第六章最或是船位及误差评定 航海上，驾驶员经常观测陆标方位或距离，或者观测天体高度等来确定船位，同时根据 船位误差理论的原则采用正确的方法，对一系列的数据进行处理以提高观测结果的精度，本 章将研究最或是船位的基本理论和船位误差理论。 6.1最或是船位及其误差 6.1.1船位线 在航海定位中，测者对物标进行观测时，其观测值为常数值的点的几何轨迹，称为观测 者的位置线或等值线。航海上船位位置线是指满足某一观测值为定值的点的轨迹，它是一条 (或一对)等值线.在观测时刻，测者（船舶）的位置只可能在位置线上，在观测瞬间，船位 位置线通常以船位线来表示，即指推算船位附近位置线的一段或位置线上某点的切线的一段 航海上常见的船位线有主要有：方位船位线、距离船位线、方位差船位线、距离差船位线、 天文船位线和转移船位线等.下面主要讨论方位船位线和距离船位线. 6.1.2船位线的概念 1、方位船位线：在近距离上，是和所观测已知位置的物标具有相同方位的点的轨迹 (1)平面上：方位船位线是物标M与船位P两点间的直线（如图6.1）： (2)球面上：方位船位线是趋向极点P,且通过船位P和物标M所连的恒位线（如图6.2）. 图6.1 图6.2 2、距离船位线： (1)平面上：是以物标M为圆心，船位与物标的距离PM为半径的圆： (2)球面上：是以物标M为极点，船位与物标的距离PM为极距的球面小圆， 3、方位差船位线（水平角位置线）：在平面上，是船位P与两物标M,M,所构成三角形 128
128 第六章 最或是船位及误差评定 航海上，驾驶员经常观测陆标方位或距离，或者观测天体高度等来确定船位，同时根据 船位误差理论的原则采用正确的方法，对一系列的数据进行处理以提高观测结果的精度，本 章将研究最或是船位的基本理论和船位误差理论. 6.1 最或是船位及其误差 6.1.1 船位线 在航海定位中，测者对物标进行观测时，其观测值为常数值的点的几何轨迹，称为观测 者的位置线或等值线. 航海上船位位置线是指满足某一观测值为定值的点的轨迹，它是一条 （或一对）等值线. 在观测时刻，测者(船舶)的位置只可能在位置线上，在观测瞬间，船位 位置线通常以船位线来表示，即指推算船位附近位置线的一段或位置线上某点的切线的一段. 航海上常见的船位线有主要有：方位船位线、距离船位线、方位差船位线、距离差船位线、 天文船位线和转移船位线等. 下面主要讨论方位船位线和距离船位线. 6.1.2 船位线的概念 1、方位船位线：在近距离上，是和所观测已知位置的物标具有相同方位的点的轨迹. (1）平面上：方位船位线是物标 M 与船位 P 两点间的直线（如图 6.1）； (2）球面上：方位船位线是趋向极点 PN 且通过船位 P 和物标 M 所连的恒位线（如图 6.2）. 图 6.1 图 6.2 2、距离船位线： （1）平面上：是以物标 M 为圆心，船位与物标的距离 PM 为半径的圆； （2）球面上：是以物标 M 为极点，船位与物标的距离 PM 为极距的球面小圆. 3、方位差船位线（水平角位置线）：在平面上，是船位 P 与两物标 M1 ， M2 所构成三角形
的外接圆圆弧的一部分（如图6.3）. 4、距离差船位线：是以两物标M,M,为焦点的双曲线（如图6.4） 图6.3 图6.4 由于球面上的位置线都比较复杂，有时要把它们全部画在图上，难度较大，且没有必 要.航海人员感兴趣的是航海定位和导航，仅仅只要画出位置线在船舶附近的一小段，或 者画出这一小段位置的切线，来代表这条位置线，所以在海图作业时，通常只画出船位线， 且用船位线来代替位置线进行定位和导航。 6.1.3船位线误差 1.方位船位线误差 观测某一物标的方位船位线的系统误差ε为： 6=t590 57.3 =±s8 D.arcl° (6.1.1) 其中：a=571的度值 观测某一物标的方位船位线的随机误差σ为： 0=±gD 573 =o D.arel° (6.1.2) 其中：D为测者到物标的距离，为系统观测误差，为随机观测误差。 由系统误差和随机误差的表达式可知在观测误差6或0。一定的条件下，观测的物标越 近，船位线误差￡或。越小，因此应尽量观测近物标的方位来求方位船位线 2.距离船位线误差 观测某一物标的距离船位线的系统误差为 129
129 的外接圆圆弧的一部分(如图 6.3). 4、距离差船位线：是以两物标 M1 ， M2 为焦点的双曲线(如图 6.4). 图 6.3 图 6.4 由于球面上的位置线都比较复杂，有时要把它们全部画在图上，难度较大，且没有必 要. 航海人员感兴趣的是航海定位和导航，仅仅只要画出位置线在船舶附近的一小段，或 者画出这一小段位置的切线，来代表这条位置线，所以在海图作业时，通常只画出船位线， 且用船位线来代替位置线进行定位和导航. 6.1.3 船位线误差 1．方位船位线误差 观测某一物标的方位船位线的系统误差 为： 0 0 57 .3 B D = 0 0 1 = B D arc （6.1.1） 其中： 0 0 1 1 57 .3 arc = = 0 1 的弧度值. 观测某一物标的方位船位线的随机误差 为： ＝± 0 0 57 .3 B D ＝ 0 0 1 B D arc （6.1.2） 其中： D 为测者到物标的距离， B 为系统观测误差， B 为随机观测误差. 由系统误差和随机误差的表达式可知在观测误差 B 或 B 一定的条件下，观测的物标越 近，船位线误差 或 越小，因此应尽量观测近物标的方位来求方位船位线. 2．距离船位线误差 观测某一物标的距离船位线的系统误差为 ：
E=±8D·D (6.1.3) 观测某一物标的距离船位线的随机误差σ为： G=top.D (6.1.4) 其中：D为测者到物标的距离，口。为随机观测误差，6D为系统观测误差。 由系统误差和随机误差的表达式可知在观测误差6或0。一定的条件下，观测的物标越 近，船位线误差ε或σ越小，因此应尽量观测近物标的距离来求距离船位线。距离船位线 的误差通常以距离D的百分率给出。 6.1.4船位线法方程组 取推算船位点作为原点O,建立平面直角坐标系XOY,X轴指向北，Y轴指向东（如 图6.5). UaUc时，△.>0，船位线在法线正向一侧： 当U<Uc时，△n<0,船位线在法线反向一侧： 当U测=Uc时，△n=0,船位线通过原点 设同时独立观测条船位线，就有如下船位线观测方程组： 130
130 = D D （6.1.3） 观测某一物标的距离船位线的随机误差 为： = D D （6.1.4） 其中： D 为测者到物标的距离， D 为随机观测误差， D 为系统观测误差. 由系统误差和随机误差的表达式可知在观测误差 D 或 D 一定的条件下，观测的物标越 近，船位线误差 或 越小，因此应尽量观测近物标的距离来求距离船位线. 距离船位线 的误差通常以距离 D 的百分率给出. 6.1.4 船位线法方程组 取推算船位点作为原点 O ，建立平面直角坐标系 XOY ，X 轴指向北， Y 轴指向东（如 图 6．5）. 图 6.5 在 XOY 坐标系下，线性化船位线的法式方程为： = + n x y cos sin （6.1.5） 式中： 为船位线法线方位，简称船位线方位，其正向指向函数值 U 增加的方向. n 为船 位线截距，即自原点到船位线垂线距离. 当 U U 测＞ C 时， n 0 ，船位线在法线正向一侧； 当 U U 测 C 时， n 0 ，船位线在法线反向一侧； 当 U U 测 = C 时， n = 0 ，船位线通过原点. 设同时独立观测 n 条船位线，就有如下船位线观测方程组： U U 测 C
Xa+sma-M=0,A-答1-i2n22》&16 式中：△，表示第i条船位线截距，可把它理解为观测值：G,表示第i条船位线标准误差，乃 表示第条船位线权 根据船位线观测方程组，可直接得到船位线法方程组： [pcosax+[pcosasin aly=[pAncosal (6.1.7) [pcosasin ax+[psin'aly=[pAnsin al 其中：【]为高斯和，方程组(6.1.3)的解为： xIpsin'allpAncosa]-IpcosasinallpAnsin) yIpeoallpAnsina]-Ipeos@sinallpAncosa) (6.1.8) [pcosallpsina]-[pcosasina 这就是最或是船位坐标(x,y): 例设有三条独立等精度船位线： 0D%=t10,2=20,8三40 1a=0° 1=120° a=240 求最或是船位。 解由于是等精度，所以船位线法方程组为： [[cos2alx+[cosasin aly=[Ancosa] [cosasin alx+[sin2 aly=[Ansin a] 列出表6-1如下： 表6-1 coso sin a; cos2 a cosa, sin2a,An,. △n, sin a, sin a, +1.0 1 0 0 0 1 0° +2.'0 120 0.5 0.866 0.25 0.433 0.75 1.732 +4."0 240° -0.5 0.866 0.25 0.433 0.75 -3.464 0.5 1.5 -2 -1.732 由此得船位线法方程组： 3
131 cos sin 0 i i i x y n + − = ， 2 i 2 i u p = （ i = 1,2, , n ，n 2 ） （6.1.6） 式中： i n 表示第 i 条船位线截距，可把它理解为观测值； i 表示第 i 条船位线标准误差， i p 表示第 i 条船位线权. 根据船位线观测方程组，可直接得到船位线法方程组： + = + = [ cos sin ] [ sin ] [ sin ] [ cos ] [ cos sin ] [ cos ] 2 2 p x p y p n p x p y p n . （6.1.7） 其中：[ ]为高斯和，方程组（6.1.3）的解为： 2 2 2 2 2 2 2 2 [ sin ][ cos ] [ cos sin ][ sin ] [ cos ][ sin ] [ cos sin ] [ cos ][ sin ] [ cos sin ][ cos ] [ cos ][ sin ] [ cos sin ] p p n p p n x p p p p p n p p n y p p p − = − − = − ， （6.1.8） 这就是最或是船位坐标 ( , ) x y . 例 设有三条独立等精度船位线： （1） 1 0 1. 0 0 n = + = ，（2） 2 0 2. 0 120 n = + = ，（3） 3 0 4. 0 240 n = + = ，求最或是船位. 解 由于是等精度，所以船位线法方程组为： + = + = [cos sin ] [sin ] [ sin ] [cos ] [cos sin ] [ cos ] 2 2 x y n x y n 列出表 6-1 如下： 表 6-1 i n i i cos i sin i 2 cos i cos i sin i 2 sin ni i cos ni i sin 1 +1. 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 + 2. 0 120 -0.5 0.866 0.25 -0.433 0.75 -1 1.732 3 + 4. 0 240 -0.5 -0.866 0.25 0.433 0.75 -2 -3.464 [] 0.5 0 1.5 -2 -1.732 由此得船位线法方程组：
1-5=-1732'所以=4 0.5x=-2 y-1.2 6.2图解法求最或是船位 在航海实际工作中，上节根据船位线法方程组，计算出最或是船位坐标的方法过于复杂 因此，有必要利用几何的方法求最或是船位。下面只介绍中心图解法 6.2.1中心图解法 对最或是船位坐标公式(6.1.4)作适当变换，可得如下关系式： ∑∑P[p四 X= ∑P,Wp四 (6.2.1) y=- ∑∑PD P=p.p,sin'(a-a). (6.2.2) 式中：P,为第1，j两条船位线交点权：a,C,表示第1，j两条船位线的方位角：P,P,表 示第1，j两条船位线的权：x,y表示第1，j两条船位线的交点坐标.其中 sin(a,-a） (6.2.3) = △n,cosa,-△n,cosa cos(a-a,) 公式(6.2.1)与力学中求质点系质心坐标的公示相比较，形式上完全一样.这样，如 将第1，广两条船位线的交点M看作具有质量P的质点，则这样一个质点系的质心位置就 是我们要确定的最或是船位。而当M,位置和P,数值已知时，我们便可用图解法求出船位。 因此，此法被称为中心图解法 例如图6,2.1所示，用中心图解法确定最或是船位 132
132 = − = − 1.5 1.732 0.5 2 y x ，所以 = − = − 1.2 4 y x . 6.2 图解法求最或是船位 在航海实际工作中，上节根据船位线法方程组，计算出最或是船位坐标的方法过于复杂. 因此，有必要利用几何的方法求最或是船位. 下面只介绍中心图解法. 6.2.1 中心图解法 对最或是船位坐标公式（6.1.4）作适当变换，可得如下关系式： [ ] [ ] [ ] [ ] ij ij i j ij i j ij ij i j ij i j p x px x p p p y py y p p = = = = ， （6.2.1） 2 sin ( ) ij i j j i p p p = − . （6.2.2） 式中： ij p 为第 i ， j 两条船位线交点权； , i j 表示第 i ， j 两条船位线的方位角； , i j p p 表 示第 i ， j 两条船位线的权； ij x ， ij y 表示第 i ， j 两条船位线的交点坐标. 其中： sin sin sin( ) cos cos cos( ) i j j i ij j i i j j i ij j i n n x n n y − = − − = − ， （6.2.3） 公式（6.2.1）与力学中求质点系质心坐标的公示相比较，形式上完全一样. 这样，如 将第 i ， j 两条船位线的交点 Mij 看作具有质量 ij p 的质点，则这样一个质点系的质心位置就 是我们要确定的最或是船位. 而当 Mij 位置和 ij p 数值已知时，我们便可用图解法求出船位. 因此，此法被称为中心图解法. 例 如图 6.2.1 所示，用中心图解法确定最或是船位
C C A=15 =1.0 Ma.o)∠ 月20 月-15 1.0 B A1,5 6) 图6.2.1 解各交点权为： P=D,Esin245°=1.5×2.0×0.5=1.5， D=PPsin245°=1.0×2.0×0.5=1.0 P=PP sin245°=1.0x1.5×1=1.5. 由于P=P=1.5,所以，点M是AC的中点，点M的结合权为P4=P4+P=3.0, 且P=1.0,所以，F点由MF:FB=1:3确定，即F点是最或是船位 6.2.2船位误差三角形的处理 1、船位误差三角形：由于观测误差的存在，三条同时观测的船位线，不可能交于一点，而 是形成一个三角形，则把这样的三角形称为船位误差三角形. 2、反中线：在三条等精度船位误差三角形ABC上，取AB边上的中点M,则CM是AB 边的中线。作CM',满足：∠MCB=∠MCA,称CM'为AB边的反中线（如图6.2.2） C A M' B M P-1 M' 图6.2.2 图6.2.3 3、权反中线：在三条非等精度船位误差三角形ABC上，取AB边上的点M,满足 BM:AM=P:P, 称CM为AB边的权中线.作CM'使∠MCB=∠MCA,则CM'称为AB边的权反中线 (如图6.2.3) 133
133 图 6.2.1 解 各交点权为： 2 0 2 3 sin 45 1.5 2.0 0.5 1.5 P P P A = = = ， 2 0 1 3 sin 45 1.0 2.0 0.5 1.0 P PP B = = = ， 2 0 1 2 sin 45 1.0 1.5 1 1.5 P PP C = = = . 由于 PA = PC =1.5 ，所以，点 M 是 AC 的中点，点 M 的结合权为 PM = PA + PC = 3.0， 且 PB =1.0 ，所以， F 点由 MF : FB =1: 3 确定，即 F 点是最或是船位. 6.2.2 船位误差三角形的处理 1、船位误差三角形：由于观测误差的存在，三条同时观测的船位线，不可能交于一点，而 是形成一个三角形，则把这样的三角形称为船位误差三角形. 2、反中线：在三条等精度船位误差三角形 ABC 上，取 AB 边上的中点 M ，则 CM 是 AB 边的中线. 作 CM ，满足： = MCB MCA ，称 CM 为 AB 边的反中线（如图 6.2.2）. 图 6.2.2 图 6.2.3 3、权反中线：在三条非等精度船位误差三角形 ABC 上，取 AB 边上的点 M ，满足 1 2 BM AM P P : : = ， 称 CM 为 AB 边的权中线. 作 CM 使 = MCB MCA ，则 CM 称为 AB 边的权反中线 （如图 6.2.3）
如果三条船位线只含有随机误差，由中心图解法一般原理可得：最或是船位是误差三角 形各边权反中线的交点：特别地，当三条船位线等精度时，最或是船位是各边反中线的交点。 设有三条船位线等精度（如图6.2.2），在△M4CM和△BCM中，由正弦定理得： CM sin A CM sinA AM sin∠ACM'BM=sin∠BCM' AM-sin B sin∠4CM BM sinA sin∠BCM 因为M是侣边的中点，所品，即 sin∠4CM sinA (△) sin∠BCM sin B 同理，在△4CM'和△BCM中，由正弦定理得： AM'_sin B sin.∠ACM BM'sin A'sin.∠BCM 因为CM是AB边的反中线，所以∠ACM=∠BCM,∠BCM=∠ACM,由此得： AM'_sin B sin∠BCM BM'sin A'sin∠ACM 由式（△），可得 AM'sin2B P BM sinA P. 所以 AM'.P.=BM'.Pa. 这正是A,B两点按权结合于M点的条件.AB边的反中线CM是最或是船位的轨 迹.三条反中线的交点当然就是最或是船位了. 同理可证，三条权反中线的交点是最或是船位。 中心图解法的主要优点是： (1)适用于任意非等精度独立船位线求最或是船位的一般方法： (2)具有明显的力学意义，几何上非常直观，避免繁琐的数学解析计算 中心图解法的主要缺点是：当船位线数目n较大时，交点数目C:=-将迅速增 2 多 当然，航海实际应用中，一般不超过4，又当某些交点权相对较小时（尤其交角很小 的交点权)，可以忽略不计，以简化作图。 学习中心图解法的意义还在于，在严格的方法指导下，经过一定的实践，可以用目测 估计的方法确定最或是船位。在船位线等精度的情况下有如下的结论： 134
134 如果三条船位线只含有随机误差，由中心图解法一般原理可得：最或是船位是误差三角 形各边权反中线的交点；特别地，当三条船位线等精度时，最或是船位是各边反中线的交点. 设有三条船位线等精度（如图 6.2.2），在 ACM 和 BCM 中，由正弦定理得： sin sin CM A AM ACM = ， sin sin CM A BM BCM = ， sin sin . sin sin AM B ACM BM A BCM = ， 因为 M 是 AB 边的中点，所以 1 AM BM = ，即 sin sin sin sin ACM A BCM B = ． (△) 同理， 在 ACM BCM 和 中 ，由正弦定理得： sin sin . sin sin AM B ACM BM A BCM = ， 因为 CM 是 AB 边的反中线，所以 = ACM BCM ， = BCM ACM ，由此得： sin sin . sin sin AM B BCM BM A ACM = ， 由式(△)，可得 2 2 sin sin B A AM B P BM A P = = ， 所以 AM P BM P A B = . 这正是 A ， B 两点按权结合于 M 点的条件. AB 边的反中线 CM 是最或是船位的轨 迹. 三条反中线的交点当然就是最或是船位了. 同理可证，三条权反中线的交点是最或是船位. 中心图解法的主要优点是： （1）适用于任意非等精度独立船位线求最或是船位的一般方法； （2）具有明显的力学意义，几何上非常直观，避免繁琐的数学解析计算. 中心图解法的主要缺点是：当船位线数目 n 较大时，交点数目 2 n n( 1) 2 n C − = 将迅速增 多. 当然，航海实际应用中， n 一般不超过 4 ，又当某些交点权相对较小时(尤其交角很小 的交点权)，可以忽略不计，以简化作图. 学习中心图解法的意义还在于，在严格的方法指导下，经过一定的实践，可以用目测 估计的方法确定最或是船位. 在船位线等精度的情况下有如下的结论：
(1)如果误差三角形是等边三角形，则最或是船位位于三角形中心（图6.2.4）： (2)如果误差三角形是等腰三角形，则最或是船位位于三角形短边附近（图6.2.4）： (3)如果误差三角形是直角三角形，则最或是船位位于直角附近（图6.2.4c)片 (4)如果误差三角形是一狭长三角形，可将最或是船位确定在短边中心处（图6.2.4） (5)特殊情况下，即在误差三角形附近有不明碍航物时，则需要将最或是船位确定在距碍 航物最近处（图6.2.4e) 图6.2.4 注：1、确定最或是船位，只作两条反中线或权反中线就可以： 2、如果船位误差三角形的边长平均小于2'~3时，可认为观测中只存在随机误差 6.3两条船位线的观测船位及其误差 当船舶驾驶员运用某种定位方法测得最或是船位之后，必须运用科学的方法对这个观测 船位进行系统地分析，以便掌握其可靠的和可能的分布情况，从而保证船舶安全迅速航行 6.3.1船位误差带和船位误差四边形 1.最或是船位 两条船位线的交点即是最或是船位（最接近真实船位的船位），该点的概率密度最大而概 率为零。真实船位离最概率船位越近，出现的概率就越大，反之，其概率就越小， 2、船位误差带 因为每条船位线均含有误差，且误差属于向量误差，即有大小和方向。航海上常用船位 误差带来描述船位线的误差，即以船位线为中心线左右±0（σ为船位线标准误差）的区域 称为船位误差带。真实船位落在一倍（士）、二倍(20)和三倍（士30）船位误差带内的概 率分别为68.3%、95.4%和99.7%.（如图6.3.1）. 135
135 （1）如果误差三角形是等边三角形，则最或是船位位于三角形中心（图 6.2.4a）； （2）如果误差三角形是等腰三角形，则最或是船位位于三角形短边附近（图 6.2.4b)； （3）如果误差三角形是直角三角形，则最或是船位位于直角附近（图 6.2.4c）； （4）如果误差三角形是一狭长三角形，可将最或是船位确定在短边中心处（图 6.2.4d）； （5）特殊情况下，即在误差三角形附近有不明碍航物时，则需要将最或是船位确定在距碍 航物最近处（图 6.2.4e）. 图 6.2.4 注：1、确定最或是船位，只作两条反中线或权反中线就可以； 2、如果船位误差三角形的边长平均小于 2 ~ 3 时，可认为观测中只存在随机误差. 6.3 两条船位线的观测船位及其误差 当船舶驾驶员运用某种定位方法测得最或是船位之后，必须运用科学的方法对这个观测 船位进行系统地分析，以便掌握其可靠的和可能的分布情况，从而保证船舶安全迅速航行. 6.3.1 船位误差带和船位误差四边形 1．最或是船位 两条船位线的交点即是最或是船位(最接近真实船位的船位)，该点的概率密度最大而概 率为零。真实船位离最概率船位越近，出现的概率就越大，反之，其概率就越小. 2、 船位误差带 因为每条船位线均含有误差，且误差属于向量误差，即有大小和方向. 航海上常用船位 误差带来描述船位线的误差，即以船位线为中心线左右 c ( 为船位线标准误差)的区域 称为船位误差带. 真实船位落在一倍( )、二倍( 2 )和三倍( 3 )船位误差带内的概 率分别为 68.3%、95.4% 和 99.7%.（如图 6.3.1）
三倍标准误差四边形 二倍标准误差四边形 标准误差四边 图6.3.1 图6.3.2 超出三倍标准误差带的概率为0.3%，几乎不可能出现。因此，航海上常采用95%作 为船位误差界.真实船位相对于最概率船位分布的误差界可用三种几何图形来描述，它们分 别是船位误差四边形、船位误差椭圆和船位误差圆。 (1)船位误差四边形 设I、Ⅱ是两条同时观测到的船位线，其交点p是最或是船位.若I、Ⅱ分别存在的 标准差为±,、士02，则以士O,、±O分别所作船位线I、Ⅱ的平行线交成的四边形 ABCD称为船位误差四边形（如图6.3.2）， 由它们的一倍、两倍、三倍标准误差带各自交成的平行四边形分别称为标准误差四边形。 二倍标准误差四边形、三倍标准误差四边形.根据概率的乘法公式，可得船位落入标准误差 四边形内的概率分别为： ±01、±02：B=68.3%×68.3%=46.6%: ±201、±202PB2=95.4%×95.4%=91.0%: ±301、±302：P=997%×99.7%=99.5% 航海上通常以三倍标准误差四边形为极限误差四边形 容易证明，标准误差四边形的面积为： 4o102 5,2sm0 其中0为1、两线的交角，O1、O,为两线的标准差。 因为船位落入标准误差四边形内的概率为定值(46.6%)，所以标准误差四边形面积越 136
136 I 标准误差四边形 II I II 1P = 46.6% 2P = 91.1%3P = 95.5% 二倍标准误差四边形 三倍标准误差四边形 图 6.3.1 图 6.3.2 超出三倍标准误差带的概率为 0.3% ，几乎不可能出现. 因此，航海上常采用 95% 作 为船位误差界. 真实船位相对于最概率船位分布的误差界可用三种几何图形来描述，它们分 别是船位误差四边形、船位误差椭圆和船位误差圆. (1) 船位误差四边形 设Ⅰ、Ⅱ是两条同时观测到的船位线，其交点 p 是最或是船位. 若Ⅰ、Ⅱ分别存在的 标准差为 1、 2 ，则以 1 、 2 分别所作船位线Ⅰ、Ⅱ的平行线交成的四边形 ABCD 称为船位误差四边形（如图 6.3.2）. 由它们的一倍、两倍、三倍标准误差带各自交成的平行四边形分别称为标准误差四边形、 二倍标准误差四边形、三倍标准误差四边形. 根据概率的乘法公式，可得船位落入标准误差 四边形内的概率分别为： 1、 2 : 1 p 0 0 0 = = 68.3 68.3 46.6 0 0 0 ； 21、 2 2 : 0 0 0 0 0 0 p2 = 95.4 95.4 = 91.0 ； 3 1、 3 2 : 0 0 0 0 0 0 p3 = 99.7 99.7 = 99.5 . 航海上通常以三倍标准误差四边形为极限误差四边形. 容易证明，标准误差四边形的面积为： sin 4 1 2 S1 = ， 其中 为 I、II 两线的交角， 1、 2 为两线的标准差. 因为船位落入标准误差四边形内的概率为定值( 0 46.6 0 )，所以标准误差四边形面积越 +3 +2 + −3 −2 −
小，说明船位精度越高。其方法有：(1)减小σ，、σ，的值：(2)两线的交角越接近90越 好 6.3.2船位误差椭圆 由船位误差理论 N() 可知，船位落入最或 是船位处的概率最 0 大，而落入其它点的 概率密度，将随与最 或是船位点的距离的 B.a,Y 增大而减小。在标准 图6.3.3 差四边形周界内，将 真实船位出现的概率相等的各点连接起来，将是一个椭圆。由船位线标准差求得的椭圆，称 为船位标准误差椭圆.该椭圆内切于误差四边形，且切点为各边中点 设1、Ⅱ为两条独立的船位线，其标准误差分别为，02，两条船位线交角为0，两 位置线的交点是最或是船位.建立如图6.3.3所示的斜坐标系XOY,取I线为X轴，IⅡ 线为Y轴，观测船位点为原点.假定真船位于N点，I线的误差为4，IⅡ线的误差为D 于是真船位N的坐标位(x,y)为： Y=_D 可以推出，船位标准误差椭圆的方程为： 2 (ca)(cb=1 (6.3.1) 其中a=,b= sno sin o 当c=1时：称为一倍标准误差椭圆，船位落入的概率为：39.4%： 当c=2时：称为二倍标准误差椭圆，船位落入的概率为：86.5%： 当c=3时：称为三倍标准误差椭圆，船位落入的概率为：98.9%： 37
137 小，说明船位精度越高. 其方法有：（1）减小 1、 2 的值；（2）两线的交角越接近 0 90 越 好. 6.3.2 船位误差椭圆 由船位误差理论 可知，船位落入最或 是船位处的概率最 大，而落入其它点的 概率密度，将随与最 或是船位点的距离的 增大而减小. 在标准 差四边形周界内，将 真实船位出现的概率相等的各点连接起来，将是一个椭圆. 由船位线标准差求得的椭圆，称 为船位标准误差椭圆.该椭圆内切于误差四边形，且切点为各边中点. 设 I、II 为两条独立的船位线，其标准误差分别为 1 2 , ，两条船位线交角为 ，两 位置线的交点是最或是船位. 建立如图 6.3.3 所示的斜坐标系 XOY ，取 I 线为 X 轴，II 线为 Y 轴，观测船位点为原点. 假定真船位于 N 点，I 线的误差为 ，II 线的误差为 ， 于是真船位 N 的坐标位（ x y, ）为： , . sin sin x y = = 可以推出，船位标准误差椭圆的方程为： 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 + = cb y ca x （6.3.1） 其中 sin 2 a = ， sin 1 b = ． 当 c =1 时：称为一倍标准误差椭圆，船位落入的概率为： 0 39.4 0 ； 当 c = 2 时：称为二倍标准误差椭圆，船位落入的概率为： 0 86.5 0 ； 当 c = 3 时：称为三倍标准误差椭圆，船位落入的概率为： 0 98.9 0 ； III II I X Y O N x y ( , ) v 2 2 P , y x 图 6.3.3