第三节函数的极限 数列极限的定义 二、收敛数列的性质
第三节 函数的极限 一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
一、函数极限的定义 (一)自变量趋于有限值时函数的极限 定义.设函数f(x)在点x的某去心邻域内有定义 若V8>0,38>0,当00,38>0,当x∈U(xo,δ) x→x0 时，有f(x)-A<8
一、函数极限的定义 （一）自变量趋于有限值时函数的极限 定义 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 0, 0, 当 0 x − x0 时, 有 f (x) − A 则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作
几何解释： A+8 f(x A A- x0-δX0x0+0x 这表明 极限存在 函数局部有界 (P35定理2)
几何解释: x0 + A+ A− A x0 x y y = f (x) 极限存在 函数局部有界 (P35定理2) 这表明:
例1、 证明 limC=C(C为常数) x→X0 证： |f(x)-A=C-C=0 故V8>0,对任意的δ>0，当0xo
例1、 证明 证: f (x) − A 故 0, 对任意的 0, 当 时 , 因此 总有
例2、 证明lim(2x-1)=1 x1 证： f(x)-A=(2x-1)-1=2x-1 V8>0欲使f()-A1
例2、 证明 证: = 2 x −1 0, 欲使 取 , 2 = 则当 0 x −1 时 , 必有 因此 只要
例3、 证明 lim -1 =2 ->1x-1 证1-2*1-2k-1 故Ve>0,取8=8，当0<x-1<6时，必有 x2-1 因此 lim=2 x→1x-1
例3、 证明 证: f (x) − A 故 0, 取 = , 当 时 , 必有 − − − 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x
例4、 证明：当x0>0时imx=√Jo x→X0 证：-A到=x-=x+0 x-X0 x-X0 Vε>0，欲使f(x)-A<,只要|x-x<Vx6,且 x≥0.而x≥0可用x-x0≤xo保证.故取 δ=min{√x,x},则当0<x-x<δ时，必有 x-xo <8 因此 lim =xo x X0 x→x0
例4、 证明: 当 证: 0 0 1 x x x − 0, 欲使 且 而 可用 因此 只要 0 0 lim x x x x = → 时 故取 min , , 0 0 = x x 则当 0 x − x0 时, 保证 . 必有 o x 0 x x
左极限与右极限 左极限：f(xo)=lmf(x)=A .=8>0,38>0,当x∈(x-δ，x) 时，有/(x)-A0,38>0,当x∈(xo,x0+δ) 时，有f(x)-A<6. 定理3. lim f(x)=A lim f(x)=lim_f(x)=4 x→X0 X→X0 x→X0
左极限与右极限 左极限 : = − ( ) 0 f x f x A x x = → − lim ( ) 0 0, 0, 当 ( , ) 0 0 x x − x 时, 有 右极限 : = + ( ) 0 f x f x A x x = → + lim ( ) 0 0, 0, 当 ( , ) x x0 x0 + 时, 有 定理 3 . f x A x x = → lim ( ) 0 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0
(二)自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2.设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，若 V8>0,3X>0,当x>X时，有f(x)-Ao) X→00 几何解释： y=f(x) X 0 直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线
（二）自变量趋于无穷大时函数的极限 − X X A+ A− o x y y = f (x) A 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 X 0, 则称常数 时的极限, f x A x = → lim ( ) 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 0, A 为函数
例6 证明 lim=0. x→0X 证： -0 故V8>0,欲使 -0 取X=,当x>X时，就有 -0 因此 1im1=0 X→0X 注：y=0为y='的水平渐近线
例6 证明 0. 1 lim = x→ x 证: 0 1 − x x 1 = 取 , 1 X = 因此 注: 就有 故 0, 欲使 即 o x y x y 1 =