中值定理 第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、 法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的 应用问题。 我们知道，函数y=f(x)在区间 上的增量y=f(x,+x)-f(x)可用它的微分 少=f'(x)△k来近似计算其误差是比x 高阶的无穷小 即 4少≈f',)是近似关系（充分小
中值定理 第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、 法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的 应用问题。 我们知道，函数 ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f y = f (x) 在区间 x0 , x0 + x 上的增量 可用它的微分 dy = f (x0 )x 来近似计算 其误差是比 x 高阶的无穷小 ( ) x0 f x y 即 是近似关系 (| x |充分小)
而im 少=f(x)是极限关系，都不便应用 c-→0 我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既 不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange 中值定理给出了圆满的解答： Ay=f(xo+04x)Ax 导数应用的理论基础 本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定 理的特殊情况)，由特殊过渡到一般来证明 Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理 就可以给出Taylor中值定理及L,Hospital法则， 这就是本章理论部分的主要内容
lim ( ) 0 0 f x x y x = → 而 是极限关系,都不便应用 我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既 不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange 中值定理给出了圆满的解答： y = f (x0 +x)x ——导数应用的理论基础 本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定 理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明 Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理 就可以给出Taylor中值定理及L， Hospital法则， 这就是本章理论部分的主要内容
理论部分结构图 特例 推广 Rolle定理 Lagrange定理 Cauchy定理 推 Taylor定理
理论部分结构图 Lagrange定理 特例 Rolle定理 推广 Cauchy定理 推 广 Taylor定理
本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论 的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性和 凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的 条件；有了L'Hospital法则，可以进一步讨论 0'00-0,0-o,0,co',1 000 等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和 单调性还可证明一些不等式。 重点 微分中值定理 L,'Hospital法测 Taylor公式 求函数的极值和最值
本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论 的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性和 凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的 条件；有了L， Hospital法则，可以进一步讨论 − , ,0 , ,0 , ,1 0 0 0 0 等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和 单调性还可证明一些不等式。 重点 微分中值定理 L， Hospital法则 Taylor公式 求函数的极值和最值
维点 中值定理 L'Hospital法则的运用 利用中值定理证明不等式 基车要求 ①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之 间的关系 ②熟练运用L一法则求未定式的极限 ③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 e*,sinx,cosx,In(1+x),(1+x) 的Taylor公式
难点 中值定理 L， Hospital法则的运用 利用中值定理证明不等式 基本要求 ①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之 间的关系 ②熟练运用L—法则求未定式的极限 ③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 e ,sin x,cos x,ln(1 x),(1 x) x + + 的Taylor公式
④熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性 来证明不等式 ⑤正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定 条件及求法 ⑥掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点 ⑦会用中值定理证明不等式 先讲中值定理，以提供必要的理论基础
④熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性 来证明不等式 ⑤正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定 条件及求法 ⑥掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点 ⑦会用中值定理证明不等式 先讲中值定理，以提供必要的理论基础
一、罗尔(Rolle)定理 定理Rolle)若函数f(x)满足 (1)在闭区间[a,b上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)在区间端点处的函数值相等f孔)=b) 则在(4，b)内至少存在一点5,5∈(a,b)使得函数 f(x)在该点的导数为零，即f'()=0 例如，f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). 在-1,3上连续，在(-1,3)上可导，且f(-1)=f3)=0, .f'(x)=2(x-1),取ξ=1，(1∈(-1,3)f'(传)=0
一、罗尔(Rolle)定理 定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b) ( ) ( ) 0 ( , ) , ( , ) = f x f a b a b 在该点的导数为零，即 则在 内至少存在一点 使得函数 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
几何解释： y=f(x) 若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等， 且除去两个端点外处 E2 bx 处有不垂直于横轴的 切线，在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的 切线是水平的. 物理解释： 变速直线运动在折返点处，瞬时速度等于零
几何解释: x y o y = f (x) a b C 1 2 若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等， 且除去两个端点外处 处有不垂直于横轴的 切线， . , 切线是水平的 在曲线弧AB上至少有一点C 在该点处的 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零
证f(x)在[a,b]连续，必有最大值M和最小值m. (1)若M=m. 则f(x)=M. 由此得f'(x)=0.H飞∈(a,b),都有f'(传)=0. (2)若M≠m.f(a)=f(b), .最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a), 则在(a,b)内至少存在一点5使f()=M. .f(传+△x)≤f(5),.f(作+△x)-f()≤0
证 f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M = m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若Ax>0,则有f传+△)-f)≤0： △x 若Ax<0,则有f传+Ac)-f⑤≥： △x f传)=1imf传+△)-f⑤≥0： △x→-0 △x 传)=1imf5+)-f传)sGf'传存在， ΛK+0 △x .f'(传)=f() .只有f'(传)=0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0