第七节无穷小的比较 引例.x→0时，3x,x2,simx都是无穷小，但 sinx l =0, lim x->0 3x x03x3 lim sinx =00 0x2 可见无穷小趋于0的速度是多样的
第七节 无穷小的比较 x → 0时, 3x, x ,sin x 引例 . 2 都是无穷小, x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的
定义.设α，B是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1im =0.则称B是比α高阶的无穷小，记作 B=o() imP=o,则称B是比a低阶的无穷小 若 若lim =C≠0，则称B是a的同阶无穷小八 a 若lim =C≠0，则称B是关于α的k阶无穷小 若1m2=-1,则称B是a的等价无穷小，记作a-乃 Q 或B~
定义. lim = C 0, k lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() lim = , 若 若 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作
例1、证明当x→0时1+x-1~片 证：1im /1+x-1 x-→0 a-b”=(a-b)(a-1+a-2b+.+b"-1)） (1+x)”-1 lim *20 ax[(1+xy+(1+xy2+.+1] =1 .当x→0时，1+x-1~ n
例1、证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b
定理1、a~B,三B=+o(C) 证：a~p.一limE=】 一lim2-)=0,即lmB-&=0 B-=o(a),即B=&+o(） 例如，x→0时，sinx心x,tanx心x,故 x→0时，Sinx=x+o(x),tanx=x+o(x)
定理 1 、 ～ ～ = + o () 证 : lim = 1 lim( − 1 ) = 0, lim = 0 − 即 − = o (), 即 = + o () 例如 , x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x)
定理2、设a~a,pg,且im存在，则 证： lim lim B lim lim 例如， tan 2x 2x2 lim lim x-→0sin5x x>05x 5 说明：设对同一变化过程，《，B为无穷小，由等价 无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则
定理2 、设 且 存在 , 则 lim 证: lim = lim = lim lim lim = lim 例如, x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 = 说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 无穷小的性质, 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则
例2. 求lim x->0 cOSx-1 解：当x→0时， 1+x2-1-x2 2 cosx-1~ -x1 2 :.原式=lim x->0
例2. 求 . cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 − + − → x x x 解:
内容小结 1.无穷小的比较 设，B对同一自变量的变化过程为无穷小，且0≠0 B是的高阶无穷小 00, B是α的低阶无穷小 lim C(≠0)， B是α的同阶无穷小 1 B是α的等价无穷小 lim =C≠0， B是a的k阶无穷小
内容小结 0 1. 无穷小的比较 设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小