第二节数列的极限 一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
第二节 数列的极限 二 、收敛数列的性质 一、数列极限的定义
一、数列极限的定义 定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作xn=f(n) 或{xn}.x,称为通项（一般项） 设{xn}为一数列如果存在常数a有下列关系： Vs>0,3正数N,当n>N时，总有xn-ao) n->o0 此时也称数列收敛，否则称数列发散
一 、数列极限的定义 定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 设 为一数列 如果存在常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . x a n n = → lim 或 x → a (n → ) n 则称该数列 的极限为 a
几何解释 a-g xw a xN2 ate a-8N) 即 xm∈U(a,e)(n>N) 例如， 123 23’41 收敛数列 2,4,8,.,2n,.xn=2-→o0(n→∞） 发散数列
a − x a + n (n N ) 即 x (a, ) n (n N ) 几何解释 : 例如, , 1 , , 4 3 , 3 2 , 2 1 n + n +1 = n n xn →1 (n →) a − a + ( ) N+1 x N+2 x 2 , 4 , 8 , , 2 n , n n x = 2 → (n →) 收敛数列 发散数列
例1、已知xn (-1)” 证明1imxn=0. (n+1)2 n→o0 证：xn-0= Ve∈(0,1)，欲使xn-0 9 取V=令-，则当n>N时，就有，-0<6， 故limx=lim 0 n-→00 n-→∞(n+1)2 也可由x-0=a4 说明：N与ε有关，但不唯一 取 N=[-1] 不一定取最小的N
已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 + n (0,1), 欲使 只要 , 1 1 n + 即 n 取 1], 1 = [ − N 则当 n N 时, 就有 − 0 , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 − N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 例1
例2、设91+ Ing In al 因t取N-当N脱，有 q-0<8 故 lim g"1 =0 1n-→0
设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 + = q N ln ln 1 , 则当 n > N 时, 就有 − − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n + 的极限为 0 . 例2
二、 收敛数列的性质 定理1（极限的唯一性）如果数列{x,收敛，那 么它的极限唯一. 证：用反证法.假设1imxn=a及lim=b,且ao0 取e=b,因lim=a,故存在N1,使当n>N,时 n-→00 b-a n-akb2,从而xnN2时，有 n-→o0 xn-b水K2,从而xn>岁 取N=max{N1,N2},则当n>N时，xn满足的不等式 矛盾.故假设不真！因此收敛数列的极限必唯一
证: 用反证法. 及 且 a b. 取 因 lim x a, n n = → 故存在 N1 , 从而 2 a b n x + 定理1（极限的唯一性）如果数列 收敛，那 么它的极限唯一. 使当 n > N1 时, 假设 二、收敛数列的性质 同理, 因 lim x b, n n = → 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 从而 2 a b n x + − 2 3a b 2 2 b a n b a x a − − − − 2 a b n x + 2 2 b a n b a x b − − − − n a b x + 2 2 3b−a 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. max , , 则当 n > N 时, 取N = N1 N2 故假设不真 ! n x 满足的不等式 { }n x
例、证明数列xn=(-1)”+1(n=1,2,.)是发散的 证：用反证法 假设数列{x,}收敛，则有唯一极限a存在 取8=)，则存在V,使当n>V时，有 a-m<a+ a- a+ 但因x,交替取值1与-1，而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间(Q-2,Q+2)内，因此该数列发散
证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 , 2 1 = 则存在 N , 2 1 2 1 a − xn a + 但因 n x 交替取值 1 与－1 , ( , ) 2 1 2 1 a − a + 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n > N 时 , 有 因此该数列发散 . 例
定理2、（收敛数列的有界性) 如果数列{收敛，那么数列 走有界。 证：设1mxn=a,取e=1,则3N,当n>N时， n->00 有xn-a<1,从而有 |xn (xn-a)+a5 xn-a+al<1+al 取M=max{x,x,.,xN,1+a}则有 x,≤M(n=1,2,.).由此证明收敛数列必有界 说明：此性质反过来不一定成立.例如 数列 -1)* 虽有界但不收敛
证: 设 取 =1, 则 N , 当 n N 时, 从而有 xn − a + a 1+ a 取 M = max x1 , x2 , , xN , 1+ a 则有 x M ( n =1, 2 , ). n 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 1 ( 1) + − n 虽有界但不收敛 . x − a 1, 有 n 数列 定理2、（收敛数列的有界性） 如果数列 {x 收敛，那么数列 n } { 一定 xn } 有界
定理3、（收敛数列的保号性) 若lim xn=a,且a>0(N n-→o∞ 时，有xn>0(0,取s=号，则3NeN*,当n>N时， kn-aa-号>0 推论：若数列{x,从某项起xn≥0（≤0）且imxn=a, n-→00 则 (≤0).（用反证法证明）
若 且 时, 有 ( 0), ( 0). 证: 对 a > 0 , 取 推论: 若数列 从某项起 ( 0) ( 0). (用反证法证明) 定理3、（ 收敛数列的保号性） { }n x 则
定理4、（收敛数列的与其子数列的关系) 如果数列{x收敛于a那么它的任意子数 列也收敛，且极限也是a。 证：设数列{xn}是数列{xn}的任一子数列 若1imxn=a,则e>0,3N,当n>N时，有 n→o0 xn-aK时，有 n>nx≥W 从而有 <8,由此证明 lim xnk=a. k→0
x − a , k n 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 0, N , 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 k K 时, 有 nk N 从而有 由此证明 lim x a . k n k = → 定理4、（收敛数列的与其子数列的关系） 如果数列 收敛于a那么它的任意子数 列也收敛，且极限也是a。 { }n x