曲线的凹凸与与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 曲方向。 如右图所示L1,L2,L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 L1是“凸”弧，L2是“凹”弧L既有凸弧，色有 凹弧， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的
曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示L1 ，L2 ， L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧， L3既有凸弧，也有 凹弧， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的
曲线凹凸的定义 问题：如何研究曲线的弯曲方向？ y=f(x) y=f(x) x x X2 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方
一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
定义设f(x)在(，b)内连续，如果对(a,b)内任意 两点，恒有艺)<生) 2 那末称f(x)在(a,b)内的图形是凹的； 如果对(a,b)内任意两点x1,x2,恒有 克)≥生 2 那末称f(x)在(a,b)内的图形是凸的； 如果f(x)在[a,b内连续，且在(4，b)内的图形是凹 (或凸)的，那末称f(x)在[a,b]内的图形是凹或凸的；
定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
二、曲线凹凸的判定 y=f b b x f'()递增y">0 f'(x)递减y"0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； (2)f"(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
二、曲线凹凸的判定 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b
证明 (2)Vx1,x2∈(，b),X10 → 2f(x)-[f(x1)+f(x21>0
证明 1 2 1 2 (2)x , x (a,b), x x 0 1 2 0 1 2 0 , 2 h x x x x x x x = − = − + 记 = 对f (x)在[x1 , x0 ],[x0 , x2 ]上 分别应用L—定理，得 f (x0 ) − f (x1 ) = f ( 1 )h ( ) x1 1 x0 f (x2 ) − f (x0 ) = f ( 2 )h ( ) x0 2 x2 两式相减，得 2 f (x0 ) −[ f (x1 ) + f (x2 )] = [ f ( 1 ) − f ( 2 )]h 由假设 f (x) 0 f (x)在[a,b]内单调减 由 1 2 f ( 1 ) − f ( 2 ) 0 2 f (x0 ) −[ f (x1 ) + f (x2 )] 0
即5 2 这就证明了f(x)在(a,b)内是上凸的 同理可证（1) 注定理的结论可推广到任意区间上 例1判断曲线y=x3的凹凸性 解y'=3x2,y"=6x, 当x0时，y”>0,∴曲线在[0，+o)为凹的； 注意到，点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
2 ( ) ( ) 2 1 2 1 x2 x x f x f f + + 即 这就证明了 f (x)在(a,b)内是上凸的 同理可证（1） 注 定理的结论可推广到任意区间上 例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
三、曲线的拐点及其求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。 2.拐点的求法 定理2如果f(x)在(x。一6，x+6)内存在二阶导 数，则点(x,f()是拐点的必要条件是f"(x)=0. 证f(x)二阶可导，∴.f'(x)存在且连续
三、曲线的拐点及其求法 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( 0 ) 0 " f x = . 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续
又：(x,f(x)是拐点 则f"(x)=[f'(x)'在x两边变号， ∴.'(x)在x取得极值，由可导函数取得极值的条件， .f"(x)=0. 方法1：设函数f(x)在x的邻域内二阶可导， 且f"(x)=0, (1)x两近旁f"(x)变号，点(x,f(x)即为拐点； (2)x两近旁f"(x)不变号，点(x,f(x)不是拐点
( ) [ ( )] , 则 f x = f x 在x0两边变号 ( , ( ) ) , 又 x0 f x0 是拐点 ( ) , f x 在x0取得极值由可导函数取得极值的条件, f (x) = 0. 方法1: ( ) 0, ( ) , 0 0 f x = f x x 且 设函数 在 的邻域内二阶可导 (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点
例2求曲线y=3x-4x3+1的拐点及 凹、凸的区间， 解D:(-∞，+oo) y=12x-12x2,y”=36x(x-. 令y”=0, 得x=0,=3 X (-o0,0) 0 0,26 2/ 73 3+∞) f"(x) + 0 0 + 拐点 拐点 f(x) 凹的 凸的 凹的 (0,1) 24152
例2 . 3 4 1 4 3 凹、凸的区间 求曲线 y = x − x + 的拐点及 解 D :(−,+) 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = x (−,0) , ) 3 2 ) ( + 3 2 0 (0, 3 2 f (x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2(
2.5 2 1.5 0.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 凹凸区间为(-∞，01,0,231,23，+∞)
, ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为(−,0], [0, +