第十节闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理 二、 零点定理与介值定理 三、一致连续性*
第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 三、一致连续性*
一、有界性与最大值最小值定理 定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界目 定能取得它的值和最小值 即：设f(x)∈C[a,b],则3气，52∈[a,b],使 f(s)=min f(x) a≤x≤b yy=f(x) f(2)=max f(x) a≤x≤b 0a5152bX 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立
一、有界性与最大值最小值定理 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 一定能取得它的值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有界且 点
例如、 -x+1,0≤x<1 1,x=1 也无最大值和最小值
例如、 也无最大值和最小值
二、零点定理与介值定理 定理2.（零点定理）f(x)∈C[a,b], y=f(x) 且f(a)f(b)<0至少有一点 5∈(a,b),使f(5)=0.(证明略) 定理3.（介值定理)设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C
二、零点定理与介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 且 至少有一点 使 ( 证明略 ) 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 使 至少有
证： y1 y=f(x) 作辅助函数 (x)=f(x)-C 则p(x)∈C[a,b1,且 p(a(b)=(A-C)(B-C)<0 故由零点定理知，至少有一点5∈(a,b),使p(5)=0, 即 f(5)=C 推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值
证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值
例1、证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然f(x)=x3-4x2+1∈C[0,1],又 f(0)=1>0,f(1)=-2<0 故据零点定理，至少存在一点5∈(0,1)，使f(5)=0,即 53-452+1=0
例1、证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有
*三.一致连续性 已知函数f(x)在区间I上连续，即： 廿xo∈1，&>0,36>0，当x-x00,存在6>0，对任意的 ,x2∈I,当1-x2<6时，都有f(x1)-f(x2)<6, 则称f(x)在I上一致连续 显然：f(x)在区间I上一致连续 f(x)在区间I上连续
*三. 一致连续性 已知函数 在区间 I 上连续, 即: 一般情形, 就引出 了一致连续的概念 . 定义: 对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然:
例如、 f(x)=∈C(0,1],但不一致连续 因为&>0(0 这说明f(x)=1在(0,1]上不一致连续 定理.若f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b]上一致连续
例如、 但不一致连续 . 因为 取点 则 可以任意小 但 这说明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 定理. 上一致连续
内容小结 设f(x)∈C[a,b],则 1.f(x)在[a,b]上有界， 2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值； 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值； 4.当f(a)f(b)<0时，必存在5∈(a,b),使f(5)=0
内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在