第六节极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限 二、 两个重要极限 一、极限存在准则
极限存在准则 (一)夹逼准则 1、(1)yn≤xn≤2n(n=1,2,.) lim n a (2)lim yn lim 2n a n->oo n→od n→0 证：由条件(2)，V8>0,3N1,N2 当n>N1时，|yn-aN2时，n-aN时，有 a-8<yn<a+8,a-8<2n<a+8, 由条件(1)》 a-8<yn≤xn≤n<a+ 即xn-a<e,故limn=a. n→o0
一、极限存在准则 y zn a n n n = = → → (2) lim lim （一） 夹逼准则 (1) y x z ( n =1, 2, ) n n n xn a n = → lim 证:由条件 (2) , 0, , N1 当 时, 当 时, 令 max , , N = N1 N2 则当 n N 时, 有 由条件 (1) n n n a − y x z a + 即 x − a , n 故 lim x a . n n = → , N2 1
2、 如果(1)当x∈(x,r(或|x>M)时 g(x)≤f(x)≤h(x) (2)lim g(x)=A,lim h(x)=A, 湖 岛 那么limf(x)存在，且等于A。 x→X0 (x→0)
2、 (1)当x(x0 ,r)(或| x | M)时 g(x) f (x) h(x) 如果 lim g(x) A, lim h(x) A, 0 0 x x x x = = → → (x → ) （2） (x → ) lim f (x) 0 x→x (x → ) 那么 存在，且等于A
例、证明1imn 1 n-→o0 证：利用夹逼准则.由 n 1 n n n2+na n2+元 且 lim 1 n-→on+nπ n→01十 n n 1 lim lim- = n→on+π n→o1+ n lim n n-→>0 n+nm
例、证明 证: 利用夹逼准则 . + + + + + n + n n n n 2 2 2 1 2 1 1 + 2 2 n n 且 → + 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n + = → =1 n n→ lim + + + + + n + n n n 2 2 2 1 2 1 1 =1 由
二、 单调有界数列必有极限 为≤x2≤.≤xn≤xn+l≤.≤M =limx=a(≤M) n->oo 单调增加 X1 X2 M 为≥X2≥.≥xn≥xn+1≥.≥m >limx=b(≥m） 000 一→x单调减少 m b x2为 (证明略)
二、 单调有界数列必有极限 lim x a ( M ) n n = → lim x b ( m ) n n = → ( 证明略 ) a 单调增加 b 单调减少
例、设xn=(1+)”(n=1,2,),证明数列{xn} 极限存在· 证：利用二项式公式，有 xn=(1+)” =++mg+a-2 21 2 。十. 31 +n(n-l):(n-n+)1 n! n =1+1+2(1-月)+(1-)(1-) +. +0-以0-90-男
例、设 证明数列 极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有 n n n x (1 ) 1 = + =1+ n n 1 1! 2 1 2! ( 1) n n n− + 3 1 3! ( 1)( 2) n n n− n− + + n n n n n n n 1 ! ( −1) ( − +1) + =1+1+ (1 ) 1 ! 1 n n + − (1 ) 2 n − (1 ) 1 n n− − (1 ) 1 2! 1 n − (1 1 ) + 3! 1 n + − (1 ) 2 n −
xm=1+1+1-分)+(1-)(1-分)+ +(1-)(1-(1-"） x=1+1+-)+1-0-) 大 大 +1-1-)（1-4） 正 比较可知 xn<x+1(n=1,2,.） 又xm=1+<1+1+分+++
x n = 1 + 1 + ( 1 ) 1 !1n n + − ( 1 ) 2n − ( 1 ) 1 n n − − ( 1 ) 1 2!1 n − ( 1 1 ) + 3!1 n + − ( 1 ) 2n − x n + 1 = 1 + 1 + ( 1 ) 1 1 2!1 + − n (1 )(1 )12 11 3!1 + + + − − n n + (1 )(1 ) (1 ) 1 1 2 11 ( 1)! 1+ + + + + − − − nn n n n 大 大 正 ( 1, 2, ) xn xn+1 n = = (1+ ) 1+1+ 1 n n n 又 x 比较可知
又=1+)》”<1+1+分+++品 <1+1++2+2 1- 1 2n 1-1 =3 2<3 根据准则2可知数列{x,n}有极限 记此极限为e,即 1im1+）)”=e n→oo e为无理数，其值为 e=2.718281828459045
根据准则 2 可知数列 xn 记此极限为 e , e n n n + = → lim(1 ) 1 e 为无理数 , 其值为 e = 2.718281828459045 即 有极限 . = (1+ ) 1+1+ 1 n n n x 1+1+ 又 3 1 2 1 3 − = − n
*3.柯西极限存在准则（柯西审敛原理） 数列{xn}极限存在的充要条件是： Ve>0,存在正整数N,使当m>N,n>N时， 有 Xn-Xm0,3N,使当 n-→0 m>N,n>N时，有 xn-al<5:xm-al<5 因此 Xn-Xm=(Xn -a)-(xm-a) ≤xn-a+xm-a<8 充分性” 证明从
*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) 数列 极限存在的充要条件是: 0, 存在正整数 N , 使当 m N , n N 时, − m n x x 证: “必要性”.设 lim x a, n n = → 则 时, 有 使当 , 2 − xn a 2 − xm a 因此 xn − xm = xn − a + xm − a “充分性” 证明从略 . 有
二、两个重要极限 sinx 1.1im =1 x-→0X 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积0 x>0
二、 两个重要极限 1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注