第一章函数与极限 本章主要内容 映射 函数 数列极限 无穷大与 函数极限 无穷小 函数的连续性与间断点
第一章 函数与极限 本章主要内容： 映射 函数 函数极限 数列极限 无穷大与 无穷小 函数的连续性与间断点
第一节 映射与函数 二、 集合 二、映射 三、函数
第一节 映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数
集合 定义及表示法 定义1：具有共同特征的一类事物的全体称为集 合。组成集合的事物称为元素， 不含任何元素的集合称为空集，记作⑦ 含有有限个元素的集合成为有限集 不是有限集的集合称为无限集 N:全体自然数集合 N+:全体正整数集合 Z:全体整数集合 Q:全体有理数集合 R:全体实数集合 R*:全体正实数集合 元素a属于集合M,记作 a∈M. 元素a不属于集合M,记作aEM或 i agM)
一、集合 （一）定义及表示法 定义1：具有共同特征的一类事物的全体称为集 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 aM ) . 不含任何元素的集合称为空集 ,记作 . 含有有限个元素的集合成为有限集. 不是有限集的集合称为无限集. N：全体自然数集合 N+：全体正整数集合 Z：全体整数集合 Q：全体有理数集合 R:全体实数集合 R*:全体正实数集合 合。组成集合的事物称为元素
表示法： (1)列举法：按某种方式将集合中的元素一一列举出 来. 例：有限集合A={a1,a2,.,an}={a, (2)描述法：M={xX所具有的特征 例：整数集合 Z={xxeN或-x∈N+} 有理数集0-{Pe乙，geNP与9互质 实数集合 R={xX为有理数或无理数
(1) 列举法：按某种方式将集合中的元素一一列举出 来 . 例: 有限集合 A = a1 , a2 , , an n i i a =1 = (2) 描述法： M = x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z = x x N 或 + − x N 有理数集 q p Q = Z, N , + p q p 与 q 互质 实数集合 R = x x 为有理数或无理数 表示法：
(二)集合的运算 AUB 1、基本运算： 。 并集：由所有属于A或者属于B的元 素组成的集合，记作AUB。 A\B 交集：由即属于A又属于B的元素组 成的集合，记作A∩B。 差集：所有属于A而不属于B的元素 组成的集合，记作AB, 补集：称集合I为全集，称A为A的余 B 集或补集。记作AC ·直积A×B={(x,y)x∈A,y∈B 特例：RxR记R为平面上的全体点集
1、基本运算： • 并集：由所有属于A或者属于B的元 素组成的集合，记作A∪B。 • 交集：由即属于A又属于B的元素组 成的集合，记作A∩B。 • 差集：所有属于A而不属于B的元素 组成的集合，记作A\B, • 补集：称集合I为全集，称I\A为A的余 集或补集。记作AC • 直积 A B = (x, y) x A , y B 特例: RR 记 2 R 为平面上的全体点集 （二）集合的运算
2、集合的并、交、补运算满足下列法则： 交换律：AUB=BUA,A∩B=B∩A: 结合律：（AUB)UC=AU(BUC), (AnB)∩C=An(BnC); 分配律：(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C), (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC); 对偶律：(AUB)C=AC∩BC, (A∩B)C=ACUBC;
交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A； 结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）， 分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）， 对偶律：（A∪B）C＝AC∩BC ， （A∩B）∩C＝A∩（B∩C）； （A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）； （A∩B）C＝AC∪BC； 2、集合的并、交、补运算满足下列法则：
3.区间与邻域 区间的概念： (1)开区间：设和b都是实数，且a<b,数集 a<x<b 称为开区间，记作(a,b) (a,b)=a<x<b (2)闭区间：设和b都是实数，且a<b,数集 有限区间 {xa≤x≤b 称为闭区间，记作a,b列 [a,b]=xa≤x≤b} (3)半开区间： [a,b)=a≤x<b} (a,b]=a<x≤b
区间的概念: (1)开区间:设a和b都是实数,且a<b,数集 3. 区间与 邻域 称为开区间,记作(a ,b) (2)闭区间:设a和b都是实数,且a<b,数集 称为闭区间,记作[a ,b] (3)半开区间: 有限区间
(4)无限区间： (-o,o)={xx∈R} [a,w)={xa≤x (aco)=a<x (-0,b)=r<b (-o,b]={xr≤b
(4)无限区间:
邻域的概念 设是任一正数，则开区间(a-6,a+6)称为点a的 邻域。 U(a,8)={xa-8<x<a+d} ={xx-a<8} 去心δ邻域 U(a,8)={x0<x-a<8升 其中，a称为邻域中心，6称为邻域半径 左δ邻域：(a-8,a, 右8邻域：(a,a+δ) af8 a at8
邻域的概念 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 去心 邻域 左 邻域 : 右 邻域 : ( ) a − a a + 设是任一正数，则开区间（a-，a+）称为点a的 邻域
二、映射 (一)映射的概念 定义：设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使 得对X中的每个元素赵，按法则f,在Y中有唯一确 定的元素与之对应，则称f为从到的映射。 记作 f:X→Y. 元素y称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x)》 元素x称为元素y在映射f下的原像 集合X称为映射f的定义域： Y的子集f(X)={f(x)x∈X}称为f的值域
f 二、映射 （一）映射的概念 设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ,使 得对X中的每个元素x，按法则 f ,在Y中有唯一确 定的元素y与之对应，则称 f 为从X到Y的映射。 记作 定义： f : X →Y. 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y = f (x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f (X) = f (x) x X 称为 f 的 值域 . X x Y y