第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 连续函数的和、差、积商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
一、 连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积， 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 例如，sinx,cosx连续 →tanx,cotx在其定义域内连续 二 反函数与复合函数的连续性 定理2.连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调 递增（递减）， 例如，y=snx在[-，]上连续单调递增， 其反函数y=arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增
一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 在其定义域内连续 例如, 二、反函数与复合函数的连续性 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调
定理3.连续函数的复合函数是连续的， 证：设函数1=(x)在点xo连续，且(x0）= 函数y=f(x)在点uo连续，即1imf(u)=f(4o) 2u→2l0 于是 lim f[(x)]=lim f(u)=f(uo)=f[(xo)] x→x0 2u→u0 故复合函数f[p(x)]在点x,连续
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 ( ) . 0 u0 x = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f x 故复合函数 且 即
例、 y=sin二是由连续函数链 y=Snu,u∈(-o,+oo） x∈R 复合而成，因此y=sin二在x∈R”上连续
例、 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin
三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如， y=1-x2 的连续区间为「-1,1]（端点为单侧连续 y=Insinx的连续区间为(2nx,(2n+l)x),n∈Z 而y=√cosx-1的定义域为x=2nn,neZ 因此它无连续点
三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y = 1− x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y = lnsin x 的连续区间为 y = cos x −1 的定义域为 因此它无连续点 而
例 求lim loga (1+x) x0 X 解： 原式=limlog1+x)=log。e= 例4. x>0 ln a 求 lim(1+2x)sin* x>0 3 .2x 解： 原式=1ime1nd+2列）=lime =es x→0 x→0 说明：若lim(x)=0,limv(x)=oo,则有 X→x0 x-→x0 1+aMx)])=e imv(x)ln[1+(x)】] lim v(x)u(x) x→X0
例 求 解 : 原式 例4. 求解: 原式 ln( 1 2 ) sin3 x x + 说明 : 若 lim ( ) 0, 0 = → u x x x 则有 + = → ( ) lim 1 ( ) 0 v x x x u x lim ( ) , 0 = → v x x x e = e lim ( ) ( ) 0 v x u x x → x x3 2 x
内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 初等函数在 定义区间内 连续函数的反函数连续 连续 连续函数的复合函数连续 说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性
内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性