批改时请按学生书写过程给分 方法不拘泥于参考答案给出的方法 一、（体题10分）解：令，)=u,则+四，=0，解之得u=1回 .(5分) 故 u=fvdr=+(). 其中，g为任意可微函数.原方程的通解为，)=但+g), .(10分) 出 (本题10分)解：由于-0=x,4l=0=2sinx在(-o,∞)上为奇函数，故定解 问题 了tu=9a(t>0,-o0上的限制即为原定解问题的解。 .(5分) 由d'Alembert公式知 x+3t 化=方（e+刘+亿-3圳+2克2m=z+r.8分列 故原问题的解为u(t,x)=x+sinr·sin3t(t>0,x>0).(10分) 三、（本题20分）解：1.用分离变量法，设u(化，)=T)X(x),可得 T"0X- X 代入齐次边界条件得固有值问题X“+AX=00<工<和T+T=0.4分 1X(0)=0,X'(x)=0 由Sturm-Liouville定理知有可数个非负固有值入n=w.代入解得wn=n一去.相应 的固有值和固有函数为入.=(n-)2,Xn=sin(n-)x.(6分) 同时Tn(t)=Ancos(n-)t+Bnsin(n-)t.故 u(t,x）=∑(Ancos(n-)t+Basin(n-)0)sin(n-)x.(8分) 代入初始条件得 是A.sin(n-吉r=imnr Ba(n -)sin(n-)r sinjr
1UûûUÆ)÷Lßâ© ê{ÿ’YuÎâYâ—ê{ ò!( K10©) )µ-v(x, y) = ux, Kv + yvy = 0, )Év = c1(x) y . . . . . . . . . . (5©) u = Z vdx = f(x) y + g(y), Ÿ•f, gè?øåáºÍ. êßœ)èu(x, y) = f(x) y + g(y). . . . . . . . . . . . . . (10©) ! ( K10©) )µduu|t=0 = xßut |t=0 = 2sinx 3(−∞,∞)˛è¤ºÍß½) ØK ( vtt = 9vxx (t > 0, −∞ 0˛Åõ=è½)ØK). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5©) dd’Alembert˙™ v(t, x) = 1 2 (x + 3t) + (x − 3t) + 1 2 · 3 Z x+3t x−3t 2sinξdξ = x + 2 3 sinx sin3t. (8©) ØK)èu(t, x) = x + 2 3 sinx · sin3t(t > 0, x > 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10©) n! ( K20©) )µ1. ^©lC˛{ßu(t, x) = T(t)X(x)ßå T 00(t) T = X00(x) X = −λ. ì\‡g>.^ákäØK ( X00 + λX = 0 (0 < x < π), X(0) = 0, X0 (π) = 0 ⁄T 00+λT = 0. (4©) dSturm-Liouville½nkåÍáöKkäλn = ω 2 n . ì\)ωn = n − 1 2 . ÉA kä⁄kºÍèλn = (n − 1 2 ) 2 , Xn = sin(n − 1 2 )x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6©) ”ûTn(t) = Ancos(n − 1 2 )t + Bnsin(n − 1 2 )t. u(t, x) = P∞ n=1 Ancos(n − 1 2 )t + Bnsin(n − 1 2 )t sin(n − 1 2 )x. . . . . . . . . . . . . (8©) ì\–©^á P∞ n=1 Ansin(n − 1 2 )x = sin3 2 x, P∞ n=1 Bn(n − 1 2 )sin(n − 1 2 )x = sin1 2 x. 1
观察易知A.={化n=2,以，={2n=1 0,else, 0,else. .(10分) 代入系数知齐次定解问题的解为 (12分) 2.当f(化，x)=sinwt-sin时，由叠加原理，定解问题的解u(化，x)可以拆成u=v+m. 其中v(t,x),w(化，x)分别是下述定解问题的解： u=U(t>0,00,01.故 w2- )insinat sin 进而，当f(t,x)=sinwt·sin时，原定解问题的解为： u化，=2sin吃si5+cost.sin+ 2wsin-sinwt w2- m5(18分) 3.方程非齐次项f(t,x)为弦受迫振动中的外力密度函数（的倍）：齐次边界条件 的物理意义是弦振动过程中弦的左端点固定、右端点在竖直方向自由滑动：初始条 件的物理意义是弦的初始位移和初始速度.(20分) "+x 四、（体题15分）解：设u=X@70,代入得1文 =-入.代入齐次 边界条件得固有值问题 z2X"+zX'+Ax2X=0 (0<<T), 、X(O)有界，X'(1)=0, 2
* ¥An = ( 1, n = 2, 0, else, Bn = ( 2, n = 1, 0, else. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10©) ì\X͇g½)ØK)è u(t, x) = 2sin t 2 · sin x 2 + cos 3 2 t · sin 3 2 x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12©) 2. f(t, x) = sinωt·sin x 2ûßdU\nß½)ØK)u(t, x)å± §u = v+w. Ÿ•v(t, x), w(t, x)©O¥e„½)ØK)µ (1). vtt = vxx (t > 0, 0 0, 0 1). w(t, x) = 2ωsin t 2 − sinωt ω2 − 1 4 · sin x 2 . ? ßf(t, x) = sinωt · sin x 2ûß½)ØK)èµ u(t, x) = 2sin t 2 · sin x 2 + cos 3 2 t · sin 3 2 x + 2ωsin t 2 − sinωt ω2 − 1 4 · sin x 2 . . . . . . . . . . (18 ©) 3. êßö‡gëf(t, x)èu.½ƒ• Âó›ºÍ£ρ); ‡g>.^á ‘nø¬¥uƒLß•u܇:½!m‡:3ÁÜêïgdwƒ¶–©^ á‘nø¬¥u–©†£⁄–©Ñ›. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20©) o!( K15©)): u = X(x)T(t), ì\ T 0 T − 1 = X00 + 1 x X 0 X = −λ. ì\‡g >.^ákäØK ( x 2X00 + xX0 + λx2X = 0 (0 < x < π), X(0)k., X0 (1) = 0, 2
和T'=(1-入)T. .(5分)》 X(x)的有界解为X(x)=6(x).固有值为0，号，.，品，.，(n为(c)= 0正根)，固有函数为1,6(x,6(2).,6n）.代入解得T)=e1-北， 因此，级数解 u(t,)coe+CnJo(wnt)e( (*).(10分) 当t=0时，p(x)=o+ ∑CnJo(wnx),其中 2 p()z.Jo(wnz)dr,n=1.2. 代入(*)即得解 .(15分) 五、（体题15分）解：观察得方程特解为2 (3分) 设=u-石 △3w=0,(r<1) 在球坐标系下定解问题变为 cos0. .(5分) 球内轴对称问愿的级数解为= Cnr"Pn(cos0).(8分} n=0 n=0 1 1 可得G=一0G=-其它皆为0.3分列) =0-2=-2+02++5分 1 六、（本题15分）解：1. △2G=-M-Mo)(M,Mo∈2) .(3分) G=0 M=(x,Mo=(,),M1=(n,) G=（-)-h告8二 -P+g-.(8分) 3
⁄T 0 = (1 − λ)T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5©) X(x)k.)è X(x) = J0(ωx). käè 0, ω2 1 , ω2 2 , · · · , ω2 n , · · · , (ωn èJ1(x) = 0 ä), kºÍè 1, J0(ω1x), J0(ω2x), · · · , J0(ωnx) · · · . ì\)T(t) = e (1−ω 2 n)t , œdß?Í) u(t, x) = c0e t + X +∞ n=1 CnJ0(ωnx)e (1−ω 2 n)t (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10©) t = 0 û, ϕ(x) = c0 + X +∞ n=1 CnJ0(ωnx)ߟ• c0 = 2 Z 1 0 ϕ(x)xdx, cn = 2 J 2 0 (ωn) Z 1 0 ϕ(x)xJ0(ωnx)dx, n = 1, 2, · · · , ì\ (∗) =). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15©) !( K15©) ): * êßA)è 1 6 z 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3©) w = u − 1 6 z 3 3•ãIXe½)ØKCè ∆3w = 0, (r < 1) w|r=1 = − 1 6 cos3 θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5©) •S¶È°ØK?Í)è w = X +∞ n=0 Cnr nPn(cos θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(8©) r = 1û, − 1 6 cos3 θ = X +∞ n=0 CnPn(cos θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10©) åC1 = − 1 10 , C3 = − 1 15 , Ÿßè 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (13©) u = w − 1 6 z 3 = − 1 10 z + 1 10 z(x 2 + y 2 + z 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15©) 8!( K15©) ): 1. ∆2G = −δ(M − M0) (M, M0 ∈ Ω) G |∂Ω= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . (3©) M = (x, y), M0 = (ξ, η), M1 = (η, ξ) G = 1 2π ln 1 r(M, M0) − ln 1 r(M, M1) = 1 4π ln (x − η) 2 + (y − ξ) 2 (x − ξ) 2 + (y − η) 2 . . . . . . . . . . (8©) 3
2.区域？的外法向量为n=Y5-3 .(10分) u(ξ，n)=- () = a5)=元9@c-2+e-p. 刀-ξ .(15分) 七、（本题15分）解：1.所求基本解即为定解问题 ,=4Ua+3U,(-o0), U(0,x)=6(x) 的解. ， .(3分) 令i=FU]=eU(t,x)erdk为U(t,x)关于变元x的Fourier变换.则 「0=-420+30 0(0,x)=1 可得0=e(-42+3t .(8分) 故 0=r0=左∫广eeA=六et∫e -0 (12分) 原定解问题的解为 e=ue*e)=广52.es 后传-e部 .(15分) 4
2. ´çΩ {ï˛è n = ( √ 2 2 , − √ 2 2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10©) u(ξ, η) = − Z ∂Ω ϕ(x) · ∂G ∂n ∂Ω dl = − Z +∞ −∞ ϕ(x) · ∂G ∂x √ 2 2 − ∂G ∂y √ 2 2 ∂Ω √ 2dx = Z +∞ −∞ ϕ(x) · ∂G ∂y − ∂G ∂x ∂Ω dx u(ξ, η) = 1 π Z +∞ −∞ ϕ(x) · η − ξ (x − η) 2 + (x − ξ) 2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15©) ‘!( K15©) )µ1. §¶ƒ )=è½)ØK ( Ut = 4Uxx + 3U, (−∞ 0), U(0, x) = δ(x) ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3©) -U¯ = F[U] = R ∞ −∞ U(t, x)eiλxdxèU(t, x)'uCxFourierCÜ. K ( dU¯ dt = −4λ 2U¯ + 3U¯ U¯(0, x) = 1 åU¯ = e(−4λ 2+3)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(8©) U = F −1 [U¯] = 1 2π Z ∞ −∞ e (−4λ 2+3)t e −iλxdλ = 1 4π e − 1 16t x 2+3t Z ∞ −∞ e −λ 2 dλ = 1 4 √ π e − 1 16t x 2+3t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12©) ½)ØK)è u(t, x) = U(t, x) ∗ φ(x) = Z ∞ −∞ ξ · 1 4 √ π e 3t · e − 1 16 (x−ξ) 2 dξ = 1 4 √ π · e 3t · Z ∞ −∞ (ξ − x) · e − 1 16 ξ 2 dξ = x √ π · e 3t · Z ∞ −∞ e ξ 2 dξ = x · e 3t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15©) 4