丞数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念—微分
函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分
一、问题的提出 实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量： 设边长由x变到x。+△x, :正方形面积A=x2, ∴.△M=(xo+△x)2- A=xo =2x,·△x+(△x)2. (①(2) (1):△x的线性函数且为△4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. , 设边长由x0变到x0 + x x0 0 x x x , 2 0 正方形面积 A = x 2 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) x x 0 x x 0 (1): x的线性函数,且为A的主要部分; (2) 2 (x) (2): x的高阶无穷小,当x很小时可忽略
再例如，设函数y=x3在点x处的改变量 为△x时，求函数的改变量△y. △y=(x+△x)3-x =3x·△x+3x·(△x)2+(△)3. (1) (2) 当△x很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(△x), ∴△y≈3x·△x.既容易计算又是较好的近似值 问题：这个线性函数（改变量的主要部分）是否 所有函数的改变量都有？它是什么？如何求？
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x), 3 . 2 0 y x x 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义， x及x。+△x在这区间内，如果 △y=f(x,+△x)-f(x)=A·△x+o(△x) 成立（其中A是与△x无关的常数），则称函数 y=f(x)在点x可微，并且称4·△x为函数 y=f(x)在点x,相应于自变量增量Ax的微分， 记作yx=,或f(K为，即yx=,=A△x 微分y叫做函数增量△y的线性主部（微分的实质）
二、微分的定义 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部( . 微分的实质)
由定义知： ()y是自变量的改变量塾x的线性函数 (2)△y-y=o(△)是比△x高阶无穷小； (3)当A≠0时，y与△y是等价无穷小； =1+oA→1(x→0. ”y A·△x (4)A是与△x无关的常数但与f(x)和x有关， (S)当△x很小时，△y≈（线性主部
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)
三、可微的条件 定理 函数f(x)在点x,可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导，且A=f'(x): 证（少必要性f(x)在点x可微， ∴.△y=A·△x+0(△x), Ay=A+(Ax) △x △x 则lim A=A+lim号 (△)=A. △r→0△X △x→0△X 即函数f(x)在点x可导，且A=f'(x):
三、可微的条件 定理 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
(2)充分性：函数f(x)在点x可导 lim Av =()=f()+a, △x→0△X 从而△y=f'(x)△x+o(△x),o→0（△x→0）， =f'(x)△x+0(△x), 函数f()在点x,可微，且f'(x)=A, .可导台可微.A=f'(x) 函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的 微分，记作或df(x),即少=f'(x)△x
(2) 充分性 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的
由微分的定义及上述定理可知若f(x)在x处可导 则f(x)在x处可微，且=f'(o)△ 当f'(x)≠0时lim=1im 二1 4→0dy40f'(xo)△c →y~少（△x→0）→y=+0(4y) lim Ay-dy lim y-f'(x)△x 4-0小y -→0 Av lim =0
由微分的定义及上述定理可知 若f (x)在x0处可导 则f (x)在x0处可微，且dy = f (x0 )x 当f (x0 ) 0时 1 ( ) lim lim 0 0 0 = = → → f x x y dy y x x y ~ dy (x → 0) y = dy + o(y) y y f x x y y dy x x ( ) lim lim 0 0 0 − = − → → = − → x y f x x ( ) lim 1 0 0 = 0
这表明在f”(x)≠0的条件下当x→0时少- 不仅是比x高阶的无穷小，而且也是比y 高阶的无穷小，因此y是y的主要部分 通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分， 记作dk,即=△x. .y=f'(x)k.→ =f'(x) x 即函数的微分y与自变量的微分x之商等于 该函数的导数导数也叫微商
这表明 在f (x0 ) 0的条件下当x → 0时 y − dy 不仅是比 x 高阶的无穷小，而且也是比 y 高阶的无穷小，因此 dy是y的主要部分 , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy = 该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
四、微分的几何意义 几何意义：（如图） N 当△y是曲线的纵 坐标增量时，y y=f(x) M △x 就是切线纵坐标 对应的增量 0 当△x很小时，在点M的附近， 切线段MP可近似代替曲线段MN
四、微分的几何意义 几何意义:(如图) x y o y = f (x) x0 M T ） x + x 0 P N x y dy o(x) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 很小时 在点 的附近