习题5.1详解 1.比较下列各组定积分的大小。 wxd与xa 解因为当1≤x≤2时，x2≤x3,所以由定积分的性质5知， x2dk≤xk。 (2)nxdk与n2xd 解因为当1≤x≤2时，0≤nx<1,则nx≥n2x,所以由定积分的性质5知 fnxt≥n2x. (3)[cosxdx与[isin xd 解因为当0≤x≤牙时，c0sx之s如x,所以由定积分的性质5知， 广cosxdr≥snx. (4)[x'sin xdxsin2 xdx 解因为当0≤x≤1时，x2≤x,而sn2x≥0，则x2sm2x≤xsn2x 所以由定积分的性质5知，x2sm2xd≤[xsn2xdk。 2.估计下列各定积分的值。 (1)「0+x2)d 解当1≤x≤2时，因为f"(x)=2x,令"(x)=0,解得x=0(舍去)，又f0)=2, f(2)=5,从而m=2,M=5,所以由定积分的性质6知， 2≤1+x2)≤5. (2)[(1+sin2 x)dx 解当0≤x≤π时，因为f"(x)=sm2x,令f'(x)=0,解得 x=0,号x,又f0)=1,f(写)=2，f)=1,从而m=1,M=2,所以由定 积分的性质6知，π≤[1+sn2x)≤2π
习题 5.1 详解 1.比较下列各组定积分的大小。 （1） 2 1 2 x dx 与 2 1 3 x dx 解 因为当 1 x 2 时， 2 3 x x ，所以由定积分的性质 5 知， 2 1 2 x dx 2 1 3 x dx 。 （2） 2 1 ln xdx 与 2 1 2 ln xdx 解 因为当 1 x 2 时， 0 ln x 1 ，则 x x 2 ln ln ，所以由定积分的性质 5 知， 2 1 ln xdx 2 1 2 ln xdx。 （3） 4 0 cos xdx 与 4 0 sin xdx 解 因为当 4 0 x 时 ， cos x sin x ，所以由定积分的性质 5 知 ， 4 0 cos xdx 4 0 sin xdx。 （4） 1 0 2 2 x sin xdx 与 1 0 2 xsin xdx 解 因为当 0 x 1 时， x x 2 ，而 sin 0 2 x ，则 x x x x 2 2 2 sin sin ， 所以由定积分的性质 5 知， 1 0 2 2 x sin xdx 1 0 2 xsin xdx。 2. 估计下列各定积分的值。 （1） + 2 1 2 (1 x )dx 解 当 1 x 2 时，因为 f (x) = 2x ，令 f (x) = 0 ，解得 x = 0 （舍去），又 f (1) = 2 ， f (2) = 5 ，从而 m = 2， M = 5 ，所以由定积分的性质 6 知， 2 (1 ) 5 2 1 2 + x dx 。 （2） + 0 2 (1 sin x)dx 解 当 0 x 时，因为 f (x) = sin 2x ，令 f (x) = 0 ，解得 , 2 x = 0, ，又 f (0) = 1， ) 2 2 ( = f ， f ( ) = 1 ，从而 m =1， M = 2 ，所以由定 积分的性质 6 知， (1 sin ) 2 0 2 + x dx
+ 解当1≤x≤3时，因为/)-0=X1+里，令)=0，解得 1+x2)2 =1名=l(去人又0=空创=高从面m=高M=号 所以由定积分的性质6知，}子矿中子本≤1 (4)e 解当0≤x≤1时，因为了'(x)=2x,令f'(x)=0,解得x=0, 又f(O)=1,f0=e,从而m=l,M=e,所以由定积分的性质6知 IsCe"dr≤e. 习题5.2详解 1计算。 = (2)在sada=sm=sm0=0 2求下列积分。 (1)[0+x2k=1d+xd=x+x=3+63=66 2)=-那-0-=2 8),-t+r小-f+rk-2-h小-h2 we=2d传小-2-e-ee- l+nxk=了+hs=hf+nxd水=l+与州 (5) o*2=告-+咖-r+-号
（3） + 3 1 2 1 dx x x 解 当 1 x 3 时，因为 2 2 (1 ) (1 )(1 ) ( ) x x x f x + − + = ，令 f (x) = 0 ，解得 x1 =1， x2 = −1 （舍去），又 2 1 f (1) = ， 10 3 f (3) = ，从而 10 3 m = ， 2 1 M = ， 所以由定积分的性质 6 知， 1 5 1 3 3 1 2 + dx x x 。 （4） 1 0 2 e dx x 解 当 0 x 1 时，因为 2 ( ) 2 x f x = xe ，令 f (x) = 0 ，解得 x = 0， 又 f (0) = 1， f (1) = e ，从而 m =1， M = e ，所以由定积分的性质 6 知， e dx e x 1 0 2 1 。 习题 5.2 详解 1 计算。 （1） 2 1 2 1 1 1 1 x dt dx t d x + = + （2） sin 0 sin 0 sin 0 0 0 = = = = = x x x tdt x dx d 2 求下列积分。 （1） (1 ) 1 3 63 66 6 3 3 3 6 1 3 6 3 2 6 3 6 3 2 + = + = + = + = x dx dx x dx x x （2） (9 1) 12 2 3 2 1 3 27 1 3 2 27 1 3 1 27 1 3 = = = − = − dx x dx x x （3） ( ) ( ) ( ) ln 2 2 1 ln 2 ln1 2 1 ln 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 + = + = − = + = + d x x x dx x x （4） = − = = − = 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 0 3 3 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 1 e dx e d x e e e e x x x （5） ( ) ( ) 2 3 2 1 1 ln 2 1 ln ln ln 1 1 ln 1 ln 1 2 1 1 1 1 1 1 = + = = + = + = + + e e e e e e e dx x x d x x x x dx x dx x x （6） ( ) 3 22 2 3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 4 0 • = + = + = + = + + tdt t dt t dt t t t dx x x
=2=21=2=26-2+6 =4-2h3 (8) r-听-产 2r-2arctan=4-2arctan 2 dxx=2sin (01)[2cost2costd=4f cos idr (9) -fg-fow2 e-9号 0)原os=原dmxm月-n=受- ahna)h水-=e+日 (12)后cosk=jcos1.2dh=2a6n)=21sm月-2fn1d=x-2 习题5.3详解 1求曲线y=x3与直线x=2,x=-1及x轴所围成的图形的面积 解选x为积分变量，所求平面图形分为两部分，分别为S,和S2。当x∈[-l,0]时，面积 元素为dS,=(0-x3)d=-xk, -一0-eH西元药fa 则S-r-4-04,微所来平面图形输面积为 5=8+8=4-名 2求y=smx,y=cosx,x=0,x=所围成的图形的面积。 解所求面积为两部分组成， 是在[哥上，S-fosx-m恤-mx4os传-5-l
（7） 4 2ln 3 2 2ln 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 4 0 = − = − + + = − + + − • = + = + dt t t t dt t t tdt t dx x （8） 2 2arctan 4 2arctan 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 5 1 = − = − + = − + • = + = − t t dt t dt t t tdt t t dx x x （9） ( ) 2 3 3 cos 2 2 2 2 cos 2 1 4 ) 2cos 2cos 4 cos 2 4 2sin (0 6 0 6 0 6 0 6 0 2 6 0 1 0 2 = + = + + = − = • = dt t d t t t x dx 设x t t t tdt tdt （10） ( ) 1 2 cos sin sin sin 2 0 2 0 2 0 2 0 = = − = − x xdx x d x x x xdx （11） ( ) 4 1 4 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 1 2 1 1 2 = = − = + x xdx x d x x x xdx e e e e e （12） cos cos 2 2 (sin ) 2 sin 2 sin 2 2 0 2 0 2 0 2 0 4 0 2 = • = = − = − xdx t tdt t d t t t tdt 习题 5.3 详解 1 求曲线 3 y = x 与直线 x = 2 , x = −1 及 x 轴所围成的图形的面积。 解 选 x 为积分变量，所求平面图形分为两部分，分别为 1 S 和 2 S 。当 x [−1,0] 时，面积 元素为 dS x dx x dx 3 3 1 = (0 − ) = − ， 则 4 1 ) 4 1 0 ( 4 1 ( ) 0 1 4 0 1 3 1 = − = − = − − = − − S x dx x 。当 x [0,2] 时，面积元素为 dS x dx 3 2 = ， 则 4 0 4 4 1 2 0 4 2 0 3 2 = = = − = S x dx x 。故所求平面图形的面积为 4 17 4 4 1 S = S1 + S2 = + = 2 求 2 sin , cos , 0, y = x y = x x = x = 所围成的图形的面积。 解 所求面积为两部分组成， 一是在 4 0, 上， (cos sin ) (sin cos ) 2 1 4 0 4 0 1 = − = + = − S x x dx x x
另多分是在[任引、S-m-o恤=人mo值-5- 所以S=S,+S2=2W2-2 3求抛物线y2=x与直线x+y-2=0所围成的图形面积。 解选y为积分变量，积分区间为-2.，则面积元素为本=(2-y-y2),故所求平 面图形的面积为 =,2-y-y=2-,-,w= 第五章复习题详解 一填空题 1比较定积分的大小∫广h2x一≥一∫广h3x(填“≥”或“≤”)。 2若S=ek,则1sS≤。一。 3设Fx)=广cos1dh,则F0)=0,F'(a)=L一. 4设F(x)=2+1d血，则Fx)=x21+x. 5已知f0)h=5x23+40,则f)=15x2,a=2 二选择题 1比较定积分的大小∫x'(B)∫xdk。 B s C> D< 2.若S=(x+,则一定有(B)成立。 A3s552 R 355s5 C 35554 D3sss 3设∫广xx=kx2x,则k=(D). A 1 B 2 D4 4妥ann达：(c人 A aretan x B arctan b-arctand 5设fx)在a,b上连续，则fx女=(c)。 A}本B心本c心得}
另一部分是在 2 , 4 上， (sin cos ) ( sin cos ) 2 1 2 4 2 4 2 = − = − − = − S x x dx x x 所以 S = S1 + S2 = 2 2 − 2 3 求抛物线 x y - 2 0 2 y = x与直线 + = 所围成的图形面积。 解 选 y 为积分变量，积分区间为 [−2.1] ，则面积元素为 ds (2 y y )dy 2 = − − ，故所求平 面图形的面积为 2 9 (2 ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 = − − = − − = − − − − S y y dy dy ydy y dy 第五章复习题详解 一 填空题 1 比较定积分的大小 2 1 2 ln xdx 2 1 3 ln xdx (填“ ”或“ ”)。 2 若 = 1 0 2 S e dx x ，则 1 S e 。 3 设 ( ) cos , 0 = x F x tdt 则 F(0) = 0 ， F( ) = -1 。 4 设 ( ) 1 , 0 2 = + x F x t tdt 则 F(x) = x 1+ x 2 。 5 已知 ( ) 5 40, 3 = + x a f t dt x 则 f (x) = 2 15x ， a = -2。 二 选择题 1 比较定积分的大小 2 1 3 x dx （ B ） 2 1 4 x dx 。 A B C D 2. 若 = + 2 2 1 ) 1 ( dx x S x ，则一定有（ B ）成立。 A. 2 2 1 S B. 4 15 3 S C. 3 S 4 D. 4 15 2 3 S 3 设 xf(x)dx k xf( x)dx = 1 0 2 0 2 ，则 k = （ D ）。 A 1 B 2 C 3 D 4 4 = b a xdx dx d arctan （ C ）。 A arctan x B arctan b −arctan a C 0 D 2 1 1 + x 5 设 f (x) 在 a,b 上连续，则 ( ) = f x dx b a （ C ）。 A dx k x f k b a 1 B dx k x k f kb ka C kb ka dx k x f k 1 D dx k x k f k b k a
三.证明题 12s「0+x3)t≤9 证当1≤x≤2时，因为f(x)=3x2,令f"(x)=0,解得x=0(舍去)，又f仙=2， f2)=9,从而m=2,M=9,所以由定积分的性质6知，2≤广1+x3)达≤9. 2se≤l 证当0≤x≤1时，因为f'(x)=-2xe，令f(x)=0,解得x=0, 又O)=1,f0=。从而m。,M=1,所以由定积分的性质6知 tsLekst. 四计算题 ,-n或a =x6+acm6=l+年-0=l+ 2=-=2郎-专部=2-小8-=-号 3+=+ia0+-+佛-号 ，-fk-）-小cosh=o21a -cos2ader}女-n6a+-月 5上2=2-s2-42h-2f-2h=8- e'cosxds=fcosxde'=e"cose'dcosx=1+e'sin xds 6=-l+sin xde=-l+esn后-后dsi x=-l+e三-后e'cosxd从而得 -ei-1-fe"cosxds 2fe'cosxd=e-1
三．证明题 1 2 (1 ) 9 2 1 3 + x dx 证 当 1 x 2 时，因为 2 f (x) = 3x ，令 f (x) = 0 ，解得 x = 0 （舍去），又 f (1) = 2 ， f (2) = 9 ，从而 m = 2， M = 9 ，所以由定积分的性质 6 知， 2 (1 ) 9 2 1 3 + x dx 。 2 1 1 1 0 2 − e dx e x 证 当 0 x 1 时，因为 2 ( ) 2 x f x xe − = − ，令 f (x) = 0 ，解得 x = 0， 又 f (0) = 1， e f 1 (1) = ，从而 e m 1 = ， M = 1 ，所以由定积分的性质 6 知， 1 1 1 0 2 − e dx e x 。 四 计算题 1 4 0 1 4 arctan 1 1 1 3 1 1 3 1 3 3 1 1 0 1 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2 4 2 = + = + − = + + = + + = + + + + x x dx x dx x dx x dx x x x x 2 ( ) ( ) 3 8 8 1 3 2 2 2 1 3 2 2 1 4 1 2 3 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 = − = − = − − − = − − − dx x dx x dx x x x x 3 ( ) ( ) ( ) 3 14 1 3 2 1 1 1 3 0 2 3 3 0 2 3 1 0 + = + + = + = xdx x d x x 4 ( ) ( ) ( ) 2 4 1 sin 2 4 1 2 1 cos 2 2 4 1 2 cos 2 1 1 cos sin cos 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 1 0 2 = + = + = + − = = = t d t dt t t dt t x dx t d t tdt 5 ( ) ( ) 3 8 4 3 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 3 0 2 2 0 2 2 2 2 2 − = − = − = − = − − − t dt t dt t t t t dxt x x x 6 = − − = − + = − + − = − + − = = − = − + 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 cos 1 sin 1 sin sin 1 cos cos cos cos cos 1 sin e e xdx xde e x e d x e e xdx e xdx xde e x e d x e xdx x x x x x x x x x x 从而得 2 cos 1 2 2 0 = − e xdx e x
故eo=e- 7-h)生背-小话 8f"h(x+ldvt=x+nidi=ih-f d(int)=e-i=1 9 fism xcos'xdr=-f cos'xdlcos)1=cosxdid 10 Exedx 1=-x['wed=f'dle)=tel-ed-1-0ld-1-2 五解答恩 1求由曲线xy=1与x=1,x=3及x轴围成的图形的面积。 解连x为积分变量，积分区间为，3引，则面积元素为止=上k,故所求平面图形的面积 为 S=Pd=h=h3-0=h3 2求由曲线y=x与y=(围成的图形的面积。 解先求出曲线交点的坐标为(1，-0.01)，由两部分组成 s=s+s,=-h+-=1
故 ( 1) 2 1 cos 2 2 0 = − e xdx e x 7 ( ) 16 3 1 16 1 4 ln 4 4 ln 4 ln ln 4 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 3 + = − = − = = e x e d x x x x x x xdx x d e e e e e 8 ln( 1) 1 ln ln (ln ) 1 1 1 1 1 1 0 + = + = − = − = − e e e e e x dxt x tdt t t td t e t 9 ( ) 3 1 3 1 sin cos cos cos cos 1 0 3 1 0 2 0 1 2 2 0 2 2 0 2 = − = − = = = x xdx x d x t x t dt t dt t 10 ( ) e e e x e dx t x t e dt t d e t e e dt x t t t t t 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 = − = = − = − − = − − − − − − − 五 解答题 1 求由曲线 xy = 1 与 x =1， x = 3 及 x 轴围成的图形的面积。 解 选 x 为积分变量，积分区间为 1,3 ，则面积元素为 dx x ds 1 = ，故所求平面图形的面积 为 ln ln 3 0 ln 3 1 3 1 3 1 = = = − = dx x x S 2 求由曲线 3 y = x 与 3 y = x 围成的图形的面积。 解 先求出曲线交点的坐标为 (−1,−1)，(0，0)，(1，1) ，由两部分组成， 1 2 1 2 1 S S S 1 0 3 3 1 0 -1 3 1 3 1 2 = + = + − = + = − x x dx x x dx