6.1习题详解 1设年投资收益率为9%，按连续复利计算，现在投资多少10年后达 到200万元 解将A=200,r=0.09,t=10代入公式A=A,e中，得 A。=200ea9≈81.314万元 2小张准备买4000元的数码相机。如果分期付款，36个月，每月付 150元。如果贷款，5000元以下3年内还清的年利率15%。问他应该 选择哪种方式购买才合算。 解贷款额4000元，年利率r=15%,贷款时间3年。每年还x元，y. 表示第n年欠银行的钱。 分析问题过程： 6%=4000 =0+r)-x =0+)小-x=y+r}-x1+）+] 乃=+r-x=1+r-+r}+自+r)+ 2-4wa1sfu小w6元 每月还款约1754.86÷12≈146.2元 所以选择贷款比较合算。 3已知某产品的供给函数为S=3p-5,需求函数为Q=15-2印，求该产品的市 场均衡价格。 解：利用市场均衡条件S=Q数量整理得：15-2p=3p-5
1 6.1 习题详解 1 设年投资收益率为 9%，按连续复利计算，现在投资多少 10 年后达 到 200 万元。 解 将 A = 200,r = 0.09,t = 10 代入公式 rt A A e = 0 中，得 A0 = 200e 0.9 81.314万元 2 小张准备买 4000 元的数码相机。如果分期付款，36 个月，每月付 150 元。如果贷款，5000 元以下 3 年内还清的年利率 15%。问他应该 选择哪种方式购买才合算。 解 贷款额 4000 元，年利率 r = 15%，贷款时间 3 年。每年还 x 元， n y 表示第 n 年欠银行的钱。 分析问题过程： y0 = 4000 y = y (1+ r)− x 1 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 y2 = y1 + r − x = y0 + r − x + r + (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 3 2 y3 = y2 + r − x = y0 + r − x + r + + r + ( ) ( ) 4000 0.15 1.15 (1.15 1) 1754.86元 1 1 1 3 3 3 3 0 = • • − + − + = r y r r x 每月还款约 1754.8612 146.2元 所以选择贷款比较合算。 3 已知某产品的供给函数为 S ＝3p－5,需求函数为 Q ＝15－2p,求该产品的市 场均衡价格。 解：利用市场均衡条件 S =Q 数量整理得：15－2p＝3p－5
5p-20=0 p=4 4市场中某种商品的需求两数和供给函数分别为Q=25-P:S-?-智 试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量。 解Q=5,25-p=9p-9 解得p=5,Q=S=20 5已知生产某种产品的总成本为Cg)=50+2g-0.1g2,该产品的需求函数为q =40-2p,试求产量g为10时的总利润和平均利润。 分析：解决这个问题就要求出利润函数L(q)和平均利润函数L(q),Z(q)可由 L(g)求得，而L(q)=R(q)一C(q),因此问题的关键是求出收入函数。它由下面 公式求得：Rq)=qpq。其中pq)为价格函数。 解由需求函数 q=40-2p解出p=20-号，再由公式R(q)=qp(q) Rg=9020-3=24g-号 由L(q)=R(q)-Cq)得L(q)=18q-0.4g2-50 9=10时46=180-40-0=90.=8=9 6已知总成本函数C=3000+7g-4g2+g,求 (1)边际成本函数。 (2)q=10时的边际成本，并说明其经济意义
2 5 p − 20 = 0 p = 4 4 市场中某种商品的需求函数和供给函数分别为 Q = 25 − p ， 3 40 3 20 S = p − ， 试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量。 解 3 40 3 20 Q = S , 25 − p = p − 解得 p = 5,Q = S = 20 5 已知生产某种产品的总成本为 C(q)＝50＋2q-0.1q 2，该产品的需求函数为 q ＝40－2p， 试求产量 q 为 10 时的总利润和平均利润。 分析：解决这个问题就要求出利润函数 L(q)和平均利润函数 L (q)， L (q)可由 L(q)求得，而 L(q)＝R(q)－C(q)，因此问题的关键是求出收入函数。它由下面 公式求得:R(q)＝qp(q)。其中 p(q)为价格函数。 解 由需求函数 ( ) ( ) 2 40 2 20 R q qp q q q = − p解出p = − ，再由公式 = 2 ) 20 2 ( ) (20 2 q q q R q = q − = − 由 L(q)＝R(q)－C(q)得 ( ) 18 0.4 50 2 L q = q − q − q = 10 时， L(q) =180 − 40 −50 = 90， L (q) 9 10 90 = = 6 已知总成本函数 2 3 C = 3000 + 7q − 4q + q ，求 （1）边际成本函数。 （2） q = 10 时的边际成本，并说明其经济意义
解(1)边际成本函数C'=(3000+7g-4g2+gy=7-8g+3g (2)当q=10时，C=227 其经济意义是，在产量为10时，再多生产1件产品增加227元的成本。 7设需求函数？=10-？，求g=20时的边际收入，并说明其经济意义。 解当需求函数g=10-号时，价格p=50-g） 总收入函数求得： R=gpq)=q510-q)=50g-5g 边际收入函数 R'=9p'(q)=50-10g g=20时，R'=gp'(g)=50-200=-150 其经济意义为：R'=-150时，R0,此时增加销售量，总收入会减少，而且每 多销售1件产品，收入减少150元。 8设边际收入函数R'=81+Q)2,Q是产量，求总收入函数。 解总收入函数是 R=∫R'd0-81+Q)2d0=-81+Q)'+c 由于当Q=0时，R=0。则代入上式得常数C=8,即 R=-81+Q)1+8 9已知边际成本C'=1+Q,边际收益R'=9-Q,Q是产量。产量2时，成本100 收益200，求利润函数。 解总成本函数是C=∫ca0=j+2d0=Q+Q+c 产量2时，成本100，意味着C(2)=100,代入上式得常数c=96,成本函数的 表达式为C=Q+5Q+96 又由边际收益R'=9-Q可得收益函数 3
3 解（1）边际成本函数 2 3 2 C = (3000 + 7q − 4q + q ) = 7 −8q + 3q （2）当 q = 10 时， C = 227 其经济意义是，在产量为 10 时，再多生产 1 件产品增加 227 元的成本。 7 设需求函数 5 10 p q = − ，求 q = 20 时的边际收入，并说明其经济意义。 解 当需求函数 5 10 p q = − 时，价格 p = 5(10 − q) 总收入函数求得： ( ) ( ) 2 R = qp q = q • 5 10 − q = 50q − 5q 边际收入函数 R = qp (q) = 50 −10q q = 20 时， R = qp (q) = 50 − 200 = −150 其经济意义为： R = −150 时， R0 ，此时增加销售量，总收入会减少，而且每 多销售 1 件产品，收入减少 150 元。 8 设边际收入函数 2 8(1 ) − R = + Q ,Q 是产量，求总收入函数。 解 总收入函数是 R = RdQ = + Q dQ = − + Q + c − − 2 1 8(1 ) 8(1 ) 由于当 Q = 0 时， R = 0 。则代入上式得常数 C = 8 ，即 8(1 ) 8 1 = − + + − R Q 9 已知边际成本 C = 1+ Q ,边际收益 R = 9 − Q ,Q 是产量。产量 2 时，成本 100 收益 200，求利润函数。 解 总成本函数是 C = CdQ = + Q dQ = Q + Q + c 2 2 1 (1 ) 产量 2 时，成本 100，意味着 C(2) =100 ，代入上式得常数 c = 96 ，成本函数的 表达式为 96 2 1 2 C = Q + Q + 又由边际收益 R = 9 − Q 可得收益函数
R-SRdQ-S(9-OHQ-9Q-j0'+c 将R2)=200代入上式得常数c=84,得收益函数的表达式为 R=90-,Q2+184 利润函数是收益函数减成本函数得 L=R-C-8Q-Q2+88 6.2习题详解 1解由于抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因此，只要求出抛物线y=04r在 其顶点00,0)处的曲率半径.由y=0.8x,y=0.8,有 yl0=0.y10=0.8 将其代入曲率计算公式，得 K=0.8 因而求得抛物线顶点处的曲率半径 p=K125 所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.5单位长 2解车轮作圆周运动，它的转角对时间的导数就是角速度，设为0，则 0-9=4-3 令1=10 得10)=37 故1=10时角速度为37。 3解：：y'=a,y"=0 =0. 0+) 4
4 R = RdQ = ( − Q)dQ = Q − Q + c 2 2 1 9 9 将 R(2) = 200 代入上式得常数 c = 84 ，得收益函数的表达式为 184 2 1 9 2 R = Q − Q + 利润函数是收益函数减成本函数得 8 88 2 L = R −C = Q − Q + 6.2 习题详解 1 解 由于抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因此，只要求出抛物线 2 y x = 0.4 在 其顶点 O(0,0) 处的曲率半径.由 y x = 0.8 ， y = 0.8 ，有 0 0 x y = = ， 0 0.8 x y = = . 将其代入曲率计算公式，得 K = 0.8， 因而求得抛物线顶点处的曲率半径 1 1.25 K = = 所以选用砂轮的半径不得超过 1.25 单位长，即直径不得超过 2.5 单位长. 2 解 车轮作圆周运动，它的转角对时间的导数就是角速度，设为 ，则 = = 4t − 3 dt d 令 t =10 得 (10) = 37 故 t =10 时角速度为 37。 3 解： y = a ， y = 0 K= 2 3 2 (1 y ) y + =0
4解设圆的方程为x2+y2=R2,y=- y=(=-y=1 y y3 1+y2) 1+-2] R 复习题六详解 一填空题 11000元按年利率6%进行连续复利，20年后的本利和表达式10002。 2设某商品的需求函数为9=100-5p,则该商品的收入函数R=20g- 销量为200件时的总收入是32000。 3某种商品的需求函数和供给函数分别为0=204-P,S=号-96，该种商品 的市场均衡价格200和市场均衡数量4。 4函数y=3x-1的弹性函数E(x) 在=1处的深性是 3x 二选择题 1设某商品的成本函数是线性函数，并己知产量为零时，成本为100，产量 为100时成本为400元，说法不正确的是(A)。 A成本函数C=100-3g B固定成本100元 C产量为200时的总成本700D产量为200时的平均成本3.5元 5
5 4 解 设圆的方程为 2 2 2 x + y = R ， y x y = − 2 ( ) y y xy y x y − = − = − = 2 2 y y x y + = 3 2 2 y x + y = 3 2 y R K= 2 3 2 (1 y ) y + = 2 3 2 3 2 [1 ( ) ] y x y R + − = 3 3 2 ( ) y R y R = R 1 复习题六详解 一 填空题 1 1000 元按年利率 6%进行连续复利，20 年后的本利和表达式 1.2 1000e 。 2 设某商品的需求函数为 q = 1000 − 5p ，则该商品的收入函数 5 200 2 q R = q − ， 销量为 200 件时的总收入是 32000。 3 某种商品的需求函数和供给函数分别为 Q = 204 − p， 96 2 = − p S ，该种商品 的市场均衡价格 200 和市场均衡数量 4 。 4 函数 y = 3x -1 的弹性函数 ( ) 3 1 3 − = x x E x ，在 x =1 处的弹性 2 3 。 二 选择题 1 设某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时，成本为 100，产量 为 100 时成本为 400 元，说法不正确的是（ A ）。 A 成本函数 C = 100 − 3q B 固定成本 100 元 C 产量为 200 时的总成本 700 D 产量为 200 时的平均成本 3.5 元
2设某商品的成本函数和收入函数分别为C=21+59,R=8g,销量为 (D)时能盈利。 A 1 C 7 D10 3对边际函数描述不正确的是(D) A利润函数L=R-C的导数L'=R'-C称为边际利润函数 B经济函数的导数称为边际函数 C边际成本函数的经济意义为，当产量为g时，每多生产1件产品所增加 的成本 D收入函数的积分是边际收入函数 三解答题 1设某商品的需求函数Q=e片（其中是p商品价格，Q是需求量），求： (1)需求弹性函数： (2)p=3、4、5时的需求弹性，并说明其经济意义。 所求弹性函数为 Bpm=Qpg0-x2-号 P e 2)=-075 6=-1 经济意义分析： 1)p=3时，E(3)=-0.75)-1,价格上涨1%则需求只减少0.75%，需求量的变 化幅度小于价格的变化幅度，适当提高价格，不会使需求量有太大下降，从而增 加总收入。 2)p=4时，E(4)=-1,价格上涨1%则需求减少1%，需求量的变化幅度等于价格
6 2 设某商品的成本函数和收入函数分别为 C = 21+ 5q， R = 8q ，销量为 （ D ）时能盈利。 A 1 B 4 C 7 D 10 3 对边际函数描述不正确的是（ D ） A 利润函数 L = R−C 的导数 L = R −C 称为边际利润函数 B 经济函数的导数称为边际函数 C 边际成本函数的经济意义为，当产量为 q 时，每多生产 1 件产品所增加 的成本 D 收入函数的积分是边际收入函数 三 解答题 1 设某商品的需求函数 4 p Q e − = （其中是 p 商品价格，Q 是需求量），求： （1）需求弹性函数； （2） p =3、4、5 时的需求弹性，并说明其经济意义。 解：（1） 4 4 1 ( ) P Q P e − = − 所求弹性函数为 4 4 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 p e p e Q p p E p Q p p P = = − = − − − （2） 0.75 4 3 E(3) = − = − 1 4 4 E(5) = − = − 1.25 4 5 E(6) = − = − 经济意义分析： 1） p =3 时， E(3) = − − 0.75 −1 ，价格上涨 1%则需求只减少 0.75%,需求量的变 化幅度小于价格的变化幅度，适当提高价格，不会使需求量有太大下降，从而增 加总收入。 2） p =4 时， E(4) = −1 ，价格上涨 1%则需求减少 1%,需求量的变化幅度等于价格
的变化幅度，此时的价格是最优价格： 3)p=5时，E(5)=-125(-1,价格上涨1%则需求减少1.25%，需求量的变化幅度 大于价格的变化幅度，适当降低价格可以增加销售量，从而增加总收入。 2某产品边际成本C=2+号，边际收益R=8-Q,Q是产量，固定成本1万元， 问产量多少时，利润最大。 解急成本通数是C=jcd0=j口+号u0=20+号+： 固定成本1万元，意味着C0)=1,代入上式得常数c=1,成本函数的表达式为 c-20+g+1 又由边际收益R'=8-Q可得收益函数 R=∫Ra0=∫8-O0=80-202+c 将RO)=0代入上式得常数c=0,得收益函数的表达式为 R=8Q-0 利润函数是收益函数减成本函数得 L=R-c=60-0-1 当L'=(60-02-1y=0解得0=4，且L4X0, 说明当Q=4时利润最大，最大利润为 L(4)=11万 3解：y'-2amr+b,y-2a 2a 0+y2)+(2a+b2]F b 当2c+b=0时，K值最大，所以，当x一20广0。时，即在点（二，乡4如C-6 2a'4a 处曲率最大。 7
7 的变化幅度，此时的价格是最优价格； 3） p =5 时， E(5) = −1.25−1 ，价格上涨 1%则需求减少 1.25%,需求量的变化幅度 大于价格的变化幅度，适当降低价格可以增加销售量，从而增加总收入。 2 某产品边际成本 2 2 Q C = + ,边际收益 R = 8 − Q ,Q 是产量，固定成本 1 万元， 问产量多少时，利润最大。 解 总成本函数是 c Q dQ Q Q C = CdQ = + = + + 4 ) 2 2 (2 2 固定成本 1 万元，意味着 C(0) =1 ，代入上式得常数 c =1 ，成本函数的表达式为 1 4 2 2 = + + Q C Q 又由边际收益 R = 8 − Q 可得收益函数 R = RdQ = ( − Q)dQ = Q − Q + c 2 2 1 8 8 将 R(0) = 0 代入上式得常数 c = 0 ，得收益函数的表达式为 2 2 1 R = 8Q − Q 利润函数是收益函数减成本函数得 1 4 3 6 2 L = R − C = Q − Q − 当 1) 0 4 3 (6 2 L = Q − Q − = 解得 Q = 4,且L(4)0, 说明当 Q = 4 时利润最大，最大利润为 L(4) =11万 3 解： y = 2ax + b， y = 2a K= 2 3 2 (1 y ) y + = 2 3 2 [1 (2 ) ] 2 ax b a + + 当 2ax +b = 0 时，K 值最大，所以，当 x= a b 2 − ,y= a ac b 4 4 2 − 时，即在点（ a ac b a b 4 4 , 2 2 − − ） 处曲率最大
1 4解y=300y=300 1 -500 在原点处K=500 在深点处的曲率半轻为p=文50m0 由F=m2.70×202-280 P5000 8
8 4 解： 5000 x y = ， 5000 1 y = K= 2 3 2 (1 y ) y + = 2 3 2 ) ] 5000 [1 ( 5000 1 x + 在原点处 K= 5000 1 ， 在原点处的曲率半径为 K 1 = =5000 由 F= 2 mv = 5000 70 2002 =280