边值问题 器+路+x品(r品)=0，(1<x<e,0<y<1,0<z<+∞)， u,l1=u红，儿e=0, 0引y=0=lg=1=0, (u-是川=0=（红，且z+心时，u(红，2有界 参考公式 ea3￥cosbrd=装e-总；he-号]=严；Lmj=-,n=0,1,2,3, e“f=fp-:Lft-川=e-rfp,其中fp)=f
3 2. 如果把边界条件改为 ∂ ∂r |r=1 = f(θ), f(θ) = f(θ + 2π)且有一阶连续导数及分段二阶连续导数，上述边值 问题是否一定有解？为什么？ 五. (15分)解定解问题 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 , (t > 0, x > 0), u − ∂u ∂x |x=0 = 0, u(t, x)|t=0 = 1, ∂u ∂t |t=0 = 0. 六. (15分) 1. 解定解问题 ∂ 2G ∂x2 + ∂ 2G ∂y2 = −δ(x − ξ, y − η), (x > 0, ξ 0, η 0; y > 0), u(x, y)|x=0 = φ(y), u(x, y)|y=0 = ψ(x). (φ(0) = ψ(0)) 解的积分公式. 七. (15分)求初值问题 ∂u ∂t = a 2∆2u + b1 ∂u ∂x + b2 ∂u ∂y + cu + f(t, x, y), (t > 0, −∞ < x, y < +∞), u(t, x, y)|t=0 = φ(x, y). 的基本解，并利用基本解写出此定解问题解的积分公式 (b1, b2, c是常数). 八. (10分)用分离变量法求解边值问题 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + x ∂ ∂x (x ∂ ∂x ) = 0, (1 < x < e, 0 < y < 1, 0 < z < +∞), u(x, y, z)|x=1 = u(x, y, z)|x=e = 0, ∂u ∂y |y=0 = ∂u ∂y |y=1 = 0, (u − ∂ ∂z )|z=0 = ψ(x, y), 且z → ∞时, u(x, y, z)有界. 参考公式 ✁ +∞ 0 e −a 2x 2 cos bxdx = √ π 2a e − b 2 4a2 ; L[ √ 1 πt e − a 2 4t ] = e −a √p √p ; L[l n] = n! pn+1 , n = 0, 1, 2, 3, · · · ; L[e λtf(t)] = ¯f(p − λ); L[f(t − τ )] = e −pτ ¯f(p), 其中 ¯f(p) = L[f(t)]
4 2001-2002学年第二学期数理方程期末试题 一.(20分) 1.利用镜像法写出上半圆(x2+y20)内场位方程第一边值问题的Geem函数. 2.利用达朗贝尔公式求出一维波动方程初值问题的基本解。 二.(45分)解下列定解问医 △2u=0,(r0,-00.0<x<I). 叫=0=4l=l=0, lt=0=0,4lt=0=0
4 2001-2002学年第二学期数理方程期末试题 一. (20分) 1. 利用镜像法写出上半圆(x 2 + y 2 0)内场位方程第一边值问题的Green函数. 2. 利用达朗贝尔公式求出一维波动方程初值问题的基本解. 二. (45分)解下列定解问题 1. ∆2u = 0, (r 0, −∞ 0, 0 < x < l), u|x=0 = u|x=l = 0, u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0
的解 四.(15分)（任选一题） 1.设G(红，弘，：5，)为场位方程第三边值问题的Gr©m函数，即定解问题 △3G-x-6,y-m,2-,(z,2)eV6,n,)eV (aG+3器s=0,a,3是任意常数，S是V的边界 的解，试利用第二Green公式，推出定解问题 △gu=0,(z,y2)∈V, (au+3票s=(红，弘，a,B是任意常数，S是V的边界 的解的积分表达式。 2.利用积分变换求出三维波动方程初值问题的基本解 参考公式 1.设u(红，头，)和（红，头，）在区域V及边界曲面S上有一阶连续偏导数，在V内有二阶连续偏导数，则有 瓜aa-anaw-(赛-光)as -川=以，后]- 3 wA=牙e品，≠0 4. mbade=e-品
5 的解. 四. (15分)(任选一题) 1. 设G(x, y, z; ξ, η, ζ)为场位方程第三边值问题的Green函数，即定解问题 ∆3G = −δ(x − ξ, y − η, z − ζ), ((x, y, z) ∈ V,(ξ, η, ζ) ∈ V ), (αG + β ∂G ∂n )|S = 0, α, β是任意常数, S是V 的边界 的解, 试利用第二Green公式, 推出定解问题 ∆3u = 0, ((x, y, z) ∈ V ), (αu + β ∂u ∂n )|S = φ(x, y, z), α, β是任意常数, S是V 的边界 的解的积分表达式. 2. 利用积分变换求出三维波动方程初值问题的基本解. 参考公式 1. 设u(x, y, z)和v(x, y, z)在区域V及边界曲面S上有一阶连续偏导数, 在V内有二阶连续偏导数, 则有 ✝ V (u∆v − v∆u)dV = ☎ S u ∂v ∂n − v ∂u ∂v dS 2. L[f(t − τ )] = e −pτL[f(t)], L 1 √ πt e − a 2 4t = e −a √p √p 3. ✂ +∞ −∞ e aλ−β 2λ 2 dλ = √ π β e α2 4β2 , β 6= 0 4. ✂ +∞ 0 e −a 2x 2 cos bxdx = √ π 2a e − b 2 4a2
2002-2003学年第二学期数理方程期末试题 一，(20分)解定解问题 器=a2器，(00, t=0=0,器l=0=s血江+血平z 叫=0=0，叫==0. 二.(20分)解定解问趣 器=a2(器+器)-4，r=V2+0, 叫=0=x2+y2 三.(15分)用Laplace2变换求解 别+2u=0,(c>0,y>0,c>0为常数， 4z=0=, 4=0=0. 四.(10分)求边值问题 g器+=(x-5,y-l(00, 4叫=0=（红， 1.求此初值问题的基本解U(化，工，) 2。利用此基本解写出上述初始问题解的积分表达式」
6 2002-2003学年第二学期数理方程期末试题 一. (20分)解定解问题 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 , (0 0), u|t=0 = 0, ∂u ∂t |t=0 = sin π l x + sin 2π l x, u|x=0 = 0, u|x=l = 0. 二. (20分)解定解问题 ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 − u, (r = p x 2 + y 2 0), u|t=0 = x 2 + y 2 , u|r=1 = e −t . 三. (15分)用Laplace变换求解 ∂ 2u ∂x∂y + c 2u = 0, (x > 0, y > 0), c > 0为常数, u|x=0 = y, u|y=0 = 0. 四. (10分)求边值问题 ∂ 2G ∂x2 + ∂ 2G ∂y2 = δ(x − ξ, y − η), (0 0), u|t=0 = φ(x, y), 1. 求此初值问题的基本解U(t, x, y); 2. 利用此基本解写出上述初始问题解的积分表达式
六.(15分)设叫=2-y器，g≠0，试 1.求出方程[叫=0的特征曲线族（红，）=c4,(红，)=2 2.在区域x>0,y>0内求方程L叫=0的通解： 3.求定解问题 L回=0，(>0,xy>1,y>x, =1=, g=2=x2 参考公式 1.在柱坐标(，9，)下 Aw=杂+架++ 2.在球坐标(r,9,)下 au=器+器+品品(m)+立别 3.阶Bes方程r2”+x可+(2-v2)y=0,在0<<+上得基础解组为(，N(.其中 -2-r++西台)“ 1
7 六. (15分)设L[u] = x 2 ∂ 2u ∂x2 − y 2 ∂ 2u ∂y2 , xy 6= 0, 试 1. 求出方程L[u] = 0的特征曲线族φ(x, y) = c1, ψ(x, y) = c2; 2. 在区域x > 0, y > 0内求方程L[u] = 0的通解; 3. 求定解问题 L[u] = 0, (x > 0, xy > 1, y > x), u|xy=1 = 1 x2 , u|y=x2 = x 2 . 参考公式 1. 在柱坐标(r, θ, z)下, ∆3u = ∂ 2u ∂r2 + 1 r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 2. 在球坐标(r, θ, φ)下, ∆3u = ∂ 2u ∂r2 + 2 r ∂u ∂r + 1 r 2 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ + 1 sin2 θ ∂ 2u ∂φ2 3. ν阶Bessel方程x 2y 00 + xy0 + (x 2 − ν 2 )y = 0, 在0 < x < +∞上得基础解组为Jν(x), Nν(x), 其中 Jν(x) = X +∞ l=0 (−1)k 1 k!Γ(k + ν + 1) x 2 2k+ν
2003-2004学年数理方程A期末试题 一，(20分)解定解问题： △2u-0, u(r,0)l=1=1+cos0+cos 20. 二(20分)解定解问题： un uez +2xt, 叫l=0=0,r=1=- 4l=0=4ll=0=0. 三.(20分)将(x)=x2-1,（0✉≤1)按零阶贝塞尔函数展开. 四.(20分)解初值问趣： 4=x-2z+u+f化， (u=0=(r) 五.(10分)用V表示区域：{2+2+20,S表示V的边界，求 △yu=0,的基本解 (4ls=0 六.(10分)验证： ut.=ct,aw+[f.C.nr. 是定解问题 u=Lu+f(t,). 叫=0=4=1=0， 4=0=p() 的解.其中G，T,)-Gt-,x:),G0,)-6(r:)是该定解问题的基本解
8 2003-2004学年数理方程A期末试题 一. (20分)解定解问题: ∆2u = 0, u(r, θ)|r=1 = 1 + cos θ + cos 2θ. 二. (20分)解定解问题: utt = uxx + 2xt, u|x=0 = 0, u|x=1 = − 1 3 t 3 , u|t=0 = ut|t=0 = 0. 三. (20分)将y(x) = x 2 − 1,(|x| ≤ 1)按零阶贝塞尔函数展开. 四. (20分)解初值问题: ut = uxx − 2ux + u + f(t, x), u|t=0 = ϕ(x). 五. (10分)用V 表示区域: {x 2 + y 2 + z 2 0}, S表示V 的边界, 求 ∆3u = 0, u|S = 0 的基本解. 六. (10分) 验证: u(t, x) = ✂ l 0 φ(ξ)G(t, x; 0, ξ)dξ + ✂ t 0 dτ ✂ l 0 f(τ, ξ)G(t, x; τ, ξ)dξ 是定解问题 ut = Lu + f(t, x), u|x=0 = u|x=l = 0, u|t=0 = φ(x) 的解. 其中G(t, x; τ, ξ) = G(t − τ, x; ξ), G(0, x; ξ) = δ(x; ξ)是该定解问题的基本解
20032004学年第一学期数理方程B期末试题 一.(20分)解定解问题 utt uzz sin 2r,(t >0,-o00,00-o00，y>0的格林函数G(红，5，并求下列定解问题的解 △2u=-f(M0,M,∈D:x>0,y>0, =p(M,Mz,)∈1：l为D的边界 注4异（器）+如品（血）+可器
9 2003-2004学年第一学期数理方程B期末试题 一. (20分)解定解问题 utt − uxx = sin 2x, (t > 0, −∞ 0, 0 0, −∞ 0, y > 0的格林函数G(x, y; ξ, η), 并求下列定解问题的解: ∆2u = −f(M), M(x, y) ∈ D : x > 0, y > 0, u|l = ϕ(M), M(x, y) ∈ l : l为D的边界. 注: ∆3u = 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2u ∂ϕ2
2004-2005学年第二学期数理方程A期末试题 一.(30分)填空题 1.设00-00, 叫g=0=0,8器ly=0=p()
10 2004-2005学年第二学期数理方程A期末试题 一. (30分)填空题 1. 设0 0, −∞ 0), u|y=0 = 0, ∂u ∂y |y=0 = ϕ(x)