第三章刚体力学 本章介绍刚体运动状态的描述(§31-532)以及刚体受力与运 动状态的关系(§3.3-53.10)。其内容包括∶刚体运动学、刚体静力 学和刚体动力学,重点掌握刚体运动学和刚体动力学。刚体是指在任 何情况下形状、大小都不发生变化的力学体系,它是种理想物理模 型,只要一个物体中任意两点的距离不因受力而改变,它就可以 称为刚体 531刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量 刚体的特性是任意两点距离不因受力而变。这种特性决定了确定刚 体的位置并不需要许多变量,而只要少数变量就行。 能完全确定刚体位置的,彼此独立的变量个数叫刚体的自由度。 二、刚体运动的分类及其自由度 1、平动:自由度3,可用其中任点的坐标X、y、z描术; 2、定轴转动:自由度1,用对轴的转角φ描述 3平面平行运动:自由度3,用基点的坐标Xy)及其对垂直平 面过基点的轴的转角描述。 4、定点转动:自由度3,用描述轴的方向的θ,ψ角和轴线的转 角ψ描述。 5、一般运动∶自由度6,用描述质心位置的坐标Xyz)和通 过的定点的轴的三个角(θφψ)描述
1 第三章 刚体力学 本章介绍刚体运动状态的描述（§3.1-§3.2）以及刚体受力与运 动状态的关系（§3.3-§3.10）。其内容包括：刚体运动学、刚体静力 学和刚体动力学，重点掌握刚体运动学和刚体动力学。刚体是指在任 何情况下形状、大小都不发生变化的力学体系，它是一种理想物理模 型，只要一个物体中任意两点的距离不因受力而改变，它就可以 称为刚体。 §3.1 刚体运动的分析 一、 描述刚体位置的独立变量 刚体的特性是任意两点距离不因受力而变。这种特性决定了确定刚 体的位置并不需要许多变量，而只要少数变量就行。 能完全确定刚体位置的，彼此独立的变量个数叫刚体的自由度。 二、 刚体运动的分类及其自由度 1、 平动：自由度 3，可用其中任一点的坐标 x、y、z 描述； 2、 定轴转动：自由度 1，用对轴的转角φ描述； 3、 平面平行运动：自由度 3，用基点的坐标(xo,yo)及其对垂直平 面过基点的轴的转角φ描述。 4、 定点转动：自由度 3，用描述轴的方向的θ，ψ角和轴线的转 角ψ描述。 5、 一 般运动：自由度 6，用描述质心位置的坐标(xc,yc,zc)和通 过的定点的轴的三个角（θ,φ,ψ）描述
§32角速度矢量 本节重点是:掌握角位移矢量Δ、角速度矢量及其与刚体中任 一点的线位移Δ、线速度ν的相互关系。理解有限转动时角位移不 是矢量,只有无限小角位移才是矢量 有限转动与无限小转动 有限转动不是矢量,不满足对易律 A+b=B+A 2、无限小转动是矢量,它满足矢量对易律 r ①线位移4r与无限小角位移△n的关系 设转轴OM,有矢量n,其大小等于很小的转 图3.2.1 角Δθ,方向沿转轴方向,转轴的方向与刚体转动方向成右手螺旋则 n称为角位移矢量。由图3.2.1很容易求得 △=△yXP 即线位移4r=角位移4n与位矢r的矢量积 ②角位移和△n满足矢量对易律 利用两次位移的可交换性,可证得 △+△n=△n+△ 该式表明:微小转动的合成遵循平行四边形加法的对易律,从而无 限小角位移4n是一个矢量 二、角速度矢量 1、角速度矢量的定义 角速度矢量ω的定义为 At dt 2
2 §3.2 角速度矢量 本节重点是：掌握角位移矢量 、角速度矢量 及其与刚体中任 一点的线位移 、线速度 的相互关系。理解有限转动时角位移不 是矢量，只有无限小角位移才是矢量。 一、 有限转动与无限小转动 1、有限转动不是矢量，不满足对易律 2、无限小转动是矢量，它满足矢量对易律。 ① 线位移△r 与无限小角位移△n 的关系 设转轴 OM，有矢量△n，其大小等于很小的转 角Δθ，方向沿转轴方向，转轴的方向与刚体转动方向成右手螺旋,则 △n 称为角位移矢量。由图 3.2.1 很容易求得 即线位移△r=角位移△n 与位矢 r 的矢量积。 ② 角位移和△n 满足矢量对易律 利用两次位移的可交换性，可证得 该式表明：微小转动的合成遵循平行四边形加法的对易律，从而无 限小角位移△n 是一个矢量。 二、角速度矢量 1、角速度矢量的定义 角速度矢量ω的定义为
角速度ω描述了转动快慢和转动方向,转动方向与转轴方向(即ω 的方向)成右手螺旋法则。它是描述刚体整体特征的量。 2、刚体内任一点C位置矢量为r)的线速度v与角速度u关系为 ciX r 三、线加速度a与角加速度β 0-lima-2n 角加速度矢量β的定义为 一般地讲,只有定轴转动,β才与u的方向相同或相反。 任意一点(位矢r)的加速度a为 533欧勒角 描述刚体定点转动时轴在空间的取向和绕这轴线的转角的三个独立 变化的三个角度叫欧勒角。 本节目的是:掌握欧勒角是如何确定的以及欧勒运动学方程。 欧勒角的选取 如下图,有定坐标系o和动坐标系oxyz,其中动系oXyz固定 在刚体上并随刚体一起绕定点o转动,开始时两坐标系重合。 显然,θ、φ、ψ就是我们确定的欧勒角,运动范围为0≤6≤T, 0≤φ≤2π,0φψ≤2π,其中,θ叫章动角,描述z轴上下颠动;qφ叫 进动角,描述z轴绕∝轴的转动;ψ叫自动角,描述绕自身轴的转 动 二、欧勒运动学方程
3 角速度ω描述了转动快慢和转动方向，转动方向与转轴方向（即ω 的方向）成右手螺旋法则。它是描述刚体整体特征的量。 2、 刚体内任一点 C 位置矢量为 r）的线速度 v 与角速度ω关系为 三、 线加速度 a 与角加速度β 角加速度矢量β的定义为 一般地讲，只有定轴转动，β才与ω的方向相同或相反。 任意一点（位矢 r）的加速度 a 为 §3.3 欧勒角 描述刚体定点转动时，轴在空间的取向和绕这轴线的转角的三个独立 变化的三个角度叫欧勒角。 本节目的是：掌握欧勒角是如何确定的以及欧勒运动学方程。 一、 欧勒角的选取 如下图，有定坐标系 oξηζ和动坐标系 oxyz，其中动系 oxyz 固定 在刚体上并随刚体一起绕定点 o 转动，开始时两坐标系重合。 显然，θ、 φ 、ψ就是我们确定的欧勒角，运动范围为 0≤θ≤π， 0≤ φ ≤2π，0≤ψ≤2π，其中，θ叫章动角，描述 z 轴上下颠动；φ叫 进动角，描述 z 轴绕 oζ轴的转动；ψ叫自动角，描述绕自身轴的转 动。 二、 欧勒运动学方程
用欧勒角及其对时间的导数来表示角速度矢量ω在动系 oXyZ上的分量表示的等式叫欧勒运动学方程。具体是 wx=Ai sin asin A+ ocos i Cos+的 欧勒角及其运动学方程主要应用于定点转动问题。 §34刚体运动方程与平衡方程 本节应重点掌握:1、力系简化所依据的原理和将力系简化的步骤; 2、刚体运动的微分方程;3、刚体平衡方程及其应用 力系的简化 1、力的可传性原理 实践证明:力可沿它的作用线向前或向后移动,而刚体运动状态不 因力沿力的作用线前后移动而变亦即作用在刚体上的力产生的力学 效果,仅由力的量值与作用线的地位与方向决定,而与力的作用点无 关。这一结论叫力的可传性原理 2、平衡力不改变刚体运动状态的原理 实践证明:刚体上施以一平衡力(等大反向且作用在同一直线上), 刚体的运动状态不变。 3、力系的简化 依据上述1、2两条原理可以进行力系的简化。 (1)、共点力系的简化:采用平行四边形法则,简化为一个力
4 用欧勒角及其对时间的导数 来表示角速度矢量ω在动系 oxyz 上的分量表示的等式叫欧勒运动学方程。具体是 欧勒角及其运动学方程主要应用于定点转动问题。 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 本节应重点掌握：1、力系简化所依据的原理和将力系简化的步骤； 2、刚体运动的微分方程；3、刚体平衡方程及其应用。 一、 力系的简化 1、 力的可传性原理 实践证明：力可沿它的作用线向前或向后移动，而刚体运动状态不 因力沿力的作用线前后移动而变,亦即作用在刚体上的力产生的力学 效果，仅由力的量值与作用线的地位与方向决定，而与力的作用点无 关。这一结论叫力的可传性原理. 2、 平衡力不改变刚体运动状态的原理 实践证明：刚体上施以一平衡力（等大反向且作用在同一直线上）， 刚体的运动状态不变。 3、 力系的简化 依据上述 1、2 两条原理可以进行力系的简化。 （1）、共点力系的简化：采用平行四边形法则，简化为一个力
(2)、共面非平行力的简化:利用力的可传性原理,将两力沿力 的作用线滑移汇集于一点,再用平行四边形法则简化为一合力(见图 34.1) F-f+ z 图3.4.1 (3)、平行力的简化:若冈鬥,按如图342规则简化为力矩, 图3.4.2 M=x∑码×B+2×由此确定力的作用点 等大反向的一对平行力(不在同一直线上)组成一力偶矩 (4)、空间力系的简化步骤为 ①确定力的简化中心,将力,2,…E依次平移至力的作用点,然 后按平行四边形矢量合成即∑码F(称F为主矢) ②在简化中心处依次画出力,…相应的力矩4,M2…M,,再 由矢量合成平行四边形法则,得到合力力矩M“M(称M为主
5 （2）、共面非平行力的简化：利用力的可传性原理，将两力沿力 的作用线滑移汇集于一点，再用平行四边形法则简化为一合力（见图 3.4.1） （3）、平行力的简化：若 ，按如图 3.4.2 规则简化为一力矩， 由此确定力的作用点。 等大反向的一对平行力（不在同一直线上）组成一力偶矩 （4）、空间力系的简化步骤为: ①确定力的简化中心，将力 依次平移至力的作用点，然 后按平行四边形矢量合成,即 （称 F 为主矢）。 ②在简化中心处依次画出力 相应的力矩 ，再 由矢量合成平行四边形法则，得到合力力矩,即 （称 M 为主
矩) 这样就将力系简化为一主矩和主矢。(通常取质心为简化中心) 例如图343,将力系与2简化为主矢 F和主矩M 简化步骤:选取O为简化中心,则 ①,2平移至O,再将,合成得 B 主矢B=B+P2 图3.4.3 ②在O点作2的力矩M1-04x1作2的 力矩a2=0BX22 再将M1,M2合成,得到主矩M 总之,作用于刚体上的任意力系均可简化为一主矢和主矩M 二、刚体的运动微分方程 刚体是距离不变的质点组,由刚体的质心运动定理有 pr- (1) 同样,由相对质心的角动量(动量矩)定理,有 dt (2) (1)、(2)两式即为刚体运动的基本方程 此外,还有刚体运动的动能定理(刚体中各点之间距离不变,内力 作功为零)刚体动能的微分等于各外力所作元功之和,即
6 矩）。 这样就将力系简化为一主矩和主矢。（通常取质心为简化中心） [例]如图 3.4.3,将力系 与 简化为主矢 F 和主矩 M 简化步骤：选取 O 为简化中心，则 ① ， 平移至 O，再将 ， 合成得 主矢 ②在 O 点作 的力矩 ，作 的 力矩 再将 ， 合成，得到主矩 总之，作用于刚体上的任意力系均可简化为一主矢 和主矩 二、 刚体的运动微分方程 刚体是距离不变的质点组，由刚体的质心运动定理,有 （1） 同样，由相对质心的角动量（动量矩）定理，有 （2） （1）、（2）两式即为刚体运动的基本方程。 此外，还有刚体运动的动能定理（刚体中各点之间距离不变，内力 作功为零）:刚体动能的微分等于各外力所作元功之和，即
d-∑m 3) 三、刚体的平衡方程 刚体的平衡条件是受的主矢和主矩同时为零,若主矢F=0,而主矩 M≠0,则刚体有转动;若主矢F≠0,而主矩M=0,则刚体有平动 刚体的平衡条件为: F=0,M=0 应用刚体的平衡条件解题,一般步骤为 1画草图,分析受力,选取坐标系; 2、写出F=0的分量形式 3、选取力矩的参数点,对该点取矩,写出M=0分量胱式; 4、解方程组,求出平衡条件 §351转动惯量(1) 本节要求 1、掌握刚体转动惯量的概念和对定轴转动的转动惯量的计算; 2、掌握回转半径、惯量椭球、平行轴定理、垂直轴定理、惯量 主轴、惯量张量等若干概念; 3、了解刚体动量矩、动能的计算公式的普遍形式,掌握定軸转 动这一特殊情况的具体飛式 一、转动惯量 1、转动惯量的概念:它是描述转动惯性大小的物理量 ①对某轴转动惯性的大小用转动惯量I描述,其定义为:Ⅰ=∑mp
7 （3） 三、 刚体的平衡方程 刚体的平衡条件是受的主矢和主矩同时为零，若主矢 F=0，而主矩 M≠0，则刚体有转动；若主矢 F≠0，而主矩 M=0，则刚体有平动. 刚体的平衡条件为： F=0，M=0 （4） 应用刚体的平衡条件解题，一般步骤为： 1 画草图，分析受力，选取坐标系； 2、 写出 F=0 的分量形式； 3、 选取力矩的参数点，对该点取矩，写出 M=0 分量形式； 4、 解方程组，求出平衡条件。 §3.5.1 转动惯量(1) 本节要求： 1、 掌握刚体转动惯量的概念和对定轴转动的转动惯量的计算； 2、 掌握回转半径、惯量椭球、平行轴定理、垂直轴定理、惯量 主轴、惯量张量等若干概念； 3、 了解刚体动量矩、动能的计算公式的普遍形式，掌握定轴转 动这一特殊情况的具体形式。 一、 转动惯量 1、转动惯量的概念：它是描述转动惯性大小的物理量 ① 对某轴转动惯性的大小用转动惯量 I 描述，其定义为：I=∑mipi 2
即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之和。显 然,I的单位为kgm ②对定点的转动惯性的大小,由于转轴的方向不断变化,要用个 张量才能描述。 y xZ lyx lyy -lyz 其中IxJy…叫惯量系数 2、转动惯量的计算公式 对定轴的转动惯量L由刚体的质量分布和转轴的位置决定 已知转轴的位置和刚体的质量分布,求I的计算公式有 ①I=∑mp2(pi为质点i到轴的距离); ②对质量连续分布的刚体,I=∫p2dm(ρ为质量元dm到轴之距 离) 3、回转半径 设刚体绕轴S的转动惯量为I,若有一质点的质量等于刚体的质量 m,它到轴的距离K满足:I=mk2=∫p2dm,则K就称为该刚体绕轴S 的回转半径由定义有 k=1/m 4、计算转动惯量及回转半径的步骤,例 一般步骤是: ①选取坐标系和质量元dm ②由公式I=jp2dm和m=jdm求出I以及刚体的总质量m
8 即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之和。显 然，I 的单位为 kg·m2 ②对定点的转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变化，要用一个 张量才能描述。 其中 Ixx,Iyy,…… 叫惯量系数 2、转动惯量的计算公式 对定轴的转动惯量 I,由刚体的质量分布和转轴的位置决定。 已知转轴的位置和刚体的质量分布，求 I 的计算公式有： ① I=∑mipi 2 （pi为质点 i 到轴的距离）； ② 对质量连续分布的刚体，I=∫p2dm（ρ为质量元 dm 到轴之距 离） 3、 回转半径 设刚体绕轴 S 的转动惯量为 I，若有一质点的质量等于刚体的质量 m，它到轴的距离 K 满足:I=mk2=∫p2dm，则 K 就称为该刚体绕轴 S 的回转半径.由定义,有 4、 计算转动惯量及回转半径的步骤，例 一般步骤是： ①选取坐标系和质量元 dm ②由公式 I=∫p2dm 和 m=∫dm 求出 I 以及刚体的总质量 m
③由I=mk2求出k 计算的关键是确定dm和p 计算中常用到下列已知结果 半径为r的均质球壳绕直径的转动惯量I=(2/3)mr2 半径为r的均质圆盘绕过圆心且垂直圆面的轴的转动惯I=(1/2)mr2 囫例1](书P2343.8题)求质量密度为的非均质圆球绕直径的回转 半径K。 解:取半径为rr+dr的球壳做作质量元,它的质量dm和对直 径的转动惯量d分别为 C dm =p(r)4 r dr=po(1 )4Ir dr R dI=(2/3r2dm 球体对直径的转动惯量I和总质量m分别为 8 山=ynR 35 m= dm-4 PReis 114-10a 所以回转半径 k=()2=( 35-21R )2R 绕定点转动时转动惯量有一定的空间分布我们以定点O为原点,在 过O的轴ON上取一点Q,使 √ 当刚体转动时,轴ON也随刚体绕O点转动而动,按此规则,所 得到的Q点的集合将在空间形成一个包围O点的椭球面,曲面包围
9 ③由 I=mk2求出 k 计算的关键是确定 dm 和ρ 计算中常用到下列已知结果： 半径为 r 的均质球壳绕直径的转动惯量 I=(2/3)mr2 半径为 r 的均质圆盘绕过圆心且垂直圆面的轴的转动惯I=(1/2)mr2 [例 1]（书 P234 3.8 题）求质量密度为的非均质圆球绕直径的回转 半径 K。 解：取半径为 r→r+dr 的球壳做作质量元，它的质量 dm 和对直 径的转动惯量 dI 分别为： dI=(2/3)r2dm ∴球体对直径的转动惯量 I 和总质量 m 分别为 所以回转半径 绕定点转动时转动惯量有一定的空间分布.我们以定点 O 为原点，在 过 O 的轴 ON 上取一点 Q，使 ， 当刚体转动时，轴 ON 也随刚体绕 O 点转动而动，按此规则，所 得到的 Q 点的集合将在空间形成一个包围 O 点的椭球面，曲面包围
的是一个椭球,称为惯量椭球它形象的描述了刚体绕定点O转动的 转动惯量的空间分布. 曲面方程为二次曲面 1xx"+Imy+1z-21nxy-21xxz-213z=1 应注意: (1)惯量椭球是形象描述刚体绕定点转动时,转动惯量空间分布 而按上述规则所得到的球,它与刚体无共同之处,它不是刚体,即使 刚体为椭球它们也无共同之处(见图351) 刚体 钡量将球 图3.5.1 (2)惯量椭球是在动坐标系中的立体图形。 2、惯量主轴 惯量椭球的主轴叫惯量主轴,一般而言:凡质量密度均匀分布之刚 体,其对称轴就为惯量主轴。例如:球体的任一直径就是惯量主轴。 若定点O为刚体质心,则惯量椭球叫中心惯量椭球。 §361刚体的平动和绕固定轴的转动(1)
10 的是一个椭球，称为惯量椭球,它形象的描述了刚体绕定点 O 转动的 转动惯量的空间分布. 曲面方程为二次曲面： 应注意： （1）惯量椭球是形象描述刚体绕定点转动时，转动惯量空间分布 而按上述规则所得到的球，它与刚体无共同之处，它不是刚体，即使 刚体为椭球,它们也无共同之处（见图 3.5.1） （2）惯量椭球是在动坐标系中的立体图形。 2、惯量主轴： 惯量椭球的主轴叫惯量主轴，一般而言：凡质量密度均匀分布之刚 体，其对称轴就为惯量主轴。例如：球体的任一直径就是惯量主轴。 若定点 O 为刚体质心，则惯量椭球叫中心惯量椭球。 §3.6.1 刚体的平动和绕固定轴的转动（１）