第四章转动参照系 本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念; ②转动参照系中的动力学方程;③惯性力的有关概念、计算公式;④ 地球自转产生的影响。 第一节平面转动参照系 本节应掌握:①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互 关系;特别是科里奥利加速度的产生原因;②平动转动参照系中的速 度和加速度 绝对运动、相对运动、牵连运动 有定系oη,另一平面以角速度ω统轴旋转,平板上固定坐标 系oxyz,oz轴与o轴重合。运动质点P相对板8运动 由定系0η看到的质点的运动叫绝对运动;动系oXyz看到的质 点运动叫相对运动;定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运 动叫牵连运动。绝对速度、加速度记为ν,a;相对速度、加速度记为 va'。 二、平动参照系中的速度、加速度 1、V和a的计算公式 速度:V=v+xr(×r为牵连速度) a=a+-xr-ar+2oxv=a+a, +ac 加速度: 其中,牵连加速度a为
1 第四章 转动参照系 本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念； ②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④ 地球自转产生的影响。 第一节 平面转动参照系 本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互 关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速 度和加速度。 一、 绝对运动、相对运动、牵连运动 有定系οξηζ，另一平面 以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标 系 oxyz，oz 轴与οζ轴重合。运动质点 P 相对板 运动。 由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系 oxyz 看到的质 点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运 动叫牵连运动。绝对速度、加速度记为 ；相对速度、加速度记为 V',a'。 二、平动参照系中的速度、加速度 1、v 和 a 的计算公式 速度： （ 为牵连速度） 加速度： 其中，牵连加速度 al为：
ao + (转动加速度+向心加速度) 科里奥利加速度 2a×v 2、科里奥利加速度ac ①它产生条件是:动系对定系有转动;质点相对动系的运动速度 不为零,而且运动方向与转轴方向不平行。 ②它产生原因是:科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动 的相互影响:从静止系看来,一方面牵连运动使相对速度ν发生改 变,另一方面,相对运动也使牵连速度ω×r中的ν发生改变,两 者各贡献×y,结果科氏加速度为2axv。 平面转动参照系问题解答例 关键是分清定系,动系和运动物体;然后适当选取坐标系,按公 式计算 例1]P26341题 等腰直角三角形OAB,以匀角速ω绕点O转动,质点P以相对 速度沿AB边运动。三角形转周时,P点走过AB。求P质点在A 点之速度、加速度(已知AB=b) 解:(1)相对动系(直角三角形)的速度 W=b/T=b/(2T/)=bu/2T(方向AB) A点的牵连速度v=00A=√2(方向垂直aA 由V=V+V。,利用矢量合成法则,得到 2
2 （转动加速度+向心加速度） 科里奥利加速度： 2、 科里奥利加速度 ac ① 它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度 不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。 ② 它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动 的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度 发生改 变，另一方面，相对运动也使牵连速度 中的 发生改变，两 者各贡献 ，结果科氏加速度为 。 三、平面转动参照系问题解答 例 关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公 式计算。 [例 1]P263 4.1 题 等腰直角三角形 OAB，以匀角速ω绕点 O 转动，质点 P 以相对 速度沿 AB 边运动。三角形转一周时，P 点走过 AB。求 P 质点在 A 点之速度、加速度（已知 AB=b） 解：（1）相对动系（直角三角形）的速度 vr=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向 ） A 点的牵连速度 （方向垂直 ） 由 V=Vr+Ve ，利用矢量合成法则，得到
V=Nv/4+ve+2vevcosB ba +4丌+ (2)加速度a=a+a+a,因匀速,所以相对加速度a=0 又匀角速转动,所以角加速O=0 牵连加速度4=07,大小a=0,方向沿A 科氏加速度a=20×注意到O1y,所以其大小 bo a.=2 丌方向与AB边垂直(见图411) 图4.1.1 由a=0+a+a。,利用矢量合成法则则得到 bo a +a.+2a.a cos 45 a 2丌2+2丌+1 B= 12z 与斜边的夹角 2丌+ 第二节空间转动参照系 本节要求:①掌握空间转动参照系中绝对、相对牵连变化率等 概念;②掌握空间转动参照系中的速度Ⅴ、加速度a的计算公式
3 （2）加速度 ， 因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速 牵连加速度 ，大小 ，方向沿 科氏加速度 注意到 ，所以其大小 方向与 AB 边垂直（见图 4.1.1） 由 ，利用矢量合成法则则得到： 与斜边的夹角 第二节 空间转动参照系 本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等 概念；②掌握空间转动参照系中的速度 V 、加速度 a 的计算公式
绝对、相对、牵连变化率 设动系(axy2)固定在刚体上并随刚体在空间转动,有定系s(o ξη),两坐标系原点重合,有物理量矢量G随时间t变化。刚体 的转动角速度ω。则定系S上看到的物理量G的变化率称为绝对变 化率,记为a;动系上看到的变化率叫相对变化率,记为at 由于动系转动造成物体随同转动而具有的相对定系的时间变化率叫 牵连变化率。利用=G2+G,+G2k(,小,是动系单位矢量), 对时间求导可以得到: dg dG × dt dt (1) (1)式中的最后一项为牵连变化率。该式表明:绝对变化率为相 对变化率与牵连变化率的矢量和。 二、空间转动参照系中的速度和加遠度 在(1)中分别令G=和令G=v,得到 r(1) a dt a taxi- ta tao (2) dy 其中 at为相对加速度 do r+(a·r)o-a2r 为牵连加速度
4 一、 绝对、相对、牵连变化率 设动系 固定在刚体上并随刚体在空间转动，有定系 s（ο ξηζ），两坐标系原点重合，有一物理量矢量 G 随时间 t 变化。刚体 的转动角速度ω。则定系 S 上看到的物理量 G 的变化率称为绝对变 化率，记为 ；动系 上看到的变化率叫相对变化率，记为 ； 由于动系转动造成物体随同转动而具有的相对定系的时间变化率叫 牵连变化率。利用 是动系单位矢量）， 对时间求导可以得到： （1） （1）式中的最后一项为牵连变化率。该式表明：绝对变化率为相 对变化率与牵连变化率的矢量和。 二、空间转动参照系中的速度和加速度 在（1）中分别令 G=r 和令 G=v ，得到 （1） （2） 其中： 为相对加速度 为牵连加速度
a.=2×y 为科里奥利加速度 (2)式表明:绝对加速度等于相对加速度、牵连加速度与科氏加 速度矢量和。 第三节非惯性系动力学 本节要求是①掌握平面转动参照系中的动力学方程以及三种惯性 力;②掌握平面转动参照系中动力学问题的求解步骤;③了解空间转 动参照系中的动力学方程 平面转动参照系中的动力学方程 由2=++移项,两边同乘以m,得到 ma -a-mat- mac(1) 注意到:m=F(作用于质点的合外力)。而=创x下一0F 传转动加速度与向心加速度的矢量和称为牵连加速度,2=20 为科氏加速度。 若令可=m称为牵连力,F=-m称为科里奥利力 则 md'=F+豆+ 即m=F+(mbx)+m02+(2m0×y)(2) (2)式就是平面转动参照系中的动力学方程 应注意:非惯性系中牛顿第二定律不成立,平面转动参照系不是 惯性系。但引入牵连力,科氏力的概念后,牛顿定律在非惯性 系上律照常成立。其中
5 为科里奥利加速度 （2）式表明：绝对加速度等于相对加速度、牵连加速度与科氏加 速度矢量和。 第三节 非惯性系动力学 本节要求是①掌握平面转动参照系中的动力学方程以及三种惯性 力；②掌握平面转动参照系中动力学问题的求解步骤；③了解空间转 动参照系中的动力学方程。 一、平面转动参照系中的动力学方程 由 移项，两边同乘以 m，得到 （1） 注意到： （作用于质点的合外力）。而 (转动加速度与向心加速度的矢量和，称为牵连加速度)， 为科氏加速度。 若令 称为牵连力， 称为科里奥利力。 则 即 （2） （2）式就是平面转动参照系中的动力学方程。 应注意：非惯性系中牛顿第二定律不成立，平面转动参照系不是 惯性系。但引入牵连力 ，科氏力 的概念后，牛顿定律在非惯性 系上律照常成立。其中：
惯性力-m×下是由动系作变角速转动引起。 惯性离心力maF,是动系转动引起。 科氏力-2maxy是由动系的转动和质点对转动的相对运动引 起 应洼意:惯性离心力与离心力的区别:①离心力(如正电荷靠近 正离子时受的斥力)是真实力,而惯性离心力是在转动系中观察者为 解释物理现象而假想的力;②离心力无论动系或定系均可见到,而惯 性离心力只在动系中才能体会得到。 二、平面转动参照系中的质点动力学问题解答例 已知动系和质点受力情况,求质点运动规律的一般步骤为: ①确定动系和定系,以及运动质点,选取坐标系;②分析质点受 的力(主动力、惯性力);③写出动系中的动力学方程及其分量飛式 ④求解方程。 例1书P2654.10题 小环套在光滑圆圈上,而圆圈在水平面內以匀角速ω绕圆圈上某 点o并垂直於圆圈平面的轴转动。求小环沿圆圈切线方向的运动方 程 mmap C 图4.3.1 g
6 惯性力 是由动系作变角速转动引起。 惯性离心力 ，是动系转动引起。 科氏力 是由动系的转动和质点对转动的相对运动引 起。 应注意：惯性离心力与离心力的区别：①离心力（如正电荷靠近 正离子时受的斥力）是真实力，而惯性离心力是在转动系中观察者为 解释物理现象而假想的力；②离心力无论动系或定系均可见到，而惯 性离心力只在动系中才能体会得到。 二、平面转动参照系中的质点动力学问题解答例 已知动系和质点受力情况，求质点运动规律的一般步骤为： ① 确定动系和定系，以及运动质点，选取坐标系；②分析质点受 的力（主动力、惯性力）；③写出动系中的动力学方程及其分量形式； ④求解方程。 [例 1]书 P265 4.10 题 小环套在光滑圆圈上，而圆圈在水平面内以匀角速ω绕圆圈上某 点 o 并垂直於圆圈平面的轴转动。求小环沿圆圈切线方向的运动方 程
解:妪图4.3.1,取圆圈为动系,小环为运动物体。对动系而言, 小环受力有 重力mg和圆圈对环的支持力N(方向垂直于环面),两者平衡, 环受圆圈反作用力R(方向沿cp方向),环的相对速度ν方向如 图(沿P点切线),则科氏力2=-2m0x”,其方向指向圆心C (沿pC方向),大小为F=2m因圆圈作匀角速转动,故只有惯 性离心力m0,大为点=m2=m2ac02,方向沿op 方向,所以质点的运动方程为: d'=mg +N+R+F+F 取动系的切线方向,其方程为 mo2a cos-sin (1) 利用=a6,2 cOS-sin=si日, 代入(1)式,得到 maetmo'asine=0 同除ma,得到运动程 8+o2 sing=0
7 解：如图 4.3.1，取圆圈为动系，小环为运动物体。对动系而言， 小环受力有： 重力 mg 和圆圈对环的支持力 N（方向垂直于环面），两者平衡， 环受圆圈反作用力 （方向沿 cp 方向），环的相对速度 方向如 图（沿 P 点切线），则科氏力 ，其方向指向圆心 C （沿 pc 方向），大小为 因圆圈作匀角速转动，故只有惯 性离心力 , 大小为 ，方向沿 op 方向，所以质点的运动方程为： 取动系的切线方向，其方程为： （1） 利用 代入（1）式，得到： 同除 ma，得到运动方程：
第四节地球自转所产生的影响 地球有自转,公转,其中公转角速很小,它的影响可忽略,但地 球自转的影响不可忽视。本节应重点掌握地球自转引起的惯性离心力 和里科奥利力对地球上运动物体的影响。 惯性离心力的影响 如图44.1,地球绕地轴(过南北极)旋转,角速u,地面上一 ng 图4.4.1 GME 质点m,受万有引力作用( 产),同时因地球自转还受惯 性离心力作用,惯性离心力的大小为=mOin,合力即为重 力。显然,重力的作用线一般并不通过地球的球心,只有在南北极时 重力才通过地心。 二、科里奥利力的影响 设物体从地球北泮半球某点P以速度v相对地球沿经线运动。P点 的纬度λ,由质点动力学方程: ma=F-mgk-2moxv
8 第四节 地球自转所产生的影响 地球有自转，公转，其中公转角速很小，它的影响可忽略，但地 球自转的影响不可忽视。本节应重点掌握地球自转引起的惯性离心力 和里科奥利力对地球上运动物体的影响。 一、惯性离心力的影响 如图 4.4.1，地球绕地轴（过南北极）旋转，角速ω，地面上一 质点 m，受万有引力作用（ ），同时因地球自转还受惯 性离心力作用，惯性离心力的大小为 ，合力即为重 力。显然，重力的作用线一般并不通过地球的球心，只有在南北极时 重力才通过地心。 二、科里奥利力的影响 设物体从地球北半球某点 P 以速度 V'相对地球沿经线运动。P 点 的纬度λ，由质点动力学方程：
由于科氏力的存在,使地球上运动物体的运动受影响: (1)由于科氏力的作用,使南北向的气流发生东西向的偏转;北 半球地面附近的气流由北向南推进时,则气流向西偏离,成为东北贸 易风;反之,而南半球地面附近自南向北的气流,也向西偏离,成为 东南贸易风。 (2)由于科氏力的作用,使北半球上自北向南流的河流,右岸冲 刷更甚。 (3)由于科氏力的作用,使自由落体有偏东现象。偏东的数值与 物体所在的纬度有关,也与下落的物理高度h以及纬度入有关: o cos 赤道附近偏东最甚,而两极偏东为零
9 由于科氏力的存在，使地球上运动物体的运动受影响： （1）由于科氏力的作用，使南北向的气流发生东西向的偏转；北 半球地面附近的气流由北向南推进时，则气流向西偏离，成为东北贸 易风；反之，而南半球地面附近自南向北的气流，也向西偏离，成为 东南贸易风。 （2）由于科氏力的作用，使北半球上自北向南流的河流，右岸冲 刷更甚。 （3）由于科氏力的作用，使自由落体有偏东现象。偏东的数值与 物体所在的纬度有关，也与下落的物理高度 h 以及纬度λ有关： 赤道附近偏东最甚，而两极偏东为零