不定积分的概念和性质 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中,还会遇到与此相反的问题:即寻求一 个可导函数,使其导数等于一个已知函数。从而产 生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积 分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质,最后着重系统地介绍积分方法
不定积分的概念和性质 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中,还会遇到与此相反的问题:即寻求一 个可导函数,使其导数等于一个已知函数。从而产 生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积 分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质,最后着重系统地介绍积分方法
重点 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 换元积分法 分部积分法 有理函数积分 难点 换元积分分部积分 有理函数积分
重点 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 换元积分法 分部积分法 有理函数积分 难点 换元积分 分部积分 有理函数积分
基库要求 ①正确理解原函数和不定积分概念 ②熟记基本积分公式 ③熟练地运用换元积分法和分部积分法 ④会用待定系数法求有理函数积分 ⑤会用万能代换和三角代换求三角有理式积分 ⑥会求简单无理函数的积分
基本要求 ①正确理解原函数和不定积分概念 ②熟记基本积分公式 ③熟练地运用换元积分法和分部积分法 ④会用待定系数法求有理函数积分 ⑤会用万能代换和三角代换求三角有理式积分 ⑥会求简单无理函数的积分
一、原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间1内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即x∈I,都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)k,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)dx在区间1内原函数 例(sinx)=cosx sinx是cosx的原函数, mx)/=1 (x>0) Inx是在区间(0,+oo)内的原函数
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义: 如果在区间I 内,可导函数F(x)的 即x I,都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx,那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x), 或 f (x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念
关于原函数的说明: 对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 ()是否任何一个函数都存在原函数? 考察如下的例子 0 fx)= x≠0 x=0 若存在可导函数F(x)使F(x)=f(x) 则由f(x)的定义 当x0时F'(x)=f(x)=0→F(x)=C2 由F(x)可导→F(x)在x=0处连续
对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 (1) 是否任何一个函数都存在原函数? 考察如下的例子 = = 1 0 0 0 ( ) x x f x 若存在可导函数 F(x)使F(x) = f (x) 则由 f (x) 的定义 当x 0时 F(x) = f (x) = 0 1 F(x) = C 当x 0时 F(x) = f (x) = 0 2 F(x) = C 由F(x)可导 F(x)在x = 0处连续 关于原函数的说明:
→C1=C2(左、右极限存在且相等) →F(x)=C→F(0)=0 而己知F(0)=f(0)=1矛盾 这说明f(x)没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数,那么我们自然 要问:具备什么条件的函数才有原函数?对此我们 给出如下的结论: 原函数存在定理: 如果函数f(x)在区间内连续, 那么在区间1内存在可导函数F(x), 使Vx∈I,都有F'(x)=f(x)
C1 = C2 (左、右极限存在且相等) F(x) = C F(0) = 0 而已知 F(0) = f (0) = 1 矛盾 这说明 f (x) 没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数,那么我们自然 要问:具备什么条件的函数才有原函数?对此我们 给出如下的结论: 原函数存在定理: 如果函数 f (x)在区间I 内连续, 那么在区间I 内存在可导函数F(x), 使x I,都有F(x) = f (x)
简言之:连续函数一定有原函数 (证明待下章给出) (2)原函数是否唯一?若不唯一,它们之间有 什么联系? ①若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数. ②若F(x)和G(x都是f(x)的原函数, 则F(x)-G(x)=C(G为任意常数) 证·[F(x)-G(x)]=F'(x)-G'(x) =f(x)-f(x)=0 ∴.F(x)-G(x)=C (C为任意常数)
简言之:连续函数一定有原函数. (证明待下章给出) (2)原函数是否唯一?若不唯一,它们之间有 什么联系? ①若 F(x) = f (x) ,则对于任意常数 C , F(x) + C都是 f (x)的原函数. ②若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数, 则 F(x) −G(x) = C ( C 为任意常数) 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C ( C为任意常数)
不定积分的定义: 在区间I内,函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为f(x)在区间亚内的 不定积分,记为f(x). f(x)dxF(x)+c 积分号 被 积 函数 积表达式 变量 任意常数 为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数 再加上积分常数即可
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义: 在区间I 内, f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分,记为 f (x)dx. 为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数 再加上积分常数即可
例1求∫x 解()=小=名+ 解 (arctanx)= 1+ ∫1片依=arctanx+C
例1 求 . 5 x dx 解 , 6 5 6 x x = . 6 6 5 C x x dx = + 解 例2 求 . 1 1 2 + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + = arctan . 1 1 2 = + + dx x C x
例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程, 解设曲线方程为y=f(x), 根据题意知 =2x dx 即f(x)是2x的一个原函数 :2xk=x2+C,f(x)=x2+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 xdx = x + C ( ) , 2 f x = x + C 由曲线通过点(1,2) C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +