高价导数 一、高阶导数的定义 问题：变速直线运动的加速度 设s=f(t),则瞬时速度为y(t)=f'(t) .加速度是速度v对时间t的变化率 .a(t)=v'(t)=[f'(t)'. 定义如果函数f(x)的导数f'(x)在点x处可导，即 (f(x)y'=lim I(x+Ax)-f(x) △x-→0 △x 存在，则称(f'(x)'为函数f(x)在点x处的二阶导数
高阶导数 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = →
记作∫xy八，或4f田 2 2 二阶导数的导数称为三阶导数，f"x,y”, 3 三阶导数的导数称为四阶导数，f(x),y d"y dx' 一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数，记作 f%,或4f dx" 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数， 相应地，f(x)称为零阶导数；f'(x)称为一阶导数
记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 二阶导数的导数称为三阶导数, ( ), , . 3 3 dx d y f x y 三阶导数的导数称为四阶导数, ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y 函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数
二、高阶导数求法举例 1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1设y=arctanx,求f"(0),f"(0). 解 -a+y 0-0+w-2
二、 高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f = 0; 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x f = −2
例2设y=xa(a∈R),求ym. 解y'=0xa-1 Jy"=(0xa-1）y=0(a-1)xa-2 y"=((a-1)xa-2)y'=c(a-10(a-2)xa-3 yw=0(a-1).(a-n+1)xa-" (n≥1) 若o为自然数n,则 yw=(x")=,y+=(n)y=0
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x ( ( 1) ) 2 = − − y x 3 ( 1)( 2) − = − − x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
例3y=4x"+a1x"-+.+0n-1x+an求ym 解y=nax1+(n-1)41x-2++2an-2x+-1 y"=n(n-1)a.x"-2+(n-10(n-2)ax”-3+.+2an-2 y=n(n-1).(n-k+1)ax"- +(n-10(n-2).(n-k)axr-1 +.+k:am-k →ym=n!ao
例 3 ( ) 1 1 0 1 n n n n n y = a x + a x + + a x + a 求y − − 解 2 1 2 1 1 0 ( 1) 2 − − − − = + − + + n + n n n y na x n a x a x a 2 3 1 2 ( 1) 0 ( 1)( 2) 2 − − − = − + − − + + n n n y n n a x n n a x a n k n k k n k k a n n n k a x y n n n k a x − − − − + + + − − − = − − + ! ( 1)( 2) ( ) ( 1) ( 1) 1 1 0 ( ) 0 ( ) y n!a n =
注意求n阶导数时，求出1-3或4阶后，不要急于合并 ,分析结果的规律性，写出阶导数.（数学归纳法证 明)一逐阶求导，寻求规律，写出通式 例4设y=n(1+x),求ym. 解y'= 1 y”= 1+x (1+x)2 y"= 2! 3! (1+x)3 y=- (1+x)4 y0=(-1)1n-！ (n≥1,0！=1) (1+x)
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并 ,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证 明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式 例4 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 x y + = 1 1 2 (1 ) 1 x y + = − 3 (1 ) 2! x y + = 4 (4) (1 ) 3! x y + = − ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 = + − = − − n x n y n n n
例5设y=sinx,求ym. 解y'=cosx=sin(x+ y=cox+=咖(x+经+经=sin(x+22 y-cos(x+2.)-simn(x+3.Z) ym=in(x+n经 同理可得(cos)=co(x+n:究
例5 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin( = x + ) 2 cos( y = x + ) 2 2 sin( + = x + ) 2 sin( 2 = x + ) 2 cos( 2 y = x + ) 2 sin( 3 = x + ) 2 sin( ( ) y = x + n n 同理可得 ) 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n
例6设y=e sin bx(a,b为常数)，求ym. y'=ae sin bx+be x cos bx =e (asin bx+bcos bx) b =e.va2+b2 sin(bx+p)(arctan) y"=a2+b2.[aem sin(bx+p)+be cos(bx+) =va2+b2.em .va2+b2 sin(bx+2) b y()=(a2+b2)2.e sin(bx+np) (arctan-)
例 6 sin ( , ), . ax (n) 设 y = e bx a b为常数 求y 解 y ae bx be bx ax ax = sin + cos e (a sin bx bcos bx) ax = + sin( ) ( arctan ) 2 2 ab e a b bx ax = + + = [ sin( ) cos( )] 2 2 y = a + b ae bx + + be bx + ax ax sin( 2 ) 2 2 2 2 = a + b e a + b bx + ax ( ) sin( ) ( ) 2 2 2 y = a + b e bx + n ax n n ( arctan ) ab =
2.高阶导数的运算法则： 设函数u和v具有n阶导数，则 (I)(u±y)m=um±v (2)(Cu)()=Cu() (ca+By)(m)=au(m)+By(m) (3)(u.v)=D 2! n-1)(nkD k! 莱布尼兹公式
2. 高阶导数的运算法则: 设函数u和v具有n阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u v = u v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu( ) ( ) ( ) ( ) n n n u + v = u + v ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − = + + − − + + − = + + 莱布尼兹公式
例7设y=x2e2,求y20. 解设u=e2x,v=x2,则由莱布尼兹公式知 y2=(e2x)20·x2+20(e2)9.(x2)' +20(20-1(e2*y.(x2y"+0 20 =220e2x.x2+20.219e2x.2x + 0.19 218e2x.2 2 =220e2x(x2+20x+95)
例 7 , . 2 2 (20) y x e y 设 = x 求 解 设u = e 2 x , v = x2 ,则由莱布尼兹公式知 ( ) ( ) 0 2! 20(20 1) ( ) 20( ) ( ) 2 (18) 2 (20) 2 (20) 2 2 (19) 2 + − + = + e x y e x e x x x x 2 2 2! 20 19 2 20 2 2 18 2 20 2 2 19 2 + = + x x x e e x e x 2 ( 20 95) 20 2 2 = e x + x + x