第二章质点组力学 本章研究质点组的动力学规律。重点掌握: (1)质心的概念和计算 (2)质点组的三个基本定理(动量定理、动量矩定理、动能定理)在基本 系和质心坐标系中的数学表示。 (3)质心坐标系的重要性和特殊性。 §21质点组 本节重点是掌握内力的性质、质心的概念和计算。 质点组的内力和外力 彼此有相互作用的许多质点的集合叫质点组。(一群毫无相联系的蚊蝇 以及一盘散沙,都不是质点组) 1、内力和外力:内力记为F0,外力记为P 2、内力的基本性质 利用牛顿第三定律可得到:质点组中各内力的矢量和恒为零 ( Fi (1) 二、质心 1、质心的概念 质心是质点组中的一个特殊的几何点,当把质点组的各质点的质量总和
1 第二章 质点组力学 本章研究质点组的动力学规律。重点掌握: （1)质心的概念和计算 （2)质点组的三个基本定理（动量定理、动量矩定理、动能定理）在基本 系和质心坐标系中的数学表示。 （3)质心坐标系的重要性和特殊性。 §2.1 质点组 本节重点是掌握内力的性质、质心的概念和计算。 一、 质点组的内力和外力 彼此有相互作用的许多质点的集合叫质点组。（一群毫无相联系的蚊蝇 以及一盘散沙，都不是质点组） 1、 内力和外力：内力记为 ，外力记为 。 2、 内力的基本性质； 利用牛顿第三定律可得到：质点组中各内力的矢量和恒为零。 （1） 二、 质心 1、质心的概念 质心是质点组中的一个特殊的几何点，当把质点组的各质点的质量总和
(即m+m)放在该点时,它的状态可以代表质点组的总体特征,该 点通常记为C。 2、质心位置的确定 ①质点组情况如图21.1, O为原点,C为质心,它的位置矢量冖。第 个质点质量m,位矢,这里i=1,2…,n =0C=∑m7/踢 由 确定的′的端点c即为 图2.1.1 质心 ②质量连续分布的物体 设质量密度为p(X,y,z),则质心位置(x)2)由如下公式决定 p(x, y, z dxdydz 少、Jpxy, ∫2 以x,y,2 p(x,y, zkxdydz p(x, y, z)dv x,y,zky ③若干块物体构成的物体体系 如图212选取原点o,设物体1质量,质心位矢a…物体j的质 量",质心位矢勹,则这些物体构成的物体 系的质心C的位矢为 : 图2.1.2 2
2 （即 )放在该点时，它的状态可以代表质点组的总体特征，该 点通常记为 C。 2、 质心位置的确定 ①质点组情况如图 2.1.1， O 为原点，C 为质心，它的位置矢量 。第 i 个质点质量 ，位矢 ，这里 i=1,2,…,n. 由 确定的 的端点 c 即为 质心。 ②质量连续分布的物体 设质量密度为 ρ（x，y，z），则质心位置 由如下公式决定： ， ③若干块物体构成的物体体系 如图 2.1.2,选取原点 o，设物体 1 质量 ，质心位矢 ……物体 j 的质 量 ，质心位矢 ，则这些物体构成的物体 系的质心 C 的位矢为：
522质点组动量定理与守恒律 本节要求是掌握质心运动定理,它是刚体力学的基础之一 质点组动量定理 由牛顿第二定律,每个质点的运动方程为 dP F(e+FO 对n个质点求和,利用质点组内的力和为零的性质,得到 (e) (外力的矢量和) 即质点组的动量P∑的变化率等于质点组受外力的矢量和 二、质心运动定理 由质心的定义:m“∑吗,对时间两次求导数,利用内力的矢量和为 零,可得 (外力矢量和) 该式称为质心运动定理,表明:质点组质心的运动如同一个质点的运动 一样,它的质量等于整个质点组的质量,作用于它的力等于质点组外力矢 量和 该式表明了质心的重要性和特殊性:
3 §2.2 质点组动量定理与守恒律 本节要求是掌握质心运动定理，它是刚体力学的基础之一。 一、 质点组动量定理 由牛顿第二定律，每个质点的运动方程为 对 n 个质点求和，利用质点组内的力和为零的性质，得到 （外力的矢量和） 即质点组的动量 的变化率等于质点组所受外力的矢量和。 二、 质心运动定理 由质心的定义： ，对时间两次求导数，利用内力的矢量和为 零，可得 （外力矢量和） 该式称为质心运动定理，表明：质点组质心的运动如同一个质点的运动 一样，它的质量等于整个质点组的质量，作用于它的力等于质点组外力矢 量和。 该式表明了质心的重要性和特殊性：
(1)质心是一个特殊的几何点,但它的运动状态可以代表质点组的整体 特征;(2)内力不影响质心的运动状态,但能影响个别质点的状态;(3)给 定外力,各质点运动状态尽管不知道但质心的运动状态可以完全确定,质 心的运动状态只取决外力。 质点组动量守恒律 若质点组受的外力矢量和为零,则质点组动量P=恒量 利用m∑喝,对时间求导数可得:m“∑一P 质点组动量守恒定律表明:若Σ=°,则P=Pc=恒量,即质心作匀速 直线运动(ν=恒量),内力不会引起质心运动状态的改变。 §23质点组动量矩定理与动量矩守恒律 本节的要求是掌握质点组动量矩定理,特别是掌握对质心的动量矩定 理 质点组对定点o的动量矩定理及守恒律 由牛顿第二定律,第ⅰ个质点的动力学方程为 e)p() d t 两边用左乘、再对各质点求和,利用内力总成对出现且等大、反向并 作用在同一直线上这一性质得到
4 （1）质心是一个特殊的几何点，但它的运动状态可以代表质点组的整体 特征;（2）内力不影响质心的运动状态，但能影响个别质点的状态;（3）给 定外力，各质点运动状态尽管不知道,但质心的运动状态可以完全确定，质 心的运动状态只取决外力。 三、 质点组动量守恒律 若质点组受的外力矢量和为零，则质点组动量 P=恒量。 利用 ，对时间求导数可得： 质点组动量守恒定律表明：若 ，则 P=Pc=恒量，即质心作匀速 直线运动（ 恒量），内力不会引起质心运动状态的改变。 §2.3 质点组动量矩定理与动量矩守恒律 本节的要求是掌握质点组动量矩定理，特别是掌握对质心的动量矩定 理。 一、 质点组对定点 O 的动量矩定理及守恒律 由牛顿第二定律，第 i 个质点的动力学方程为 （1） 两边用 左乘、再对各质点求和，利用内力总成对出现且等大、反向并 作用在同一直线上这一性质,得到
n×F1Q)=MQ dt 或 (2 (2)式表明;质点组对定点的动量矩的时间变化率等于受到的外力矩。 若M=0,则动量矩J=恒量 (3) 二、对质心的质点组动量矩定理 1、质心坐标系 设oxyz为静止系,若另一坐标系cXyz随质点组运动而运动,原点取在 质点组的质心,坐标轴与基本系oxyz的坐标轴个2 平行,则cxyz叫质心坐标系(见图231) 质心坐标系的特点是:在质心系中,质心的位 置矢量′=0 2、对质心系的动量矩定理 对质心系的质点组动量矩∑m 对质心的力矩为 M E 利用内力的性质得到内力矩为零,再利用 质心的性质=0,可以得到对质心的力矩 (e) (外力力矩)。由牛顿第二定律 出发,可得 d (4) 该式表明:对质心的动量矩了的对时间的变化率等于作用于质点组的外
5 或 （2） （2）式表明；质点组对定点的动量矩的时间变化率等于受到的外力矩。 若 ，则动量矩 =恒量 （3） 二、 对质心的质点组动量矩定理 1、 质心坐标系 设 oxyz 为静止系，若另一坐标系 cx'y'z'随质点组运动而运动，原点取在 质点组的质心，坐标轴与基本系 oxyz 的坐标轴 平行，则 cx'y'z'叫质心坐标系（见图 2.3.1）. 质心坐标系的特点是：在质心系中，质心的位 置矢量 2、对质心系的动量矩定理 对质心系的质点组动量矩 ； 对 质 心 的 力 矩 为 . 利用内力的性质得到内力矩为零，再利用 质心的性质 ，可以得到对质心的力矩 （外力力矩）。由牛顿第二定律 出发，可得 （4） 该式表明：对质心的动量矩 的对时间的变化率等于作用于质点组的外
力对质心的力矩(该式称为对质心的动量矩定理)。 (4)式还表明了质心系的特殊性:(2)武式由是牛顿第二定律所得,它只 对惯性系才适用。质心系一般情况而言并不是惯性系,但是,质心系中的 质点组动量矩定理仍保持与惯性系中相同的形式 (4)式还表明:惯性力、内力对质心的力矩恒为零。 524质点组动能定理与机械前守恒律 本节应重点掌握质点组的动能定理,对质心的动能定理以及计算质点组动 能的柯尼希定理。 一、质点组动能定理和机械能守恒律 在静止系中,对每一质点的动能定理 =e) 求和后得到 即质点组动能的变化等于质点组受的外力和内力作功之和(动能定理)。 应注意:内力作功并不一定为零,如图
6 力对质心的力矩（该式称为对质心的动量矩定理）。 （4）式还表明了质心系的特殊性：（2)式由是牛顿第二定律所得，它只 对惯性系才适用。质心系一般情况而言并不是惯性系，但是，质心系中的 质点组动量矩定理仍保持与惯性系中相同的形式。 （4）式还表明：惯性力、内力对质心的力矩恒为零。 §2.4 质点组动能定理与机械能守恒律 本节应重点掌握质点组的动能定理，对质心的动能定理以及计算质点组动 能的柯尼希定理。 一、 质点组动能定理和机械能守恒律 在静止系中，对每一质点的动能定理 求和后得到 即质点组动能的变化等于质点组受的外力和内力作功之和（动能定理）。 应注意：内力作功并不一定为零，如图：
质点1、2的位置矢量为n、7。质点1受质点2的作用力为12,质点2 受质点1的作用力为A1,由牛顿第三定律有:f+20。这两个力作功 为W=12+fam2=f2i(-n) 显然:只有当运动时两质点间距离保持不变(如刚体),内力作功才为 零。一般情况内力作功不为零。 特例:若外力、内力都是保守力,则质点组的机械能守恒 二、对质心的动能定理 利用质心的性质和质心系中的牛顿定律(引入了惯性力弓m),有 两边点乘的,得到 n∑列的+∑F, 该结果表明:质点组对质心系的动能的变化等于外力和内力对质心系作 功之和。该结论称为质点组对质心的动能定理。 从这里可以看出 惯性力对质点组作的功为零利用质心系中的动能定理,可以克服惯性力 作功是否为零的困难。这又一次体现质心系的特殊性:质心系并不是惯性 系,但在质心系中的质点组动能定理仍保持惯性系中具有相同的形式,而
7 质点 1、2 的位置矢量为 、 。质点 1 受质点 2 的作用力为 ，质点 2 受质点 1 的作用力为 ，由牛顿第三定律有： 。这两个力作功 为 显然：只有当运动时两质点间距离保持不变（如刚体），内力作功才为 零。一般情况内力作功不为零。 特例：若外力、内力都是保守力，则质点组的机械能守恒。 二、 对质心的动能定理 利用质心的性质和质心系中的牛顿定律（引入了惯性力 ）,有 两边点乘 ，得到 该结果表明：质点组对质心系的动能的变化等于外力和内力对质心系作 功之和。该结论称为质点组对质心的动能定理。 从这里可以看出： 惯性力对质点组作的功为零;利用质心系中的动能定理，可以克服惯性力 作功是否为零的困难。这又一次体现质心系的特殊性：质心系并不是惯性 系，但在质心系中的质点组动能定理仍保持惯性系中具有相同的形式，而
其他坐标系无此性质。 三、柯尼希定理 该定理提供了计算质点组动能的方法,刚体动力学中经常用到.利用质心 的性质和静止系与质心系的相巨关系”+,可得“2m22m 即质点组的动能等于质心的动能与各质点对质心的动能的和(该结果称 为柯尼希定理)。 四、内力和惯性力性质的简单归纳 1、内力的性质 (1)、质点组的内力的矢量和为零:∑列-0 (2)、内力对某定点的力矩和为零;∑x-0 (3)、内力不影响质心的运动状态。 (4)、内点作功不为零(刚体除外)。内力会影响各质点的运动状态。 2、惯性力 惯性力对质心的力矩为零,在质心系中惯性力对质点组作功为零。 525两体问题 本节应重点掌握两体问题的处理方法。 研究两体问题的重要性在于:许多问题,如氢原子中的电子绕原子核的运 动;地球绕太阳的运动;卫星绕地球的运动等。对这类两体运动问题,将 核、太阳、地球视为静止,则所得的结果必有误差。为了更准确研究,就 应采用本节提出的两体问题的处理方法,下面以太阳和行星为例说明
8 其他坐标系无此性质。 三、 柯尼希定理 该定理提供了计算质点组动能的方法，刚体动力学中经常用到.利用质心 的性质和静止系与质心系的相互关系 ，可得 即质点组的动能等于质心的动能与各质点对质心的动能的和（该结果称 为柯尼希定理）。 四、 内力和惯性力性质的简单归纳 1、 内力的性质 （1）、质点组的内力的矢量和为零： （2）、内力对某定点的力矩和为零； （3）、内力不影响质心的运动状态。 （4）、内点作功不为零（刚体除外）。内力会影响各质点的运动状态。 2、惯性力 惯性力对质心的力矩为零，在质心系中惯性力对质点组作功为零。 §2.5 两体问题 本节应重点掌握两体问题的处理方法。 研究两体问题的重要性在于：许多问题，如氢原子中的电子绕原子核的运 动；地球绕太阳的运动；卫星绕地球的运动等。对这类两体运动问题，将 核、太阳、地球视为静止，则所得的结果必有误差。为了更准确研究，就 应采用本节提出的两体问题的处理方法，下面以太阳和行星为例说明
两体运动的方程 1、惯性系中以S代表太阳、P代表行星,它们 的位置矢量分别为,(如图2.5.1)。质量分 别为M、m。则动力学方程为 M"= GMim (太阳,对惯性系) GMm (行星,对惯性系) 图2.5.1y 令′为质心的位矢,可由以上两式相加,可得到质心满足的方程为 =0 该式表明:质心是作匀速直线运动,而太阳、行星是绕质心的圆锥曲线 运动。 2、质心系中:设太阳和行星的位置矢量分别是,。则 kmM 1 kmM 即太阳、行星均绕质心作圆锥曲线运动 3、行星对太阳的相对运动 考虑到太阳也在运动后,令”为行星相对于太阳的位置矢量,可 得行星的相对运动方程为(这里=为单位矢量) M 令u=Mm/M+m),或Mm,u称为折合质量,显然,U小于M和 m中的较大值。该式表明:考虑太阳也在运动后,行星仍对太阳作圆锥曲 线运动但
9 一、 两体运动的方程 1、 惯性系中:以 S 代表太阳、P 代表行星,它们 的位置矢量分别为 ， （如图 2.5.1） 。质量分 别为 M、m。则动力学方程为 （太阳，对惯性系） （行星，对惯性系） 令 为质心的位矢，可由以上两式相加，可得到质心满足的方程为 该式表明：质心是作匀速直线运动，而太阳、行星是绕质心的圆锥曲线 运动。 2、 质心系中:设太阳和行星的位置矢量分别是 ， 。则 即太阳、行星均绕质心作圆锥曲线运动 3、行星对太阳的相对运动 考虑到太阳也在运动后，令 为行星相对于太阳的位置矢量，可 得行星的相对运动方程为（这里 为单位矢量） 令 u=Mm/(M+m),或 ，u 称为折合质量，显然，u 小于 M 和 m 中的较大值。该式表明：考虑太阳也在运动后，行星仍对太阳作圆锥曲 线运动(但
质量不为m而是折合质量u 应指出:若M>>m,由上式引起的误差极小,仍可以将太阳视为静止处 理。如果上式不成立,两质量差别不太大,则必须采用两体问题处理。 §26质心坐标系与实验室坐标系 本节应掌握质心坐标系与实验室坐标系的概念以及两粒子弹性散射(碰 撞)时散射角在质心系和实验坐标系中的相互关系。 实验室坐标系与质心坐标系 实验工作者采用的坐标系叫实验室坐标系。最多的是取地球作为静止系 (惯性系)。原点取在质心,而坐标轴与实验坐标系的坐标轴平行的坐标 系叫质心系 两种坐标系中弹性散射的不同结果 1、两种坐标系中看到的弹性散射现象(见书p134图2.62) mIn m1 mi c Am2 m2、 (a)质心坐标系 (b)实验室坐标系 2、两坐标系中散射角的相互关系 设两质点的质量为粥,m,散射角在实验室坐标系 中为0,在质心系中为,可由相对运动速度的合成
10 质量不为 m 而是折合质量 u.) 应指出：若 M>>m，由上式引起的误差极小，仍可以将太阳视为静止处 理。如果上式不成立，两质量差别不太大，则必须采用两体问题处理。 §2.6 质心坐标系与实验室坐标系 本节应掌握质心坐标系与实验室坐标系的概念以及两粒子弹性散射（碰 撞）时散射角在质心系和实验坐标系中的相互关系。 一、实验室坐标系与质心坐标系 实验工作者采用的坐标系叫实验室坐标系。最多的是取地球作为静止系 （惯性系）。原点取在质心，而坐标轴与实验坐标系的坐标轴平行的坐标 系叫质心系。 二、 两种坐标系中弹性散射的不同结果 1、两种坐标系中看到的弹性散射现象（见书 p134 图 2.6.2） 2、 两坐标系中散射角的相互关系 设两质点的质量为 ，散射角在实验室坐标系 中为θr，在质心系中为θc，可由相对运动速度的合成